Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trên .. Tính thể tích của khối lăng trụ.. Chứng minh rằng:.
Trang 1Sở giáo dục - đào tạo Thái Bình
Trờng THPT Bình Thanh
Đề kiểm tra chất lợng giữa học kì 1 năm 2010 – 2011 2011
Môn: TOáN 12
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu I (3,0 điểm) : Cho hàm số y = - x3 – 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trên
Câu II (2,0 điểm) : Giải các phơng trình sau:
1 23x 1 7.2 7.22x x 2 0
2 3x 2 3x x 3.2x 8.6x
Câu III (2,0 điểm) : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 f x( ) 2 x3 3x2 12x1 trên đoạn 5
2;
2
;
2 f x ( ) x e x
trên nửa khoảng 0;
Câu IV (2,5 điểm) : Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A
và AC = a, góc B 300 Đờng chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mp(AA’C’C) một góc 300
1 Chứng minh AB (AA’C’C) Từ đó hãy suy ra góc AC B ' 30 0;
2 Tính độ dài đoạn AC’ ;
3 Tính thể tích của khối lăng trụ
Câu V (0,5 điểm) : Cho a, b, c thỏa mãn: a + b +c = 6 Chứng minh rằng:
Trang 2
-Hết -Đáp án và biểu điểm chấm toán 12
m
I
(3,0
điểm)
1 (2,0 điểm): y = - x3 – 3x2 + mx + 4
Với m= 0, ta có hàm số y = - x3 – 3x2 + 4
Tập xác định: D = ………
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = -3x2 – 6x Ta có:
2
0 2
0 ' 0 2 0.
x y
x x y
x
Do đó:
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và 0;
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0)
0,5
0,5
Cực trị: Hàm số y đạt cực tiểu tại x = -2 và yCT = y(-2) = 0; đạt cực đại
tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 4
Giới hạn: lim , lim
Bảng biến thiên:
x - -2 0 +
y’ - 0 + 0
-y +
0 4
-
0,25
0,25
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung
tại điểm (0;4), cắt trục
hoành tại điểm (1;0) và
tiếp xúc với trục hoành
2 (1,0 điểm): y = - x3 – 3x2 + mx + 4
Hàm số đã cho nghịch biến trên
y’ = -3x2 – 6x + m 0, x (y = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm’ ) 0,5
0
' 0
a
3m + 9 0 m -3
Vậy m -3 là các giá trị cần tìm
0,5
II
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm): 23x 1 7.2 7.22x x 2 0
Đặt t = 2x , t > 0 Phơng trình đã cho trở thành:
2t3 7t2 7t 2 0 ……….
2 ( 1)(2t t 5t 2) 0
1
2
0,25 0,25
Trang 3 Với t = 1, ta có: 2x = 1 x = 0;
Với t = 2, ta có: 2x = 2 x = 1;
Với t =1/2, ta có: 2x = 1/2 x = -1;
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0; 1; -1……… 0,5
2 (1,0 điểm): 3x 2 3x x 3.2x 8.6x
Pt 9x - 4.6x + 3.4x = 0;
Chia hai vế phơng trình trên cho 4x 0,ta đợc:
2
4 3 0
………
Đặt 3
2
x
Ta có: t2 – 4t + 3 = 0 t = 1 hoặc t = 3 (t/mđk)……
Với t = 1, ta có: 3
1 2
x
x = 0;
Với t = 3, ta có: 3
2
3
3 log 3 2
x
x
;
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là: 0; 3
2
0,25 0,25
0,5
III
(2,0
điểm) 1 (1,0 điểm): f x( ) 2 x3 3x2 12x1 trên đoạn 5
2;
2
Ta có: f’(x) = 6x2 – 6x – 12, x 5
2;
2
f’(x) = 0 1
2
x x
(t/mđk)………
f(-2) = -3
f(-1) = 8 f(2) = -19 f(5/2) = -33/2
2;
2
min ( ) f x f x
………
0,5
0,5
2 (1,0 điểm): f x ( ) x e x
trên nửa khoảng 0;
f’(x) = (1 – x).e-x , x (0;+) f’(x) = 0 x = 1 (t/mđk)
f(0) = 0, f(1) = e-1 ………
Vì f’(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi qua x = 1 nên f(x) đạt giá trị cực
đại (GTLN) tại x = 1 trên nửa khoảng 0; Mặt khác: f(x) 0 = f(0) , x0;
Vậy:
1 0;
0;
min ( ) f x f x e
0,5
0,5
IV
(2,5
điểm)
Không có hình vẽ (hoặc vẽ hình sai với lời giải) không cho điểm
Trang 4A C
B
B'
1.(1,0 điểm):
'
Suy ra: AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ lên mp(ACC’A’)
Vậy (BC’, (ACC’A’)) = (BC’,AC’) = AC B ' 30 0………
0,5 0,5
2.(0,5 điểm):
Trong tam giác vuông ABC ta có: AB = AC.tan600 = a 3………
Trong tam giác vuông ABC’ ta có: AC’ = AB.cot300 = 3a………
0,25 0,25
3.(1,0 điểm):
Trong tam giác vuông ACC’ ta có: C’C2 = C’A2 – AC2 = 9a2 – a2 = 8a2
Suy ra: C’C = 2 2a
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng: 1 3
' 6 2
0,5 0,5
V
(0,5
điểm)
Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 6 Chứng minh rằng:a b c4 4 4 2( a b c3 3 3)
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:
( ) ( ) ( ) 0
Với f(x) = x4 – 2x3 ………
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = 2 là y = 8x – 16,
Ta sẽ chứng minh: f(x) 8x – 16, x
x4 – 2x3 – 8x + 16 = (x – 2)2(x2 – 2x + 4) 0, x
Vậy: f(a) 8a – 16, f(b) 8b – 16, f(c) 8c – 16
Suy ra: f(a) + f(b) + f(c) 8(a + b +c) – 48 = 0
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2………
0,25
0,25
