D07 toán thực tế, liên môn liên quan khối nón muc do 4

Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm hình H1.. Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên hình H2 thì chiều cao của cột nước trong

Câu 16: [2H2-1.7-4] (SGD – HÀ TĨNH ) Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm

Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm

(hình H1) Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

A 10 cm B 0,87 cm C 1, 07 cm D 1,35cm

Lời giải Chọn B

Gọi R là bán kính đáy của phễu Thể tích của phễu là 0 1 2 20 2

V  R h  R

Xét hình H1:

Do chiều cao của phễu là 20 cm, cột nước cao 10 cm nên bán kính đường tròn thiết diện tạo bởi mặt nước và thành phễu là

2

R

Suy ra thể tích của nước trong phễu là

1

.10

Xét hình H2:

Gọi x là chiều cao cột nước trong phễu Dựa vào tam giác đồng dạng ta tìm được bán kính đường

tròn giao tuyến của mặt nước và thành phễu là 20  

20

x



 

Thể tích phần không chứa nước là 2  2  3

2

1 20

V    R x   x

Suy ra thể tích nước là: V1V0V2 5 2 20 2 2  3

20

R

20 7000 0,87

x

Câu 18: [2H2-1.7-4] (THI THỬ CỤM 6 TP HỒ CHÍ MINH) Một bể nước lớn của khu công nghiệp

có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA27 mét Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát

nước ba lần qua một lổ ở đỉnh S Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng,

lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau Tính độ dài đoạn MN (Hình vẽ 4: Thiết diện qua

trục của hình nón nước)

N M A

S

A 3 

27 2 1 m B 3 3 

9 9 4 1 m C 3 3 

9 9 2 1 m D 3 3 

9 3 2 1 m

Lời giải Chọn C

Gọi V V V, , 1 2 là thể tích của khối nón có đường sinh SA SM SN , ,

Theo đề bài ta suy ra 1 2

2

2 3





 

Lại có:

2

2 2 2

1 3 1 3

OA SO

O M SO





OA SO SA

O M  SO SM nên

Ta có tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số cạnh không cần chứng minh

27

V

SM

Và

27 3

V

SN

Câu 41 [2H2-1.7-4] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Hai chiếc ly đựng chất lỏng

giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2 dm (mô tả

như hình vẽ) Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ

nhất còn 1dm Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của

cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không hao

hụt khi chuyển Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm)

A h1, 73d m B h1,89d m C h1,91d m D h1, 41d m

Lời giải

Chọn C

Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất: AH 2

Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai: AD 1

Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai: AF h

2

R AD

R AH



  ,

2

R AF h

R AH



2

R

R  ,

2

Rh

R  Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất : 2

2

V  R Thể tích phần nước ở ly thứ hai : 2

1

V R h 2 3

4

R h



Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất:

2 2

4

R

V 



2

R h R

R

4 4

h

7

h

  1,91

Câu 46: [2H2-1.7-4] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Một cây thông Noel có dạng hình nón

với chiều dài đường sinh bằng 60cm và bán kính đáy r10cm Một chú kiến bắt đầu xuất phát

từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu Tính quãng đường ngắn nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu?

A 45cm B 63cm C 125cm D 60cm

Lời giải

Chọn D

Ta “cắt” hình nón theo cạnh AE và trải hình nón ra được một hình quạt như hình vẽ bên Ta chú

ý rằng đường sinh của hình nón bằng bán kính quạt nên R60cm Gọi là bán kính đáy nón và

 là góc của cung tròn quạt khi đó chu vi của cung tròn quạt là:

2

r

R



Vậy hình quạt của ta là một phần 6 hình tròn và tam giác AEE' là tam giác đều Quãng đường ngắn nhất mà con kiến đi được chính là bằng độ dài EE'60cm

Câu 7384:[2H2-1.7-4] [THPT Chuyên Nguyễn Trãi Lần 2 - 2017] Có một cái cốc làm bằng giấy, được

úp ngược như hình vẽ Chiều cao của chiếc cốc là 20 cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?

A.58,80cm B.58, 67 cm C.59,93cm D.59,98cm

Lời giải Chọn A

Đặt b a h, , lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,  là góc kí hiệu như trên hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ BB 4b và cung lớn AA 4a

Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA Áp dụng định lí hàm số

2 cos 2 1

l BO OA  BO OA 

B A  AB a b h

 

 

4 4

l BB









OA OB

OB



2

AB b





2

AB b





2 a b AB



2 a b

a



1



a b

a b

Thay  a ,  b ,  c vào  1 ta tìm đượcl 58, 79609cm58,80

Ghichú Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA phải không cắt cung BB tại điểm nào khác B , tức là BA nằm dưới tiếp tuyến của BB tại B Điều này tương đương với 1

2 cos b

a

   

 

 

Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó)