De thi casio Ha Tinh nam hoc 2009 - 2010

Đề thi học sinh Giỏi Tỉnh Casio Hà Tĩnh năm 2009 - 2010

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức(chỉ ghi kết quả với 4 chữ số thập phân):

4

A





; 3+ 5 - 3 - 5 + 2009- 13,3

B=

Bài 2: Cho đa thức P(x) = x6ax5bx4cx3dx2ex f có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x nhận các giá trị tơng ứng 1; 2; 3; 4; 5; 6.

a) Tìm a, b, c, d, e, f

b) Tìm giá trị của P(x) khi x nhận các giá trị 11; 12; 13; 14

a) Xét đa thức Q(x) =P(x) –3x212x12 Rõ ràng Q(x) là đa thức bậc 6 với hệ số cao nhất

là 1 và Q(1) =Q(2) =Q(3) =Q(4 ) = Q(5) =Q(6) =0 Vậy Q(x) =(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6)

Do đó P(x) = Q(x) +3x212x12 =(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6) +3x212x12

Nhân ra và khi triển ta đợc P(x) = x6 – 21x5 +175x4 -735x3 +1627x2 -1776x +732

Vậy a =-21; b=175; c =-735; d =1627; e =-1776; f =732

b) Viết ra biểu thức dùng phím CALC máy 570 MS ta đợc

P(11) =151 443; P(12) =332 940; P(13) =665 643; P(14) =1235 952

Bài 3: a) Tìm các chữ số a, b sao cho P=17712 81ab là số chính phơng và a+b =13

b) Tìm các chữ số c, d sao cho E1 399025cd là số chính phơng và chia hết cho 9

c) Tìm các chữ số m, n, p sao cho K = 2009mnp đồng thời chia hết cho các số 5;7 và 9

a) Đặt P = x2 với x là số nguyên dơng: Ta có:

177120081 177129981 177120081 177129981

13308,64685 13309,0187

x

Do x là số nguyên dơng nên x = 13 309 thử lại ta thấy x2 =177129481 khi đó a =9; b=4 và a+b =

13 thoả mãn điều kiện bài toán

b) Vì E chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của E chia hết cho 9

suy ra c+ d + 29  9 => c+ d + 2  9 suy ra c+ d = 7; 16

+ Nếu c+d = 7 do c, d là các chữ số nên ta có các trờng hợp sau:

Thử trên máy ta đợc số thoả mãn là: 152399025;

+ Nếu c+d = 16 vì c, d là các chữ số ta có các trờng hợp sau: (c; d) =(7; 9); (9; 7); (8; 8);

Thử trên máy không có số nào thoả mãn

Vậy c=5; d = 2

c) Ta có K=2009000+mnp =315.6377+ 245 + mnp Ta thấy các số 5;7; 9 là ba số đôi một

nguyên tố cùng nhau nên K chia hết cho 5.7.9=315 từ đó suy ra 245 +mnp  315

=> 245 +mnp =315.t (với t là số tự nhiên)

Ta có 245 245  mnp245 999 1244  => 245 315. t1244 1 t 3

Thử với t=1 suy ra mnp =70 tức là m=0; n=7; p = 0;

Với t = 2; mnp =385 tức là m=3; n=8; p = 5;

Với t =3 ; mnp =700 tức là m=7; n=0; p = 0;

Bài 4: Tìm đa thức bậc 3 f(x) biết rằng f(x) chia cho x -10; x- 20; x- 30 đều đợc số d là 6 và

f(-11) = -133449

Đặt g(x) = f(x) – 6 suy ra g(x) là đa thức bậc 3 theo bài ra ta có g(10) =g(20)=g(30)= 0

Nên g(x) = a(x-10)(x-20)(x-30) với a là hệ số của x3 khác 0

Mà f(-11) = -133449 nên g(-11) =f(-11) – 6 =-133449 - 6

a.(-11-10)(-11-20)(-11-30) = -133455 => a =5

Vậy f(x) = g(x) + 6= 5(x-10)(x-20)(x-30) + 6 =5x3 -300x2 +5500x - 29994

Bài 5 : Cho hình thang vuông ABCD có A D 90   0, góc nhọn C  BC =m, CD = n

a) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD theo m, n, 

b) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD biết m= 4,25 cm; n= 7,56 cm;  54 30'0

(lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy)

a) Hạ BH vuông góc với DC Tính đợcAD = BH =BC.sin =m.sin ;

CH = m.cos => AB = DH =n –CH =n - m.cos

Vậy

ABCD

ABCD

S

b) Thay số ta đợc: S =21,8879 cm2 ; P = 20,3620 cm; AC =8, 6727 cm; BD =6,1563 cm

Bài 6 Tam giác ABC có BC = a; CA = b và  BAC900.

a) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC theo a, b và 

b) Tính diện tích, chu vi và đờng cao AH của tam giác ABC khi a = 2010 cm; b= 2009 cm và

0

123 30'

  (lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy)

C

m

n



Vẽ CK vuông góc với AB; AK =b.cos(1800 -  ); CK =b.sin(1800 -  );

BK = BC2 CK2  a2 b2sin (1802 0);

AB=BK – AK = a2  b2sin (1802 0)-b.cos(1800 - );

Vậy:

1

sin (180 ) b.cos(180 ) sin(180 ) 2

sin (180 ) b.cos(180 )

ABC

ABC

b) 2S  a2 b2sin (1802 0 ) b.cos(1800 ) sin(180 b 0 )

AH

Bài 7:a) Cho số A =39999 Tìm 2 chữ số cuối của A

b) Phân tích số 20092010thành tổng các số nguyên dơng Tìm d củaphép chia của tổng các lập phơng của các số đó cho 6:

a) Ta có:

 495  4  495  4  495

3 3 3  3 3 3  01 67 01 67 (mod 100)

Vậy 2 chữ số tận cùng của A là 67

b) Ta có x3 x x x  1 x  với mọi số nguyên x.1 6

Giả sử a a a1; ; ; ;2 3  a n là các số nguyên dơng có tổng bằng 20092010 Suy ra d của phép

chia a13a32a33a n3cho 6 cũng là d của a1a2a3a n cho 6 mà

2010

a a a a 

 2010  2010

2009  2010 1  335.6 1  ( 1)  (mod 6)1

Vậy a13a32a33a n3 chia 6 d 1

Bài 8: Tìm cặp số nguyên dơng (x; y) vỡi nhỏ nhất thoả mãn phơng trình

: a) 3156x2807 144 x2 20y252x59

: b) Cho 2 dãy số a11;a2 1;a n a n1 2a n2;b n a n2a a n n1a n21

1) Tính an theo n

2) Tính a33

Sơ lợc cách giải:

Từ giả thiết suy ra: 3156 2 807 144 2 52 59

20

Nhập 0 SHIFT STO A 1 + ALPHA A SHIFT STO A

( ( SHIFT 3 ( 156 ALPHA A X2 + 807 ) + 144 ALPHA A X2 - 52 ALPHA A

- 59 ) ab c 20 ) =  SHIFT COPY = =

Quan sát màn hình cho đến khi giá trị y nguyên ta đợc (x; y) = (11; 29)

Đáp số

A

K

H

0

180  

b

a

b) 1 : Ta có



  (*) Thay a k2 a k1 2a k vào tử số ta đợc:

2

Tơng tự ta có 1 2

2



   Vậy 1 2 k 1

k

a   b Mà từ giả thiết suy ra b1 = 2 Suy ra 1 2k 1

k

  Vậy 2n

n

a  với mọi số nguyên dơng n.

2: Thay số ta đợc a 33 2338 589 934 592

Lời giải đáp án: Lê Bá Hoàng CV Phòng GD - ĐT Hồng Lĩnh