Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N.. a Chứng minh MNEF là tứ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình trên tập số nguyên x25y24xy4x8y120
P x x x x Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P x chia
hết cho 11
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
3
3 2
P
, biết
3 55 3024 355 3024
b) Cho các số thực x y z đôi một khác nhau thỏa mãn , ,
x3 3x1, y3 3y và 1 z3 3z 1
Chứng minh rằng x2 y2 z2 6
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 1
4
x
x
b) Giải hệ phương trình
2 2
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không đi qua tâm Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao
cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và
N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành
a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng khi góc nội tiếp
EAF quay quanh điểm A thì I chuyển động trên một đường thẳng cố định
c) Khi 600 và BC R , tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng OI
Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , x y z 3
Chứng minh rằng
xyz
-Hết -
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN - THCS
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
I Một số chú ý khi chấm bài
Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án
Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số
II Đáp án-thang điểm
Câu 1 ( 3,0 điểm)
a) Giải phương trình sau trên tập số nguyên 2 2
b) Cho 3 2
P x x x x Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P x chia hết cho 11
a) Phương trình tương đương với
mà ,x y nên x2y22 16,y 0 (1) hoặc x2y20,y2 16 (2) 0,5
Ta có (1) x2,y hoặc 0 x 6, y 0
(2) y4,x hoặc 6 y 4,x 10
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x y ; 2; 0 , 6; 0 , 6; 4 , 10;4
0,5
b) Bổ đề: Cho x, y là các số tự nhiên và số nguyên tố p có dạng p3k thì 2
3 3
Với x y cùng chia hết cho p thì hiển nhiên đúng ,
Với x p, 1,y p, ta có 1 1 1 3 1 3 1
mod
0,5
Áp dụng Bổ đề, ta có
Do đó, P x P y mod 11x ymod 11
0,5
Suy ra với mỗi n trong 11 giá trị , P n ,P n 1 , ,P n 10 , có duy nhất một
giá trị chia hết cho 11 Do đó, trong các số P 1 ,P 2 ,,P 99 có đúng 9 số chia hết
cho 11, còn P 0 không chia hết cho 11 2
Vậy có đúng 9 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
0,5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Câu 2 ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức
3
3 2
P
, biết
355 3024 355 3024
b) Cho các số thực x y z thỏa mãn , , x3 3x1, y3 3y1,z3 3z1 Chứng minh rằng
2 2 2
6
2 3
2
3 2
P
3
Từ (1), (2) và (3) suy ra
3 3
3 (6)
3
Từ (4) và (5) suy ra
x z xyyz xy xyz x y , z
(vì x, y, z đôi một phân biệt)
Cộng (4), (5) và (6) theo vế với vế ta có
2 x y z 2 xyz x y z
1,0
Câu 3 ( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình 1
4
x
x
b) Giải hệ phương trình
2 2
a) Điều kiện xác định: 1, 0
3
Phương trình tương đương với 2
12x 3x1 4x 3x Đặt 1 a 2 ,x b 3x ta 1
3a b 2ab ba b3a 0b hoặc a b 3a Khi đó
3x 1 2x hoặc 3x 1 6x
1,0
+) Với 3x 1 2x, điều kiện x 0, ta có
3x 1 2x3x 1 4x 4x 3x 1 0x hoặc 1 1
4
+) Với 3x 1 6x, điều kiện 1 0
, ta có
72
72
0,5
Trang 4S
D
I
J
K
N H M
G P
E
A
Q
O
F
Vậy phương trình có hai nghiệm 1, 3 153
72
b) Nhân cả hai vế của (2) với 2 ta có hệ phương trình
Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có
x2y1x2y20 x2y hoặc 1 x2y2
1,0
+) Với x2y , thế vào (2) và rút gọn ta có 1 y y 30 y hoặc 0 y 3
Suy ra x1, y0 hoặc x 5,y 3
+) Với x2y , thế vào (2) và rút gọn ta có 2 3 2 13 5 0 13 109
6
6
Vậy hệ có 4 nghiệm x1, y ; 0 x 5, y ; 3
7 109, 13 109
1,0
Câu 4 ( 7,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không đi qua tâm Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng không đổi sao cho E, F khác
phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành
a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Chứng minh rằng khi góc nội tiếp EAF
quay quanh điểm A thì I chuyển động trên một đường thẳng cố định
c) Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng OI khi 0
60
và BCR a) Ta có
2 (sđ AC sđ BFE) =
= 1
2 (sđ AB sđ BFE )
AFE sđ AC sđ CE
Vậy tứ giác MNEF nội tiếp
2,5
b) Gọi P là giao điểm khác A của AO với đường tròn (O; R)
Lấy G đối xứng với E qua AP DEG G, O
Ta có MDG NEG, 180o 180o
1,0
Trang 5N
A
Gọi giao điểm của AG và BC là H
Chứng minh tương tự a) có tứ giác MHGF nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm M, H, D, G, F
nằm trên một đường tròn
Trung trực của đoạn thẳng FG đi qua O và
cắt đường tròn (O) tại J;
IOJ , sđ JF =sđ JG và sđ PG =sđ PE nên
JOP hay I nằm trên đường thẳng cố
định Đó là đường thẳng đi qua O và tạo với
AO một góc không đổi
1,5
c) Hạ IT BC T BCTH TM Do QH QN, suy ra 1
2
Tam giác vuông OSI có IOS không đổi nên OI nhỏ nhất khi và chỉ khi IS nhỏ nhất
MN nhỏ nhất Ta chứng minh MN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác AMN cân tại A
1,0
Thật vậy, trên BC lấy M’ N’ sao cho M AN' ' Không mất tính tổng quát giả sử
QM QN suy ra AM 'AN' Trên đoạn AM lấy điểm U sao cho ' AU AN'
'
(c.g.c)S AM M' S ANN'MM'NN'M N' 'MN
Với 60 ;o BC R suy ra 3 2 3
R R
MN
6
R
1,0
Câu 5 ( 2,0 điểm) Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , xy Chứng minh rằng: z 3
xyz
Nội dung
Điểm
2x y z 2x yz
2y z x 2y zx , 2z x y 2z x y
2
xyz
Bất đẳng thức này tương đương với
0,5
Ta có
yz
Trang 6 2
0 2 yz yz xy1 nên 1 1
2
Vậy nên
1
1
1
Do đó
Với a, b, c>0 có
nên
(*)
1
2 xy 2 yz 2 zx 6 xy yz zx ;
Vậy
Do vậy ta có
4
xyz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
1,0
HẾT