2 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3... 4 Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 đvdt.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) A 2 A
2) AB A. B ( víi A 0 vµ B 0 ) 3)
B
A B
A
( víi A 0 vµ B > 0 )
4) A2B A B (víi B 0 ) 5) A B A2B ( víi A 0 vµ B 0 )
A B A2B
( víi A < 0 vµ B 0 )
6)
B
AB B
A
( víi AB 0 vµ B 0 )
7)
B
B A B
A
( víi B > 0 )
B A
B A C B A
C
( Víi A 0 vµ A B2 )
9)
B A
B A C B A
C
)
( víi A 0, B 0 vµ A B
B BÀI TẬP
I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN Bài 1. Thực hiện phép tính
1) 2 1 2 1 2) 2
3
4) 3 1 3 1 5) 2 , 5 40 6) 50 2
10)
4
1 6
9
7 2
25
11 1 2
1 5
3
Bài 2 Thực hiện phép tính:
5) 27 2 3 2 48 3 75 6) 3 2 4 18 32 50
Bài 3 Trục căn thức ở mẫu, rút gọn ( víi x 0 ,x 1)
1 2
17
2
3 2
3
28 3 2
14 6
4
1
1
2
x x
5
5
5
2
x
x
6
3 2
2
1 2
1 2
8
1
1
x x x
Trang 215
1 2 60
1 20
3
3 5
1 3 5
1
12 20 45 5 5
13 5 3 3 5: 15 14
3
1 1 10 27 75 3 48 3
1
5
4 4
5 20 2
1 5
1
5
- 2
5
2
Bài 4.* Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
1) 2 3 2 3 6
3 4
1 2
3
1 1
2
1
99 100
1
2 3
1 1
2
1
4
1 : 4
1 4 2
a a
a a
a
5)
b a
b a
b
b b a
b a b
a
b a
2 2 2
2
II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1 Cho biểu thức: A =
1
1 1
1
x
x x
x x
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
a Rỳt gọn A
b Tớnh A với x = 6 2 5
Bài 3 Cho biểu thức
9
11 3 3
1 3
2
2
x
x x
x x
x
a/ Rỳt gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A < 2
c/ Tìm x nguyờn để A nguyờn
a a
a a a
a
a a
1
1 1
1
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P <7 4 3
a M
� � với a > 0 và a � 1
a/ Rỳt gọn biểu thức M
b/ So sỏnh giỏ trị của M với 1
Bài 6 Cho biểu thức : A = 1 1 1 3
Trang 3a) Rỳt gọn biểu thức sau A.
b) Xỏc định a để biểu thức A >
2 1
Bài 7.Cho A =
42 3 2 : 2 2
x x
với x > 0 , x�4
a Rỳt gọn A
b Tớnh A với x = 6 2 5
Bài 8 Cho biểu thức: P = a 3 a 1 4 a 4
4 a
(a � 0; a � 4)
a) Rỳt gọn P
b) Tớnh giỏ trị của P với a = 9
Bài 9 Cho biểu thức: N = 1 a a 1 a a
a 1 a 1
� �� �
� �� �
1) Rỳt gọn biểu thức N
2) Tìm giỏ trị của a để N = - 2016
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x P
a Rỳt gọn P
b Tìm x để
2
1
P
c Tìm giỏ trị nhỏ nhất của P
a Rỳt gọn A
b Tớnh A với a = 4 15 10 6 4 15
) 1 (
2 : 1 2
2 1
2
a a
a
a a
a E
a) Rỳt gọn E b) Tìm Max E
Bài 13
2 1
1 :
1
x x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6
Bài 14 Cho A = 15 11 3 2 2 3
với x�0 , x�1
a Rỳt gọn A b.Tìm GTLN của A
b Tìm x để A = 1
2 c.CMR : A 2
3
�
Trang 4Bài 15 Cho A = 5 1 : 25 3 5
với a �0 , a�9 , a�4
a Rỳt gọn A
b Tìm a để A < 1
c Tìm a Z� để A Z�
a Rỳt gọn A b So sỏnh A với 1
A
a Rỳt gọn A b Tớnh A với x = 6 2 5
9
x
a Rỳt gọn A b Tìm x để A < - 1
2
a Rỳt gọn A
b Tớnh A với x = 6 2 5
c CMR : A � 1
CHUYấN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRèNH
I.HÀM SỐ BẬC NHẤT
1 Lý thuyết
1/Hàm số y = ax + b là bậc nhất a 0
2/ a) Tớnh chất : Hàm số xỏc định với mọi giỏ trị của x trờn R đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0)
b) Đồ thị của h/s y = ax + b (a � 0) là một đường thẳng luụn cắt trục tung tại điểm cú tung độ là b, song song với đường thẳng y = ax nếu a � 0 và trựng với đt y = ax với b = 0
3/ Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ
Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b) Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = 0 => y = b => A (0;b) Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b 5/ (d) đi qua A(xo; yo) yo= axo + b
Trang 56/ Gọi là góc tạo bởi đờng thẳng và tia Ox Khi đó:
là góc nhọn khi a > 0, là góc tù khi a < 0 7/ (d) cắt (d’) a a’ (d) vuông góc (d’) a a’ = -1 (d) trùng (d’) (d)//(d’)
8/ (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là a (d) đi qua A(a; 0) 9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b (d) đi qua B(0; b)
10/ Cỏch tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’): Giải phơng trình
HĐGĐ: ax + b = a’x + b’
Tìm được x Thay giỏ trị của x vào (d) hoặc (d’) ta tìm được y
=> A(x; y) là TĐGĐ của (d) và (d’)
2 B ài tập
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:
a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4 h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3: Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy
Bài 4 Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
�
�
�
a a'
b b'
�
� ��
�
a a'
b b'
Trang 61) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số
y = -2x + 1
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m
4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt)
Bài 5 Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 6 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 và C 1 ; 4
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đ-ờng thẳng y2x3 Xác định tọa độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với trục hoành Ox
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2
điểm B và C Tính góc tạo bởi đờng thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút)
c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ các giao điểm của đờng thẳng y=-2x+3 với các trục
Ox ,Oy
II
VẼ ĐỒ THỊ & TèM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax 2 VÀ (d): y = ax + b (a �
0)
1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số y = ax2(a�0) cú những tớnh chất sau:
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Đồ thị của hàm số y = ax2(a�0):
Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phớa trờn trục hoành 0 là điểm thấp nhất của đồ thị
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phớa dưới trục hoành 0 là điểm cao nhất của đồ thị
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a�0):
Lập bảng cỏc giỏ trị tương ứng của (P)
Dựa và bảng giỏ trị � vẽ (P)
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau � đưa vờ̀ pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0
Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0 � pt cú 2 nghiợ̀m phõn biợ̀t �(D) cắt (P) tại 2 điểm phõn biợ̀t
+ Nếu = 0 � pt cú nghiợ̀m kép �(D) và (P) tiếp xỳc nhau
+ Nếu < 0 � pt vụ nghiợ̀m �(D) và (P) khụng giao nhau
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau � đưa vờ̀ pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0
Trang 7 Lập (hoặc') của pt hoành độ giao điểm.
Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0� giải bất pt � tìm m
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0� giải pt � tìm m
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi < 0� giải bất pt � tìm m
2 BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm số y = 2
2
x có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm)
1 Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa
độ các giao điểm của chúng
2 Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm)
1 Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa
độ các giao điểm của chúng
2 Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng 1
2
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P)
1 Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc
2 Gọi A( 2 7
3;
) và B(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P)
3 Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6
Bài tập 4: Cho hàm số y = 3
2
x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + 1
2 có đồ thị (D)
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc
2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D)
3 Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó
bằng – 4
Bài tập 5: Cho hàm số y = 2
3x2 có đồ thị (P) và y = x + 5
3 có đồ thị (D)
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc
2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D)
3.Gọi A là điểm � (P) và B là điểm � (D) sao cho
A B
A B
x x
�
� Xác định tọa độ của A và B
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B
2 Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d)
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy
1 Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
Trang 8a) Viết phương trình đường thẳng (D).
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D)
1 Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng
2 Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2 Xác định tọa độ của A, B
3 Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D)
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phương pháp đại số
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành
độ bằng – 1 Xác định tọa độ của A và B
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B
2 Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm)
3 CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông
III.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 lý thuyết
Xét 2 đường thẳng: ax+by=c ( d) và a'x +b'y=c' (d')
Hay y ax c(d)
b ' b '
Hay hệ Cho hệ phương trình: , 0 (d)
' ' ', ' 0 (d')
a x b y c a
�
�
(d) cắt (d’) �
' '
a �b � Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
(d) // (d’) �
' ' '
a b �c � Hệ phương trình vô nghiệm.
(d) � (d’) �
' ' '
a b c � Hệ phương trình có vô số nghiệm
2 Bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)
5 3 6
3 2 4
y x
y x
2)
10 6 4
5 3 2
y x
y x
3)
14 2 5
0 2 4 3
y x
y x
4)
14 2 3
3 5 2
y x
y x
5)
1 5 )
3 1
(
1 ) 3 1 ( 5
y x
y x
6)
5 3
3 , 0 1 , 0 2 , 0
y x
y x
7)
0 10 3 2
y x y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1)
xy y
x
xy y
x
4 ) 5 )(
5 4
(
6 ) 3 2 )(
2 3
(
2)
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2
y x y x
y x y x
Trang 93)
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1 (
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2
(
x y y
x
y x y
x
4)
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
5)
32 ) 2 )(
2 ( 2
1 2
1
50 2
1 ) 3 )(
2 ( 2
1
y x xy
xy y
x
6)
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10 (
) 1 )(
20 (
Dạng 2 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình chứa tham số :
Bài tập 1: 1)
1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
2)
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
3)
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
x
4)
6 2
3
13 2 2
2 2
y x
y x
5)
11 3
2
16 2
3
y x
y x
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
4
10 4
my x
m y
mx
(m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT
A LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai:
* Khái niệm :
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số thực và a � 0
1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c:
ax2 + bx = 0 � x ( ax + b ) = 0
� x = 0 hoặc x = b
a
2/TQ Giải pt bậc hai khuyết b:
ax2 + c = 0 � x2 = c
a
Nếu c
a � 0 � pt có hai nghiệm x1,2 = �c
a
Nếu c
a < 0 � pt vô nghiệm.
3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = 0 ( a � 0) = b 2 - 4ac
Trang 10* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -
2a
; x
2 = -b +
2a
* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a-b
* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức
nghiêm thu gọn
' = b'2 - ac
* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
VÀO 6
x1 = -b' - '
a
; x
2 = -b' + '
a
* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'
a
* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm
4/ Phương trình quy về phương trình bậc hai
a/ Phương trình trùng phương
a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số, a� 0
b) Cách giải:
Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t � 0) từ đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu những giá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu)
b/ phương trình tích
Dạng tổng quát: A.B = 0 � � ��B A00
Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0
c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế)
- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)
- Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học
- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không thuộc vào tập xác định của phương trình)
II- Hệ thức Vi - ét và ứng dụng :