Nên phương trình vô nghiệm.. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm... Bài 2.3: Với mỗi số nguyên dương n ta phát hành các đồng xu có mệnh giá 1n.. Cho một bộ sưu tập gồm hữu hạn các đồ
Trang 1GẶP GỠ TOÁN HỌC 2014
Tiêu Thụ Bài Giảng Ngày 1
1 Phương trình, hệ phương trình
Bài 1.1: Giải phương trình
x
p
x2− 1
Lời giải: Điều kiện: x > 1 ∨ x < −1 Phương trình (1.1.1) tương đương với
x
1 p
x2− 1+ 1
= 2
Suy ra x > 0, kết hợp điều kiện, ta được x > 1 Đến đây ta có hai hướng đi sau:
• Dùng ẩn phụ: Ta viết (1.1.1) lại như sau
x2
x2− 1+ x2+ 2 · x
2
p
x2− 1
= 4,
x4
x2− 1 + 2 · x
2
p
x2− 1
Đặt t =px2
x2 −1 ¾ 2 Ta có (1.1.2) tương đương với
t2+ 2t − 4 = 0.
Giải phương trình này ta được t = −1 ±p5 (loại)
• Sử dụng bất đẳng thức: Ta có
x
p
x2− 1
+ x > p x
x2− 1
+px2− 1 ¾ 2px ¾ 2.
Nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm
Trang 2Nhận xét:Bạn đọc hãy thử sức với hai bài toán tổng quát sau đây:
x
n
p
x n− 1+ x = k,
a2x2
(x ± a)2+ x2= k.
Bài 1.2: Giải phương trình
8x3− 36x2+ 26x − 15 =p3
Lời giải: Phương trình (1.2.1) tương đương với
(2x − 3)3
+ (2x − 3) = 30x − 15 +p3
30x− 15
Đặt u = 2x − 3, v =p3
30x− 15, ta được
u3+ u = v3+ v,
hay
(u − v)(u2+ uv + v2+ 1) = 0
Suy ra u = v, (vì u2+ uv + v2+ 1 =
u+1
2v2+3
4v2+ 1 > 0, với mọi số thực u, v).
Vậy ta được
2x− 3 =p3 30x− 15, tương đương
2x3− 9x2+ 6x − 3 = 0, (x + 1)3
= 5(x − 1)3
,
x+ 1 =p3
5(x − 1) , hay x= 3p3 p5+1
5 −1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = pp335+1
5 −1
Bài 1.3: Cho số thực a > 0 Giải phương trình
x =
Ç
a+
q
a+pa+pa + x.
Điều kiện: x ¾ −a Dễ dàng nhận thấy
x =
Ç
a+
q
Lời giải 1: Đặt y=pa+pa + x, khi đó, ta có hệ
x =
q
a+p
a + y
y =pa+pa + x Không mất tính tổng quát, giả sử x ¾ y Suy ra
y =pa+pa + x ¾
q
a+p
a + y = x,
Trang 3suy ra tiếp x = y, hay x =pa+pa + x Đặt z =pa + x, ta có hệ
¨ x =pa + z
z=pa + x Tương tự như trên x = z = pa + x, hay x2 − x − a = 0 Kết hợp (1.3.1), ta được nghiệm của phương trình là x=1+p21+4a
Lời giải 2: Nếu x >pa + x, thì
x =
Ç
a+
q
a+pa+pa + x <
q
a+pa+pa + x <pa+pa + x <pa + x Tương tự, nếu x >pa + x thì cũng dẫn đến vô lý.
Do đó, x=pa + x, hay x2
− x − a = 0, từ đó suy ra nghiệm x =1+p21+4a
Nhận xét:Một cách tống quát, phương trình
x =
q
a+pa+ · · · +pa + x
n căn thức
,
có nghiệm x= 1 +p1+4a
2
2 Thuật toán
Bài 2.1: Chọn n + 2 số phân biệt từ các số 1 tới 2n Chứng minh luôn tồn tại bộ 3 số (a, b, c) trong n + 2 số đó thoả c = a + b.
Gợi ý: Xếp n + 2 số đó theo thứ tự tăng dần: x1< x2< · · · < x n+2 Xét các hiệu
x n+2− x1, x n+2− x2, , x n+2− xn+1
Dễ thấy các hiệu này phân biệt cho ta n + 1 số khác nhau, cùng với việc chọn n + 2 số
ban đầu, dựa theo nguyên lí Dirichlet ta có điều phải chứng minh (lưu ý thêm trường
hợp x n+2− x i = xi)
Bài 2.2: Tìm nghiệm nguyên phương trình a2+ b2+ c2 = 2abc.
Gợi ý: Đầu tiên ta sẽ chứng minh a, b, c đều chia hết cho 2 Thật vậy nếu a, b, c đều
là số lẻ thì vế trái là một số lẻ còn vế phải chẵn, vô lí
Như vậy trong ba số a, b, c có 1 số chia hết cho 2, suy ra vế phải chia hết cho 4 Từ
đây dễ dàng chứng minh được hai số còn lại cũng chia hết cho2
Đặt a = 2a0, b = 2b0, c = 2c0, ta được
a02+ b0
2+ c02= 4a0b0c0
Tương tự ta cũng có dc a0, b0, c0 cũng chia hết cho2 Dùng ý tưởng lùi vô hạn ta sẽ
có điều phải chứng minh
Trang 4Bài 2.3: Với mỗi số nguyên dương n ta phát hành các đồng xu có mệnh giá 1
n Cho một
bộ sưu tập gồm hữu hạn các đồng xu như vậy (các đồng xu không nhất thiết có mệnh giá khác nhau) mà tổng mệnh giá của chúng không vượt quá 52 Chứng minh rằng có thể
phân chia bộ sưu tập đó thành không quá 3 nhóm sao cho tổng mệnh giá của các đồng
xu trong mỗi nhóm không vượt quá1
Lời giải: Gọi đồng xu nhỏ nhất có trọng lượng là m, đối với các đồng xu còn lại ta có
thể chia làm ba phần, mỗi phần đều có trọng lượng lớn hơn1− m và bé hơn 1.
Từ đây gọi tổng trọng lượng tất cả đồng xu là a, ta có
3(1 − m) + m < a ¶ 5
2,
suy ra m >1
4, nên m thuộc¦1, 12, 13© Tới đây ta chia làm hai trường hợp:
• Có một đồng xu có mệnh giá 1 hoặc 12
• Tất cả đồng xu đều có mệnh giá 13
Cả hai trường hợp đều dễ dàng chia nhóm suy ra luôn tồn tại cách chia các đồng xu thành ba nhóm sao cho mỗi nhóm đều có tổng trọng lượng ko quá1