D07 toán thực tế, liên môn liên quan khối nón muc do 3

Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1 3 chiều cao của phễu.. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước xấ

Câu 39 [2H2-1.7-3] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Một cái

phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1

3 chiều cao của phễu Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm

A 0,5 cm  B 0,3 cm  C 0,188 cm  D 0, 216 cm 

Lời giải Chọn C

Gọi R h, lần lượt là bán kính và chiều cao của phễu Ta có hSO15

Gọi h1, R1 lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nước lúc ban đầu

5 3

3

h h

h SH

R

h R



Thể tích khối nước

1

2 2

1

1

n

R h

V  R h   Khi quay ngược phễu, nước trong phễu được biểu diễn như hình vẽ

Đặt SO1  x 0, O A1 1 R thì chiều cao cột nước mới trong phễu là hx  1 và

R x

R h



h



Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R Ta có 2

1

1 3

V  R h

Gọi V2 là thể tích khối nón có chiều cao x, bán kính đáy R Ta có

2 3 2

1

R x

h



 

Vì V1V2 V n nên

2 3

2

R x

h



3

  Thay vào  1 ta được chiều cao cột nước mới trong phễu là

3

26

3

Câu 33 [2H2-1.7-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Một cái phễu có dạng hình

nón, chiều cao của phễu là 20 cm Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm (hình H1) Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?

A 0,87 cm B 10 cm C 1, 07 cm D 1,35cm

Lời giải Chọn A

Trước khi lật phễu lên:

Theo bài ra ta có SE10cm, SH 20cm 1

2

SE ED

SH HB

Suy ra

2

2

nuoc

pheu

Sau khi lật phễu lên:

SF FD SMN SAB

SH HB

Do

Vậy chiều cao của nước sau khi lật phễu là

        

Câu 8: [2H2-1.7-3] (THPT CHUYÊN LÀO CAI) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2

hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc

60như hình bên Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là

3

1000  cm Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

A 1

1

1

1

27

Lời giải Chọn B

Gọi h h r r, , ,  30 15

2

h

  lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía dưới và phía

Khi đó: thể tích của đồng hồ:

2

30

V  r h r h    h   h 

1 27000 2700 90

     

90 2700 27000 1000

10 15

h

h







Do 2 hình nón đồng dạng nên

3 1

2

1 8



 

  

Câu 36: [2H2-1.7-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới

(gồm 2 hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60

Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000 cm 3 Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ

và thể tích phần bên dưới là bao nhiêu?

A 1

1

1

1

64

Lời giải Chọn A

Gọi x là chiều cao của hình nón phía trên; 30x là chiều cao đáy dưới

Điều kiện: 0 x 15

 Tam giác OIM vuông tại O có IMO 60 , 3 

3

 Tam giác O IM  vuông tại O có IM O   60 , cot 60 3

3

O M O I   x

Theo giả thiết ta có pt:

(vì x15) Khi đó

M O

I

O

M

x

M O

I

O

M

x

 Thể tích phần trên 3

1

1 1000

V  x  

 Thể tích phần dưới  3

2

30

V   x  

Vậy: tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là 1

2

1 8

V

V 

Câu 47: [2H2-1.7-3] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Có một miếng tôn hình tam giác ABC

đều cạnh 3 dm (như hình vẽ) Gọi K là trung điểm của BC Người ta dùng compa có tâm là

A và bán kính AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB và AC ) rồi cắt miếng

tôn theo cung tròn đó Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN trùng nhau

thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh A Tính thể tích V của cái phễu

r

N M

A

K

A

dm 64





dm 32





dm 32





dm 64





Lời giải

Chọn A

r

N M

A

K

A

Ta có tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên đường cao 3 3

2



Chu vi đường tròn đáy của cái phễu chính là chiều dài x của dây cung MN Mặt khác số đo cung MN bằng số đo góc ở tâm nên sđ MN  60 suy ra độ dài dây cung MN bằng 1

6 độ dài đường tròn, nghĩa là 1.2

6 



x AK 1.2 3 3 3





Gọi r là bán kính của đường tròn đáy của cái phễu, ta có x2r

2

 r x

3 3 2





Chiều cao của cái phễu h AK2r2 3 3 3

    

105 4

Vậy thể tích cái phễu 1 2

3



2

3 4  4

  

105 64



Câu 37: [2H2-1.7-3] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Một cái phễu có dạng hình nón, chiều

cao của phễu là 20 cm Người ta đổ một lượng nươc vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm (Hình 1) Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên (Hình 2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng giá trị nào sau đấy

A 3

20 10 7 D 3 

20 7 10

Lời giải Chọn C

Xét trường hợp 1 lúc nước được đổ vào phêu:

Gọi Vp là thể tích của phễu ta có 1 2

3

V  r h

Gọi Vn là thể tích của nước ta có 1 2

3

V  r h

Xét tỉ số

3 2

2 2

1

3

3

n n

p p

r h





      

 

 

Xét trường hợp 2 lúc lật ngược phễu:

Gọi chiều cao từ đỉnh chóp đến phần diện tích mặt nước phía trên của chóp là x

Gọi Vp là thể tích của phễu ta có 1 2

3

V  r h

Gọi Vr là thể tích của phần rỗng ta có 1 2

3

V  r h

Xét tỉ số

3 2

2 2

1

3

3

r r

p p

r h

r h





20 10 7

x

Câu 406 [2H2-1.7-3] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM - 2017 - 2017] Một cái ly có dạng hình nón được rót

nước vào với chiều cao mực nước bằng 2

3 chiều cao hình nón Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi

úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn B

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R

Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là 2

3

h

và 2 3

R

Do đó thể tích lượng nước trong bình là 8

27

V  Phần không chứa nước chiếm 19

27V

Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước

là hình nón và ta gọi h' và R' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước đó

Ta có R' h'

R  h và phần thể tích hình nón không chứa nước là 19

27V

Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly

là1 ' 3 319

3

h h



 

Câu 27: [2H2-1.7-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Người thợ gia công của một cơ sở

chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

A 16000 2

3

3

3

3

Lời giải Chọn B

Đổi 60cm6dm

Đường sinh của hình nón tạo thành là l6dm

Chu vi đường tròn ban đầu là C2R16

Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là 2 2 6 4 dm

3

2

r 



Đường cao của khối nón tạo thành là 2 2 2 2

Thể tích của mỗi cái phễu là 1 2 1 2 4 22 16 2 dm3 16 2

lít

O

h

l

r