Hàm đo được- ôn thi cao học

GIẢI TÍCH CƠ SỞPhần 3.. Độ Đo Và Tích Phân Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán §2.. HÀM ĐO ĐƯỢC Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT 1.. Mộ

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

§2 HÀM ĐO ĐƯỢC

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006

PHẦN LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

Cho một không gian đo được (X, F ), tập A ∈ F và hàm f : A → R Với a ∈ R, ta sẽ ký hiệu:

A[f < a] = {x ∈ A : f (x) < a}

Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] được định nghĩa tương tự

Ta nói hàm f đo được trên A (đo được đối với σ-đại số F hay F -đo được) nếu:

A[f < a] ∈ F , ∀a ∈ R Định lý 1:

Các mệnh đề sau tương đương

1) f đo được trên A

2) A[f ≤ a] ∈ F , ∀a ∈ R

3) A[f > a] ∈ F , ∀a ∈ R

4) A[f ≥ a] ∈ F , ∀a ∈ R

2 Một số lớp hàm đo được

Cho không gian đo được (X, F ) Các tập hợp được xét dưới đây luôn giả thiết là thuộc

F

1) Hàm hằng số là đo được Hàm đặc trưng 1Acủa tập A là đo được khi và chỉ khi A ∈ F 2) Nếu f đo được trên A và B ⊂ A thì f đo được trên B

Nếu f đo được trên mỗi An (n ∈ N∗) thì f đo được trên ∞∪

n=1An 3) Giả sử các hàm f, g đo được trên A và chỉ nhận các giá trị hữu hạn Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A :

|f |, |f |α (α > 0), f + g, f.g, fg (nếu g(x) 6= 0 ∀x ∈ A)

4) Giả sử các hàm fnđo được trên A (n ∈ N∗) Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A a) g(x) = sup{fn(x) : n ∈ N∗}, h(x) = inf {fn(x) : n ∈ N∗}

b) f (x) = lim

n→∞fn(x), nếu giới hạn tồn tại tại mọi x ∈ A

3 Hàm đo được theo Lebesgue

Hàm đo được đối với σ-đại số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay (L) đo được

Định lý 2

Nếu A ⊂ R là tập (L)-đo được và hàm f : A → R liên tục thì f là hàm (L)-đo được

4 Hàm đơn giản

Định nghĩa : Cho không gian đo được (X, F ) và tập A ∈ S

Hàm f : A → R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng

f (x) =

n

P

i=1

ai1Ai(x) trong đó : Ai ∈ F , (i = 1, n), Ai∩ Aj = ∅ (i 6= j), ∪n

i=1An = A và 1Ai là hàm đặc trưng của tập Ai

Như vậy, hàm đơn giản là hàm đo được, chỉ nhận hữu hạn giá trị

Định lý 3

Nếu f là hàm không âm, đo được trên A thì tồn tại dãy {sn} các hàm đơn giản trên A sao cho

i) 0 ≤ sn(x) ≤ sn+1(x), ∀x ∈ A

ii) lim

n→∞sn(x) = f (x), ∀x ∈ A

PHẦN BÀI TẬP

Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo được và các số a, b ∈ R, a < b Chứng minh rằng hàm

g(x) =







f (x) nếu a ≤ f (x) ≤ b

a nếu f (x) < a

b nếu f (x) > b

là đo được trên X

GIẢI:

Cách 1:

Đặt A1 = X[a ≤ f ≤ b], A2 = X[f < a], A3 = X[f > b], ta có:

Ak ∈ F , k = 1, 2, 3, A1∪ A2∪ A3 = X

g(x) =







f (x) x ∈ A1

a x ∈ A2

b x ∈ A3

g đo được trên A2 và A3 vì là hàm hằng trên các tập này

g đo được trên A1 vì f đo được trên A1

Do đó g đo được trên A1∪ A2∪ A3 = X

Cách 2:

Ta dễ dàng kiểm tra rằng g(x) = min{b, max{a, f (x)}}

Từ các hàm đo được qua phép lấy max, min ta nhận được hàm đo được Do đó g

đo được

Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo được Chứng minh tập

A := {x ∈ X : f (x) = g(x)} là đo được (nghĩa là thuộc F )

2) Cho dãy hàm {fn} đo được trên X Chứng minh rằng tập

B := {x ∈ X : lim

n→∞fn(x) tồn tại} đo được

GIẢI:

1) Cách 1:

Đặt A1 = {x ∈ X : f (x) < g(x)}, A2 = {x ∈ X : g(x) < f (x)}

Ta chứng minh A1, A2 ∈ F

Ta viết tập Q thành dãy {rn} Ta thấy

f (x) < g(x) ⇔ ∃n : f (x) < rn< g(x)

Do đó:

A1 =

∞

S

n=1

{x ∈ X : f (x) < rn< g(x)}

=

∞

S

n=1

(X[f < rn] ∩ X[g > rn]) nên A1 ∈ F Chứng minh A2 ∈ F tương tự

Do A = X\(A1∪ A2) nên A ∈ F

Cách 2:

Đặt

A1 = {x ∈ X : f (x) = +∞}, A2 = {x ∈ X : f (x) = −∞}

A3 = {x ∈ X : g(x) = +∞}, A4 = {x ∈ X : g(x) = −∞}

Y = X\

4

S

k=1

Ak

Ta có thể chứng minh Ak, Y ∈ F và

A = (A1∩ A3) ∪ (A2∩ A4) ∪ Y [f − g = 0]

Chú ý rằng trên Y thì f, g đo được, chỉ nhận giá trị hữu hạn nên f − g đo được trên

Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F

2) Đặt f (x) = lim

n→∞

fn(x), g(x) = lim

n→∞fn(x) Theo định nghĩa, ta có

f (x) = lim

n→∞( inf

k≥nfk(x)), g(x) = lim

n→∞(sup

k≥n

fk(x)) Các hàm Fn(x) := inf

k≥nfk(x) đo được nên f (x) = lim

n→∞Fn(x) đo được Tương tự, ta có g đo được

Ta có B = {x ∈ X : f (x) = g(x)} nên áp dụng câu 1) có B ∈ F

Bài 3 : Cho không gian độ đo (X, F , µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo được

1) Đặt An = {x ∈ A : |f (x)| ≤ n}, n ∈ N∗ Chứng minh

lim

n→∞µ(Bn) = µ(A)

2) Giả sử µ(A) < ∞ Chứng minh rằng với mọi  > 0, tồn tại tập B ⊂ A, B ⊂ F sao cho

µ(A\B) < , f bị chặn trên B GIẢI:

1) Ta có: An ∈ F (vì |f | đo được), An ⊂ An+1

A =

∞

S

n=1

An (do f chỉ nhận giá trị hữu hạn)

Do đó lim

n→∞µ(An) = µ(A) 2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\An) = µ(A) − µ(An) Do đó lim

n→∞µ(A\An) = 0 Chú ý rằng f bị chặn trên An Do đó ta chỉ cần chọn B = An khi n đủ lớn

Bài 4 : Cho không gian đo được (X, F ) và các hàm f1, f2 : X → R đo được, hàm F : R2 → R

liên tục

Chứng minh rằng hàm g : X → R, g(x) = F (f1(x), f2(x)) đo được

GIẢI

Ta xét ánh xạ ϕ : X → R2, ϕ(x) = (f1(x), f2(x)) Ta có

g(x) = (F0ϕ)(x)

X[g < a] = g−1((−∞, a)) = ϕ−1(F−1((−∞, a)))] (1)

Tập A := F−1((−∞, a)) là tập mở trong R2 (do f liên tục) nên là hợp của đếm được các hình chữ nhật mở:

A =

∞

S

n=1

In× Jn, In = (an, bn), Jn= (cn, dn) (2)

Từ (1),(2) ta có:

X[g < a] =

∞

S

n=1

ϕ−1(In× Jn) =

∞

S

n=1

{x ∈ X : (f1(x), f2(x)) ∈ In× Jn}

=

∞

S

n=1

({x : an < f1(x) < bn} ∩ {x : cn < f2(x) < dn})

⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R

Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R Chứng minh rằng hàm f0

là (L)-đo được trên (a, b)

GIẢI

Xét các hàm fn : (a, b) → R xác định như sau

fn(x) = nf x + 1

n
− f (x) , nếu x ∈ a, b − 1

n

c , nếu x ∈b − 1

n, b
, n ∈ N∗

Ta có

(1) lim

n→∞fn(x) = f (x) ∀x ∈ (a, b)

Thật vậy với x ∈ (a, b) ta có x < b −n1 khi n đủ lớn, do đó

lim

n→∞fn(x) = lim

n→∞nf x + 1

n
− f (x) = f0(x) (2) fn là (L)-đo được trên (a, b)

Thật vậy, trên (a, b −n1) hàm fn liên tục (vì f khả vi nên f liên tục) trênb − 1

n, b

fn cũng là hàm liên tục nên fn là (L)- đo được)

Từ (1),(2) ta có f0 là (L)-đo được