Toán 6(hay)

T Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp.. Qua thực tế g

oán học là chìa khoá của ngành khoa học Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con ngời Với một xã hội

mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển nh hiện nay thì môn toán lại càng

đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học

T

Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực hoạt

động nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh

Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6 tôi thấy rằng tính chất chia hết của một tổng (một hiệu, một tích ) tuy chỉ cung cấp một lợng kiến thức nhỏ nhng lại đợc ứng dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài tập

Chính vì thế tôi đã viết sáng kiến kinh ngiệm “áp dụng tính chất chia

hết của một tổng vào giải toán” trong chơng I số học lớp 6.

i cơ sở lý luận và thực tiễn

Tính chất chia hết của một tổng đợc học ở bài 10 chơng I số học lớp 6

Đây là cơ sở lý luận để giải thích đợc các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

Nó còn đợc vận dụng để giải quyết một lợng lớn các bài tập liên quan đến chia hết

Để giải quyết các bài tập này ngời học sinh phải nắm chắc và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh có khả năng phát triển t duy, đặc biệt là t duy sáng tạo

Tính chất chia hết của một tổng không chỉ đợc ứng dụng trong tập hợp số

tự nhiên mà còn đợc mở rb ộng trong tập hợp số nguyên Vì vậy muốn nắm chắc đợc tính chất này trong tập hợp số tự nhiên học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong trơng trình THCS

Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập liên quan đến tính chất chia hết của một tổng (một hiệu ) Ngoài ra

mở rộng đối với một tích trong chơng I số học lớp 6 Mỗi dạng bài tập đều

có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo

Tuy nhiên việc mắc phải những sai sót là điều không tránh khỏi Tôi rất mong đợc sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, của các đồng nghiệp và bạn

đọc để SKKN của tôi đợc hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

ii thực trạng việc học toán của học sinh lớp 6

Học sinh khối 6 là một khối mới bắt đầu cách học mới của cấp THCS Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu các phép toán cụ thể Năng lực t duy logic của các em cha phát triển cao Do vậy việc áp lý thuyết để làm bài tập toán đối với các em là một điều khó Hầu hết chỉ có

2

các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hớng yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán nh thế nào

Phần kiến thức tính chất chia hết của một tổng là một phần kiến thức rất quan trọng trong lớp 6 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung Nhng nhiều khi các em thuộc lý thuyết toán nhng lại cha biết áp dụng vào bài tập

cụ thể nh thế nào, các em cha biết t duy để đi từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể Do vậy giáo viên cần hớng dẫn để các em hiểu và áp dụng đợc tính chất đã học vào làm bài tập cụ thể

Mặt khác tính tự giác học tập đối với học sinh lớp 6 cha cao, vì vậy cần cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể dới sự hớng dẫn của giáo viên để các em có thể hiểu và nắm chắc kiến thức đợc học một cách

có hệ thống để giúp các em học tốt trong các năm học sau

i kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa:

- Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x

= a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x

2 Tính chất chia hết của tổng và hiệu:

3 Tính chất chia hết của một tích:

a Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.

b Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

ii các dạng bài tập

DạNG 1: Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết.

Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:

CÂU Đúng sai a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì

4

m a m b m b a

m b m a m b a c

m b a m b m a

m b a m b m a b

m b a m b m a

m b a m b m a a





































⇒ +

⇒ +

/

−

⇒ /

/ +

⇒ /

−

⇒

+

⇒

; ) (

; ) )(

) (

;

) (

; )

) (

;

) (

; )

n m b a n b

m a







⇒







n n b a b a

c)  ⇒ 

tổng chia hết cho 6.

b) Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho

6 thì tổng không chia hết cho 6

c) Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một

trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia

hết cho 5

d) Nếu hiệu của hai số chia hết cho 7 và một

trong hai số đó chia hết cho 7 thì số còn lại chia

hết cho 7

Bài tập 2: Khoanh tròn trớc câu trả lời đúng

1) Xét biểu thức 864 + 14

a) Giá trị của biểu thức chia hết cho 2 b) Giá trị của biểu thức chia hết cho 3 c) Giá trị của biểu thức chia hết cho 6 d) Giá trị của biểu thức chia hết cho 7 2) Nếu a chia hết cho 6 và b chia hết cho 8 thì (a + b) chia hết cho?

a) 2, 3, 6 b) 3, 6 c) 6, 9 d) 6, 18 3) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì:

a) a = c

b) a chia hết cho c

c) không kết luận đợc gì

d) a không chia hết cho c

DạNG 2 : Không tính toán , xét xem một tổng (hiệu) có chia hết

cho một số hay không ?

Bài tập 1: áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia

hết cho 8 không?

a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47 Giải

áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:

8 ) 112 56 48 ( 8

112

8

56

8

48









+ +

⇒









8 ) 47 160 ( 8

47

8

160







−

⇒







Bài tập 2: Không thực hiện phép tính hãy chứng tỏ rằng:

a) 34.1991 chia hết cho 17

b) 2004 2007 chia hết cho 9

c) 1245 2002 chia hết cho15

d) 1540 2005 chia hết cho 14

H ớng dẫn:

Ta có tính chất sau:

Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó

Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?

a) 1.2.3.4.5.6 + 42 b) 1.2.3.4.5.6 - 32

H ớng dẫn :

* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5 Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tơng tự nh bài tập 1

Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:

a) 3.4.5 + 6.7 b) 7.9.11.13 – 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 164354 + 67541

*Nhận xét: Để chứng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chỉ ra rằng tổng (hiệu) đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó

Giải:

6

c b a c

N c b a c

a ; , , ∈ ( ≠ 0 ) ⇒ 

3 ) 6.7 3.4.5

( 3

6.

5

3

5.

4.

3





+

⇒







a

Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số

Gợi ý:

b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7

c) Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ, mà tổng hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn 2

d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5 Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn hơn 5

Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:

Giải:

Ta có:

Dạng 3: Tìm số x (hoặc tìm chữ số x)

Bài tập 1 : Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N Tìm x để:

a) A chia hết cho 2 b) A không chia hết cho 2

*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2 Muốn tổng

A chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2 Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2

Bài tập 2: Tìm chữ số x để:

*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3 Vậy

Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x

*Giải: Ta có:

N a

49



N a a

N a a

∈ +

⇒







∈

;7 ) 7 49

( 7

7

,7





3 ) 12 4 3 ( x − 

3 4 3

x 

3

3 3

12

3) 12 4 3(







x







−

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn:

[ 21 + 13 (x+ 2 ) ] biết 32≤ x≤49

Giải

Ta có:

Vậy: x∈{33 ; 40 ; 47}

Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x sao cho :

ớng dẫn H

Từ đó ta tìm đợc x

Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x sao cho :

( 2x+ 7 )  ( 3x+ 1 )

H

ớng dẫn : Ta thấy

8

}

{ 2 8,5, 9

0

3) 7(

3) 4 3(

=

⇒







≤≤

+

⇒ +

+

x x

x

{ 33 ; 40 ; 47 }

∈

x

) 148 ( ) 260 (x+  −x







≤

≤

−

⇒

− +

+

−

⇒







−

+

−

−

148

0

)

148

(

174

) 148 ( ) 26 ( ) 148 ( ) 148

()

26

(

) 148

()

148

(

x

x

x x

x x

x

x x









) 2 ( 3

) 2 ( ) 4 2 ( ) 7 2 ( ) 2 ( ) 7 2 (

) 2 ( ) 4 2 (

) 2 ( ) 2 (

2 ) 2 ( ) 2 (

+

⇒

+ +

−

+





 + +

+ +

⇒

+ +

⇒ + +

x

x x

x x

x

x x

x x x

x













{ } 13.( 2 7)

7 21

7 )2 (

13 21







+

⇒





 + +

x x

2 51 2 34 49 32

7)2 ( 7

13

∈+

⇒







≤+

≤

⇒≤

≤

+

⇒/

x x

x

x 



Từ đó ta tìm đợc x.

Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho :

H ớng dẫn

Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số

Ta có:

Từ (*) và (**) suy ra

Từ đó ta tìm đợc x

Bài tập tơng tự

Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên x để

Một số bài tập nâng cao

Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3) 7

Giải

Cách1:

) 1 3 ( ) 7 5 ( x+  x+

)(**) 1 3 ( ) 21 15 ( ) 1 3 ( ) 7 5 (

3 ) 1 3 ( ) 7 5

(

)(*) 1 3 ( ) 5 15 ( ) 1 3 ( ) 1 3 (

5 ) 1 3 ( ) 1 3

(

+ +

⇒ + +

⇒ + +

+ +

⇒ + +

⇒ + +

x x

x x

x x

x x

x x

x x













) 1 3

(

16

) 1 3 ( ) 5 15 ( ) 21

15

(

+

⇒

+ +

− +

x

x x

x





[( 15 ) 42] ( 15 ) )

) 2 ( 4 ) 2 ( )

) 1 ( );

1 ( 7 ) 1 ( )

) 0 (

; 4 ) 4 )(

2 2 2

+

− +

+

− +

≠

− +

−

≠ +

x x

d

x x

c

x x

x b

x x

a









7 )1 (

4

7 4 4

7 7 3 4

7 3 4

7 14

7 3 4 14

7 3 18















−

⇒

−

⇒

− +

⇒

+

⇒





 + +

⇔ +

n n n n n

n n n

Vì (4,7) =1 nên (n - 1) chia hết cho 7.

Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)

Cách 2:

Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho 7

Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)

* Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi

đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1

Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) Chứng minh

rằng (10a + b) chia hết cho 13

Giải

Đặt : a + 4b = x

10a + b = y

Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13

Cách 1: Xét biểu thức

10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) = 10a + 40b – 10a – b = 39b

Vậy

Cách 2: Xét biểu thức

4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a Vậy

Cách 3: Xét biểu thức

3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b Suy ra

10

7 ) 1 (

18

7 18 18

7 21 3 18

7 3 18









−

⇔

−

⇔

− +

⇔ +

n n n n

13 10

13 13

10 13

13 10











b a Hay

y x

x Do y x

+

⇒

⇒

−

13 10

13 4 13

13 4









b a Hay

y x

Do

y x

+

⇒

−

13 13

3 13

13 13









y x

x Do

y x

⇒

⇒ +

Cách 4: Xét biểu thức

x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) =

a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Suy ra

* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một số hạng chia hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13 Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức

(10x – y) nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0 Xét biểu thức (3x – y) nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13

Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 Nên xét biểu thức (4x – y) nhằm khử b Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13

Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 d 1, chia cho 7 d 5.

Giải

Gọi n là số chia cho 5 d 1 và chia cho 7 d 5

Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số tự

nhiên, r < 35 ) Trong đó r chia cho 5 d 1, r chia cho 7 d 5 Số nhỏ hơn 35 chia cho 7 d 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5 d 1 Vậy r =

26 Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26

Cách 2: Ta có

Số nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên là số 26

Cách 3:

n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra

2 ( y + 2 ) chia hết cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5 Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26

Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho 131

thì d 112, chia n cho 132 thì d 98

Giải

Cách 1: Ta có

131x + 112 = 132y + 98 suy ra

13 10

13 1

) 13

; 9 (

13 9 13

13 9











b a Hay

y co

Ta

y x

Do

y x

+

⇒

=

⇒ +

7 9 7

14 5 7

5

5 9 5

10 1 5

1













+

⇒ +

−

⇒

−

+

⇒ +

−

⇒

−

n n

n

n n

n

131x = 131y + y – 14 suy ra

y – 14 chia hết cho 131 suy ra

y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy ra

n = 132 (131k + 14 ) + 98 suy ra

n = 132 131k + 1946

Do n có bốn chữ số nên k bằng 0 Vậy n = 1946

Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra

131 ( x – y ) = y – 14 Nếu x > y thì y – 14 ≥131 suy ra y ≥145

Suy ra n có nhiều hơn bốn chữ số Vậy x = y do đó y = 14 ; n = 1946 Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên

132n = 131.132x + 14784 (1)

mà n = 132y + 98 nên 131n = 131.132y + 12838 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946

Vì n có bốn chữ số nên n = 1946

Bài tập 5:

a) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 2

( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k ∈N* )

b) Chứng tỏ rằng tổng sau chia hết cho 2

2001k + 2002k + 2003k ( k ∈N* )

c) Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ?

200012010 - 19172000

H

ớng dẫn

a) 10k, 8k, 6k là những số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) là số chẵn chia hết cho

2 ; 9k, 7k, 5k là những số lẻ nên ( 9k + 7k + 5k ) là số lẻ không chia hết cho 2

Vậy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) không chia hết cho 2

b)2001k là số lẻ; 2003k là số lẻ nên 2001k + 2003k là số chẵn chia hết cho 2

2002k là số chẵn nên chia hết cho 2 Vậy

2001k + 2002k + 2003k chia hết cho 2

c) 20012010 có chữ số tận cùng là 1

12

1917 = (1917 ) cũng có chữ số tận cùng là 1 Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là 0 do đó

200012010 - 19172000 chia hết cho 10

* Trên đây là một số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng t duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, tối u các tình huống trong thực tế đời sống hàng ngày

iii các biện pháp thực hiện

Do yêu cầu của phơng pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phơng pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo của thày, chủ động của trò đồng thời kích thích hứng thú học tập ở lứa tuổi học sinh lớp 6 Để áp dụng tốt tính chất chia hết của một tổng vào làm bài tập cần sử dụng hợp lý tất cả các

ph-ơng pháp dạy học : Đặt vấn đề, đàm thoại, gợi mở, trực quan … để học sinh tiếp thu kiến thức một cách tốt nhất

Biện pháp chủ yếu là cho các em làm bài tập trong giờ lý thuyết, giờ luỵện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hớng dẫn gợi

mở của giấo viên Có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các tổ để kích thích tính tích cực, ganh đua trong học tập Đồng thời cần có biện pháp để kiểm tra sát sao việc học bài và làm bài của học sinh để đảm bảo chất lợng học tập trung

i tóm tắt quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm và kết quả đạt đ ợc

Xuất phát từ nhiệm vụ chính của ngời giáo viên với mục đích cuối cùng

là nâng cao chất lợng giáo dục về mọi mặt Bản thân tôi là một giáo viên trẻ kinh nghiệm cũng cha đợc nhiều song qua quá trình dạy học của bản thân, qua đồng nghiệp và qua bạn bè, qua việc tìm hiểu tham khảo sách vở tôi đã

cố gắng lựa chọn các bài tập tiêu biểu để áp dụng, qua đó giúp học sinh nắm trắc kiến thức, sâu kiến thức hơn

Trong sách giáo khoa toán 6 tập 1 sau tiết lý thuyết không có tiết luyện tập về tính chất chia hết của một tổng nên việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế, cha đợc mở rộng nâng cao, thậm chí có những học sinh chỉ dừng lại ở mặt lý thuyết còn việc vận dụng là rất khó khăn Do năng lực

14