Tài liệu ôn thi Cơ học lượng tử

1.2.3 Lý thuyết Einstein về sự lượng tử ánh sáng Lý thuyết Einstein cho rằng: Sóng điện từ khi tương tác với vật chất thể hiện như mộtdòng các lượng tử ánh sáng có năng lượng ε = hν = hc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ôn tập Cơ học lượng tử

Biên soạn: Triệu Đoan An

Sinh viên khóa 44 - Khoa Vật lý Đại học Sư phạm TP.HCM

Phiên bản 2 - Ngày 28 tháng 12 năm 2019

Mục lục

1.1 Bức xạ của vật đen - lý thuyết Planck 7

1.1.1 Vật đen 7

1.1.2 Sự bất lực của lý thuyết cổ điển 7

1.1.3 Lý thuyết Planck về sự lượng tử năng lượng 7

1.2 Hiện tượng quang điện và lý thuyết Einstein 8

1.2.1 Hiện tượng quang điện và các định luật quang điện 8

1.2.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển 8

1.2.3 Lý thuyết Einstein về sự lượng tử ánh sáng 8

1.3 Hiệu ứng Compton 8

1.3.1 Thí nghiệm tán xạ Compton 8

1.3.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển 8

1.4 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro và lý thuyết Bohr 9

1.4.1 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro 9

1.4.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển 9

1.4.3 Lý thuyết Bohr về sự lượng tử hóa không gian 9

1.5 Đặc điểm chung của các lý thuyết tiền lượng tử 9

1.5.1 Hoàn chỉnh 9

1.5.2 Không chặt chẽ 9

2 Hàm sóng - Phương trình Schrodinger 11 2.1 Lưỡng tính sóng hạt 11

2.1.1 Giả thuyết Louis de Broglie 11

2.1.2 Thí nghiệm Davisson-Germer kiểm chứng giả thuyết Louis de Broglie 12

2.2 Ý nghĩa thống kê hàm sóng 13

2.3 Nguyên lý chồng chất trạng thái 13

2.3.1 Bản chất của sự chồng chất trạng thái 13

2.3.2 Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ở trạng thái chồng chất 13

2.3.3 Hệ số khai triển hàm sóng 14

2.4 Tính chất của hàm sóng vật lý 14

2.5 Phương trình Schrodinger 14

3 Toán tử và đại lượng vật lý 16 3.1 Một số biểu thức toán tử 16

3.2 Một số đẳng thức toán tử thường dùng 16

3.3 Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitic) 18

3.4 Đo đại lượng vật lý 18

3.4.1 Các toán tử cơ bản 19

3.4.2 Bài toán hàm riêng - trị riêng 20

3.5 Hai đại lượng vật lý xác định đồng thời 21

3.6 Đại lượng bảo toàn - Bộ đủ mô tả hệ vật lý 21

3.7 Nguyên lý bất định 22

3.7.1 Độ bất định 22

3.7.2 Hệ thức bất định 22

3.7.3 Hệ thức bất định cho các cặp chính tắc 22

4 Bài tập 23 4.1 Hàm sóng - Hàm riêng, trị riêng, trị trung bình 23

4.2 Nguyên lý bất định 34

5 Chuyển động một chiều 38 5.1 Hố thế vuông góc thành cao vô hạn 38

5.1.1 Giải phương trình Schrodinger - hàm sóng toán học 38

5.1.2 Điều kiện hàm sóng vật lý 39

5.1.3 Hiệu ứng lượng tử 39

5.1.4 Các giá trị trung bình đại lượng vật lý 40

5.2 Hố thế vuông góc thành cao hữu hạn 41

5.2.1 Giải phương trình Schrodinger 42

5.2.2 Hàm sóng vật lý 42

5.2.3 Hiệu ứng lượng tử 42

5.2.4 Bài tập 43

5.3 Rào thế bậc thang 43

5.3.1 Giải phương trình Schrodinger 43

5.3.2 Trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng rào thế 43

5.3.3 Trường hợp năng lượng cao hơn rào thế 45

5.3.4 Hiệu ứng lượng tử 46

5.4 Rào thế chữ nhật 46

5.4.1 Giải phương trình Schrodinger 46

5.4.2 Trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng rào thế 47

5.4.3 Trường hợp năng lượng của hạt lớn hơn chiều cao rào thế 47

5.4.4 Hiệu ứng lượng tử 48

5.5 Hiệu ứng lượng tử đối với chuyển động một chiều 49

5.6 Phương pháp tách biến mở rộng cho chuyển động ba chiều 49

5.6.1 Quy trình 49

5.6.2 Bài tập 50

6 Dao động tử điều hòa một chiều 51 6.1 Thiết lập phương trình không thứ nguyên 51

6.2 Tóm tắt quy trình giải bằng phương pháp giải tích 52

6.3 Hiệu ứng lượng tử 54

6.4 Dao động tử điều hòa ba chiều 54

6.5 Phương pháp đại số 55

6.5.1 Toán tử sinh - toán tử hủy 55

6.5.2 Các tính chất quan trọng 55

6.5.3 Bra-vector và ket-vector 56

6.5.4 Hàm sóng chân không 56

6.5.5 Phương trình hàm riêng - trị riêng 56

6.5.6 Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng 57

6.5.7 Ý nghĩa của toán tử sinh - toán tử hủy 58

6.5.8 Tính toán đại số 59

7 Moment động lượng - Hàm cầu 61

7.1 Biểu thức toán tử moment động lượng quỹ đạo trong hệ tọa độ Descartes 61

7.2 Biểu thức giao hoán tử 61

7.3 Thiết lập biểu thức toán tử trong hệ tọa độ cầu 62

7.4 Hàm riêng - trị riêng của toán tử moment động lượng quỹ đạo 64

7.4.1 Hình chiếu moment động lượng trên trục Oz 64

7.4.2 Bình phương moment động lượng quỹ đạo 65

7.5 Phương pháp đại số 65

7.5.1 Toán tử bậc thang 65

7.5.2 Các tính chất quan trọng 66

7.5.3 Hàm riêng - trị riêng 67

7.5.4 Tác dụng lên hàm cầu 67

7.5.5 Tính toán đại số 68

7.6 Chuyển động trong trường xuyên tâm 69

7.6.1 Thiết lập Hamiltonian 69

7.6.2 Đại lượng bảo toàn 70

8 Nguyên tử Hydro 71 8.1 Phương trình Schrodinger 71

8.1.1 Thiết lập Hamiltonian 71

8.1.2 Đưa về bài toán một hạt 71

8.1.3 Phương trình Schrodinger 73

8.1.4 Phương trình không thứ nguyên 73

8.2 Tóm tắt quy trình giải bằng phương pháp giải tích 74

8.3 Bài toán nguyên tử Hydro và lý thuyết Bohr 74

9 Spin 76 9.1 Thí nghiệm Stern-Gerlach 76

9.2 Tính chất các toán tử spin 76

9.3 Ma trận Pauli 77

9.4 Phương trình hàm riêng - trị riêng 80

9.5 Bài tập 83

10 Lời giải tham khảo 84 10.1 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ II - năm học 2018-2019 84

10.2 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ I - Năm học 2018-2019 90

10.3 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ II - Năm học 2017-2018 95

Lời nói đầu

kỳ này Em xin chân thành cảm ơn cô rất nhiều!

Tuy nhiên, vì quá trình tiếp xúc với Cơ học lượng tử của tôi mới còn rất ngắn nên tôinghĩ vẫn tồn tại những lỗ hỏng trong phần kiến thức tôi hiện có Mặt khác, sự tồn tại những saisót trong soạn thảo là điều không thể tránh khỏi Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý vàthảo luận từ bạn đọc, dù là những góp ý nhỏ nhất, thông qua email: kehy.antrieu@gmail.com.Tôi xin chân thành cảm ơn bạn đọc rất nhiều!

Tác giả

Để sử dụng hiệu quả tài liệu tham khảo

Nhằm giúp bạn đọc có thể sử dụng quyển tài liệu tham khảo này một cách hiệu quả,đồng thời cũng tránh những tình huống không hay xảy ra, tác giả xin lưu ý bạn đọc một sốđiều như sau:

1 Giới hạn trách nhiệm của tác giả đối với nội dung tài liệu

Nội dung quyển tài liệu hoàn toàn do tác giả tự tổng hợp, không theo yêu cầu của bất

kỳ cá nhân, tổ chức nào khác Tài liệu được viết và chỉnh sửa cũng chỉ bởi một mìnhtác giả, chưa qua sự kiểm duyệt của giảng viên hay bất kỳ cá nhân, tổ chức nào Vớilượng kiến thức và thời lượng tiếp xúc môn học trong một học kỳ, tác giả không thểđảm bảo tính chính xác tuyệt đối cho nội dung của quyển tài liệu này Vì vậy, mongbạn đọc sử dụng quyển tài liệu này chỉ với mục đích tham khảo, không nên dùng làm cơ

sở chính cho việc làm bài kiểm tra, bài thi và các cuộc thảo luận chuyên môn Tác giảkhông chịu trách nhiệm cho những trường hợp sử dụng tài liệu ngoài mục đích tham khảo

Tuy nhiên, tác giả rất mong nhận được sự góp ý và thảo luận từ bạn đọc để giúp hoànthành quyển tài liệu tốt hơn

2 Tài liệu này không dùng cho mục đích thương mại

Tác giả soạn quyển tài liệu này không vì mục đích lợi nhuận Vui lòng không in ấn, saochép để bán hay phục vụ cho hoạt động thương mại tương tự

Tác giả sẽ rất buồn nếu biết bạn làm chuyện này

3 Một số lưu ý trong quá trình tiếp nhận nội dung:

- Một số cách ký hiệu, thuật ngữ của tác giả sử dụng có thể khác với những nguồn tàiliệu khác Bạn đọc nên thường xuyên so sánh, đối chiếu với những nguồn tài liệu thamkhảo khác

- Tác giả xây dựng lại lý thuyết theo cách hiểu riêng và theo mục tiêu ôn thi nên một sốphần rất khác so với cách xây dựng lý thuyết theo lịch sử phát triển Cơ học lượng tử,cũng như cách xây dựng từ các tài liệu liên quan đến bộ môn này

- Mục "Yêu cầu" trong tài liệu mang ý nghĩa xây dựng lý thuyết và công thức quantrọng Bạn đọc nên làm theo hướng dẫn từ những mục Yêu cầu liên tiếp nhau để xâydựng lại kiến thức trong bài học Hiển nhiên, cách dẫn dắt này là chủ quan, bạn có thể

tự xây dựng theo cách riêng của bạn Mục "Bài tập" trong tài liệu giải quyết các bàitập liên quan cốt yếu, mang ý nghĩa ứng dụng lý thuyết đã xây dựng

- Với quan điểm "học-hết", tác giả chỉ bỏ qua một số phần giải phương trình Schrodingerđòi hỏi cao về kiến thức toán học

4 Tài liệu sẽ được cập nhật nếu cần

Nhằm khắc phục những lỗi sai và bổ sung nội dung, tài liệu sẽ được cập nhật khi sự thayđổi là đủ lớn Bạn đọc có thể theo dõi và tải tài liệu tại đây Trang bìa mỗi lần cập nhật

có ghi rõ phiên bản và ngày cập nhật

Xin cảm ơn bạn đọc đã chú ý!

Lịch sử phiên bản

Phiên bản 2 - Ngày 28 tháng 12 năm 2019

Phiên bản thứ hai của quyển tài liệu này đã được bổ sung một số phần như sau:

1 Bài tập giá trị trung bình của đại lượng vật lý

2 Phương pháp giải tích đối với dao động tử điều hòa một chiều

3 Phương pháp tách biển giải bài toán dao động tử điều hòa ba chiều

4 Phương pháp đại số đối với moment động lượng quỹ đạo - toán tử bậc thang

5 Lời giải tham khảo đề thi kết thúc học phần của 3 học kỳ gần nhất

Tác giả cũng thay đổi thứ tự nội dung tài liệu để đạt hiệu quả tốt trong việc ôn thi

Xin chân thành cảm ơn bạn Phan Quang Sơn - lớp Sư phạm Vật lý B - K42 đã chia

sẻ đề thi đến tác giả

Nếu không có nhiều thay đổi quan trọng, đây sẽ là phiên bản cuối của quyển tài liệu đốivới học kỳ này và phiên bản 3 sẽ được cập nhật vào học kỳ tiếp theo

Chúc các bạn thi tốt!

Phiên bản 1 - Ngày 22 tháng 12 năm 2019

Phiên bản đầu tiên của quyển tài liệu này gồm hầu hết các kiến thức quan trọng đối vớiquá trình ôn thi Cơ học lưởng tử, do tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạmTP.HCM, phụ trách Tác giả bỏ qua phần giải phương trình Schrodinger đối với các trườnghợp đòi hỏi cao kiến thức Toán học: hố thế độ cao hữu hạn, rào thế, dao động tử điều hòa mộtchiều, hàm cầu và nguyên tử Hydro

Bạn đọc nên bám theo đề cương ôn thi do giảng viên cung cấp để có định hướng ôn thitốt nhất

1 Lý thuyết tiền lượng tử

1.1 Bức xạ của vật đen - lý thuyết Planck

1.1.1 Vật đen

Vật đen là vật hấp thụ hoàn toàn bức xạ chiếu tới

Vật đen bức xạ sóng điện từ Phổ bức xạ vật đen là đường biểu diễn cường độ nănglượng bức xạ do vật đen phát ra theo bước sóng (hoặc theo tần số) của bức xạ

Vật lý thực nghiệm thời kỳ tiền lượng tử đã vẽ được phổ bức xạ nhiệt của vật đen tuyệtđối Người ta mong đợi lý thuyết giải thích phổ bức xạ này

1.1.2 Sự bất lực của lý thuyết cổ điển

Công thức mô tả phổ bức xạ của vật đen mà lý thuyết cổ điển đưa ra không trùng khớphoàn toàn với thực nghiệm:

1 Công thức của Wien đưa ra khá phù hợp với thực nghiệm ở miền bước sóng ngắn, nhưngkhông phù hợp đối với bước sóng dài

ρ(λ, T ) = c1

λ5 exp− c2

λT



Việc chọn các hệ số c1, c2 của Wien chỉ để phù hợp với thực nghiệm mà không dựa trên

cơ sở lý thuyết nào

2 Rayleigh dùng lý thuyết bức xạ điện từ cổ điển và phân bố Boltzmann thu được côngthức phân bố năng lượng bức xạ trong vòng bước sóng dài Jeans phát triển ý tưởngthành công thức:

ρ(λ, T ) = 8π

λ4kBT

Tuy nhiên, công thức này phá sản hoàn toàn ở vùng bước sóng ngắn Người ta gọi đây là

sự khủng hoảng vùng tử ngoại

1.1.3 Lý thuyết Planck về sự lượng tử năng lượng

Lý thuyết Planck cho rằng: Năng lượng do vật đen phát xạ không liên tục và gián đoạntheo từng lượng tử

ε = nε0

với n = 0, 1, 2, và ε0 = hc

λ.Công thức mà Planck đưa ra trùng với công thức của Wien ở vùng bước sóng ngắn vàtrùng với công thức của Rayleigh-Jeans ở vùng bước sóng dài

λkBT



− 1

1.2 Hiện tượng quang điện và lý thuyết Einstein

1.2.1 Hiện tượng quang điện và các định luật quang điện

Hiện tượng quang điện là hiện tượng electron được phát ra khi chiếu ánh sáng lên bềmặt kim loại

Các định luật quang điện:

1 Hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng ánh sáng chiếu tới nhỏ hơn một giá trịngưỡng: λ ≤ λ0

2 Vận tốc electron bức ra không phụ thuộc vào cường độ sáng chiếu tới và chỉ phụ thuộcvào bước sóng của chùm ánh sáng chiếu tới

3 Cường độ dòng quang điện bão hòa không phụ thuộc vào bước sóng mà tỉ lệ thuận vớicường độ ánh sáng tới

1.2.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển

Theo lý thuyết cổ điển về bức xạ điện từ, electron có thể tích tụ năng lượng và thoát rakhỏi bề mặt kim loại đối với mọi bước sóng ánh sáng chiếu tới, không bị ràng buộc bởi điềukiện λ < λ0 như thực nghiệm

Lập luận trên cũng dẫn đến: cường độ ánh sáng chiếu tới càng mạnh thì electron tích tụcàng nhiều năng lượng và bứt ra với vận tốc đầu càng lớn Lý thuyết cổ điển không giải thíchđược sự tỉ lệ của cường độ dòng bão hòa theo cường độ ánh sáng tới

1.2.3 Lý thuyết Einstein về sự lượng tử ánh sáng

Lý thuyết Einstein cho rằng: Sóng điện từ khi tương tác với vật chất thể hiện như mộtdòng các lượng tử ánh sáng có năng lượng ε = hν = hc

∆λ = λ0− λ = h

2mc(1 − cosθ)

1.3.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển

Theo lý thuyết sóng ánh sáng cổ điển, tia X truyền đến tinh thể graphite làm cho các hạtmang điện dao động với cùng tần số với tia X Do đó, các các hạt mang điện phải phát ra bức

xạ theo mọi phương và có cùng tần số (hay cùng bước sóng) với tia tới

Hiệu ứng Compton được giải thích hoàn chỉnh bởi lý thuyết Einstein

1.4 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro và lý thuyết Bohr

1.4.1 Quang phổ vạch của nguyên tử Hydro

Nguyên tử Hydro chỉ hấp thụ hay phát xạ sóng điện từ với những giá trị bước sóng rờirạc, tạo nên quang phổ vạch

1.4.2 Khó khăn của lý thuyết cổ điển

Lý thuyết cổ điển cho rằng quá trình vật lý chỉ có thể diễn ra liên tục Theo đó, quangphổ do nguyên tử phát ra phải là quang phổ liên tục Mặt khác, lý thuyết cổ điển cũng khônggiải thích được tính bền vững của nguyên tử: electron trong mô hình nguyên tử của Rutherfordmất dần năng lượng và rơi vào hạt nhân

1.4.3 Lý thuyết Bohr về sự lượng tử hóa không gian

Lý thuyết Bohr đưa ra 2 tiên đề sau:

1 Electron chuyển động trên các quỹ đạo dừng xung quanh hạt nhân Trên mỗi quỹ đạodừng, electron không phát xạ sóng điện điện từ và có năng lượng xác định Tập hợp cácmức năng lượng này tạo thành một phổ năng lượng xác định

2 Electron phát xạ hay hấp thụ năng lượng khi chuyển tử quỹ đạo dừng này sang quỹ đạodừng khác Năng lượng hấp thụ hay phát xạ là đại lượng gián đoạn và bằng độ chênhlệch giữa hai mức năng lượng

Từ 2 tiên đề trên, Bohr đưa ra quy tắc lượng tử hóa không gian: Moment động lượng quỹđạo của electron gián đoạn theo từng lượng tử:

L = n~ (n = 1, 2, )với ~ là hằng số Planck thu gọn

1.5 Đặc điểm chung của các lý thuyết tiền lượng tử

1.5.1 Hoàn chỉnh

Các lý thuyết trên phù hợp với thực nghiện, giải thích định tính và định lượng được cáchiện tượng vật lý:

1 Lý thuyết Planck giải thích được phổ bức xạ nhiệt của vật đen tuyệt đối

2 Lý thuyết Einstein giải thích được hiện tượng quang điện và hiệu ứng Compton

3 Lý thuyết Bohr giải thích được quang phổ vạch của nguyên tử Hydro

1 Lý thuyết Planck: lượng tử năng lượng.

2 Lý thuyết Einstein: lượng tử ánh sáng

3 Lý thuyết Bohr: lượng tử không gian

là những ý tưởng đột phá, là tiền đề cho cơ học lượng tử

Vì vậy, các lý thuyết trên được gọi là "lý thuyết tiền lượng tử"

2 Hàm sóng - Phương trình Schrodinger

2.1 Lưỡng tính sóng hạt

2.1.1 Giả thuyết Louis de Broglie

1 Mọi hạt vi mô đều có tính chất sóng

2 Chuyển động của một hạt vi mô liên kết với một sóng phẳng, đơn sắc:

Từ hệ thức liên hệ giữa xung lượng p và số sóng k, ta thu được biểu thức tính bước sóng

de Broglie:

λ = 2π~

p =

hp

1 Xét trường hợp hạt chuyển động phi tương đối tính

Liên hệ năng lượng - xung lượng:

p =√2mE

2 Xét trường hợp hạt chuyển động phi tương đối tính.

Liên hệ năng lượng - xung lượng:

Bước sóng de Broglie của quả bóng tennis:

λ = h

mv ∼ 10

−34J.s(0.1 kg)(0.5 m/s) ∼ 10−33mBước sóng vừa tính được còn nhỏ hơn cả kích thước của hạt nhân nguyên tử

Vì bước sóng của các vật thể vĩ mô rất nhỏ so với kích thước của các vật thế giới vĩ mônên tính chất sóng không được thể hiện (chính xác là thể hiện rất yếu so với tính hạt) Vậy nên

ta thường bỏ qua tính sóng trong lưỡng tính sóng hạt của vật chất trong trong thế giới vĩ mô

2.1.2 Thí nghiệm Davisson-Germer kiểm chứng giả thuyết Louis de Broglie

1 Mô tả thí nghiệm: Bắn trực diện chùm electron vào tấm nickel Điều chỉnh vị trí máy thu

để đo cường độ chùm electron tán xạ theo góc tán xạ θ

2 Kết quả thí nghiệm: Đối với chùm electron có động năng 54 eV , cường độ tán xạ

(a) Phụ thuộc vào góc tán xạ θ

(b) Đạt cực đại tại θ = 0◦ và θ ≈ 50◦

(c) Đạt cực tiểu tại θ ≈ 35◦

3 Ý nghĩa thí nghiệm: Khẳng định tính chất sóng của electron

Cường độ tán xạ đạt cực tiểu tại θ ≈ 35◦ và đạt cực đại tại θ ≈ 50◦ không thể giải thíchbằng tính hạt của electron, nhưng lại hoàn toàn phù hợp khi giải thích bằng hiện tượngnhiễu xạ - hiện tượng thể hiện tính chất sóng

~j(~r, t) = − i~

2m(Ψ

∗∇Ψ − Ψ∇Ψ∗)

Yêu cầu: Trả lời câu hỏi: "Có thể không chuẩn hóa hàm sóng được không?"

Không nhất thiết phải chuẩn hóa hàm sóng vì bản chất bình phương module hàm sóng

đã cho ta ý nghĩa về mật độ xác suất tìm thấy hạt Việc chuẩn hóa hàm sóng giúp ta đưa hàmmật độ xác suất trở thành hàm xác suất, giúp thuận lợi trong quá trình tính toán

2.3 Nguyên lý chồng chất trạng thái

2.3.1 Bản chất của sự chồng chất trạng thái

Một hạt vi mô có thể tồn tại ở trạng thái:

1 Chỉ gồm một trạng thái riêng lẻ

2 Chồng chất của nhiều trạng thái riêng lẻ

Khi một hạt tồn tại ở trạng thái chồng chất của nhiều trạng thái riêng lẻ có hàm sóng

ψ1, ψ2, , ψn thì hàm sóng ψ của hạt có dạng chồng chập của các hàm sóng riêng lẻ:

2.3.2 Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ở trạng thái chồng chất

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng, ta thu được điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ở trạngthái chồng chất:

Đơn trị: Vì hàm sóng là đại lượng vật lý nên nó phải đơn trị tại mọi điểm trong không gian.

Liên tục: Vì hàm sóng là đại lượng vật lý nên nó phải liên tục tại mọi điểm trong không gian

Tính đối xứng phụ thuộc vào hệ: Hàm sóng đối xứng khi hệ đối xứng

Phổ năng lượng phụ thuộc trạng thái liên kết: Phổ trị riêng gián đoạn nếu hệ ở trạngthái liên kết và liên tục nếu hệ ở trạng thái không liên kết

2.5 Phương trình Schrodinger

Phương trình Schrodinger đóng vai trò tương đương với định luật II Newton trong cơ học

cổ điển Từ hàm sóng tổng quát cho hạt vi mô, ta thiết lập được phương trình Schrodinger chohạt vi mô bất kỳ:

Ψ(x, y, z, t)

hay còn được viết ngắn gọn ở dạng:

Trong trường hợp hàm thế năng không phụ thuộc thời gian V = V (~r), Hamiltonian chỉphụ thuộc vào biến không gian:

ˆH(~r) = − ~

2

2m∆ + V (~r)

Khi đó, phương trình Schrodinger có dạng tách biến giữa biến không gian và thời gian:

ˆH(~r)Ψ(~r, t) = i~∂

∂t

Chia hai vế cho ψ(~r)θ(t), ta thu được:

ˆH(~r)ψ(~r)ψ(~r) = i~ 1

và thời gian sau:

Sau khi giải phương trình Schrodinger dừng với nghiệm ψ(~r), nghiệm tổng quát phụ thuộcthời gian của phương trình Schrodinger có dạng:

3 Toán tử và đại lượng vật lý

Toán tử chuyển vị của toán tử ˆA được ký hiệu làA và được định nghĩa bởi đẳng thức:˜

Zu(x) ˆAv(x)dx =

Zv(x)Au(x)dx˜

Toán tử liên hợp của toán tử ˆA được ký hiệu là ˆA+ và được định nghĩa bởi công thức:

6 Hoán vị vòng quanh

[ ˆA, [ ˆB, ˆC]] = [ ˆA, ˆB ˆC − ˆC ˆB] = [ ˆA, ˆB ˆC] − [ ˆA, ˆC ˆB] = ˆA ˆB ˆC − ˆB ˆC ˆA − ˆA ˆC ˆB + ˆC ˆB ˆA[ ˆB, [ ˆC, ˆA]] = [ ˆB, ˆC ˆA − ˆA ˆC] = [ ˆB, ˆC ˆA] − [ ˆB, ˆA ˆC] = ˆB ˆC ˆA − ˆC ˆA ˆB − ˆB ˆA ˆC + ˆA ˆC ˆB[ ˆC, [ ˆA, ˆB]] = [ ˆC, ˆA ˆB − ˆB ˆA] = [ ˆC, ˆA ˆB] − [ ˆC, ˆB ˆA] = ˆC ˆA ˆB − ˆA ˆB ˆC − ˆC ˆB ˆA + ˆB ˆA ˆC

Z

u ^( ˆA ˆB)∗v dx =

Zv( ˆA ˆB)∗u dx =

Zv( ˆA∗Bˆ∗)u dx

=

Z

v ˆA∗( ˆB∗u) dx =

Z( ˆB∗u)A˜∗v dx

=

Z( ˆB∗u)( ˆA+v) dx =

Z( ˆA+v)( ˆB∗u) dx

=

Z( ˆA+v) ˆB∗u dx =

⇒ ( ˆA ˆB)+= ˆB+Aˆ+

3.3 Tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitic)

1 Trị riêng của toán tử Hermitic luôn là số thực

2 Các hàm riêng của toán tử Hermitic trực giao, chuẩn hóa

Trong trường hợp phổ trị riêng gián đoạn, điều kiện trên được viết:

Z

ψm∗ψnd~r = hm|ni = δmn = 0 nếu m 6= n

1 nếu m = n

3 Các hàm riêng của toán tử Hermitic tạo thành bộ đủ

Mọi hàm số liên tục, đơn trị, hữu hạn và bình phương khả tích đều có thể phân tích thành

tổ hợp tuyến tính của các hàm trong bộ

3.4 Đo đại lượng vật lý

1 Tiên đề về đại lượng vật lý: Mỗi đại lượng vật lý A trong cơ học cổ điển tương ứng vớimột toán tử tuyến tính tự liên hợp ˆA trong cơ học lượng tử Các trị riêng của toán tử ˆA

là các giá trị khả dĩ đo được của đại lượng vật lý đó:

(a) Nếu đo đại lượng vật lý ở trạng thái riêng lẻ của hệ thì giá trị đo được chính là trịriêng của toán tử

(b) Nếu đo đại lượng vật lý ở trạng thái chồng chất của nhiều trạng thái riêng lẻ thì giátrị nhận được là giá trị trung bình của đại lượng vật lý đó.

2 Giá trị trung bình của đại lượng vật lý ứng với toán tử ˆA của một hạt ở trạng thái mô

tả bởi hàm sóng ψ được cho bởi:

A =

Z

ψ∗Aψ d~ˆ r

3 Tiên đề tương ứng: Quan hệ giữa các toán tử trong cơ học lượng tử tương tự như quan

hệ giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển

4 Định lý Ehrenfest: Quan hệ giữa các giá trị trung bình của đại lượng vật lý trong cơ họclượng tử tương tự như quan hệ giữa các đại lượng vật lý tương ứng trong cơ học cổ điển.Yêu cầu: Giải thích tại sao người ta lại dùng toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tửHermitic) để liên kết với một đại lượng vật lý

Các tính chất của toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermitic) phù hợp với biểudiễn các đại lượng vật lý:

1 Trị riêng là số thực: Đại lượng vật lý luôn nhận giá trị thực

2 Có thể có nhiều trị riêng: Hệ lượng tử có thể có gồm nhiều trạng thái riêng lẻ ứng với cácgiá trị khác nhau của cùng một đại lượng vật lý

3 Hệ hàm riêng trực giao, chuẩn hóa: Phù hợp với điều kiện của hàm sóng vật lý

4 Hệ hàm riêng tạo thành bộ đủ: Thỏa mãn nguyên lý chồng chất trạng thái

ˆ

Tx = ˆ

2 x

2m = −

~22m

3.4.2 Bài toán hàm riêng - trị riêng

1 Phương trình hàm riêng trị riêng của toán tử ˆA có dạng:

ˆ

Aψ = Aψ

Người ta gọi ψ là hàm riêng ứng với trị riêng A của toán tử ˆA

2 Suy biến năng lượng là hiện tượng hệ lượng tử có nhiều trạng thái có cùng mức nănglượng (hay có nhiều hàm sóng ứng với một trị riêng)

3 Bậc suy biến ứng với một mức năng lượng là số trạng thái của hệ lượng tự có cùng mứcnăng lượng đó (hay số hàm sóng cùng ứng với một trị riêng của mức năng lượng đó)

Yêu cầu: Xác định hàm riêng và trị riêng của toán tử tọa độ, toán tử xung lượng vàtoán tử động năng theo phương Ox

1 Toán tử tọa độ

Gọi ψ(x) là hàm riêng và x là trị riêng của toán tử tọa độ ˆx

Phương trình hàm riêng - trị riêng:

ˆxψ(x) = xψ(x)

Điều này đúng với mọi hàm ψ(x) nếu x mang giá trị thực

Vậy toán tử tọa độ ˆx có phổ trị riêng liên tục và mỗi trị riêng x có vô số hàm riêng tươngứng

2 Toán tử xung lượng

Gọi ψ là hàm riêng và px là trị riêng của toán tử xung lượng ˆpx = −i~ ∂

∂x.Phương trình hàm riêng - trị riêng:

Giải phương trình vi phân trên, ta thu được họ hàm riêng ứng với trị riêng Tx của toán

tử ˆTx:

ψ(x) = C1cos

√2mTx

~ x

+ C2sin

√2mTx

~ x

+ C2sin

√2mTx

~ x



3.5 Hai đại lượng vật lý xác định đồng thời

Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lý a, b xác định đồng thời là các toán tử ˆA, ˆBtương ứng với chúng giao hoán được với nhau:

a, b xác định đồng thời ⇔ [ ˆA, ˆB] = 0

3.6 Đại lượng bảo toàn - Bộ đủ mô tả hệ vật lý

Phương trình chuyển động của toán tử:

1 Hệ có 1 bâc tự do: chỉ cần Hamiltonian ˆH

2 Hệ có 2 bậc tự do: tìm một toán tử ˆA bảo toàn để đưa vào bộ đủ: { ˆA, ˆH}

3 Hệ có 3 bậc tự do: tìm thêm một toán tử ˆB bảo toàn vào giao toán với toán tử ˆA sẵn có

3.7.2 Hệ thức bất định

Xét a và b là hai đại lượng vật không xác định đồng thời ứng với toán tử ˆA và ˆB Gọi ˆC

là toán tử tuyến tính tự liên hợp thỏa [ ˆA, ˆB] = i ˆC Khi đó, độ bất định δa và δb của các đạilượng a và b của hệ khi ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng ψ liên hệ nhau qua hệ thức:

Tọa độ góc càng xác định thì hình chiếu moment động lượng càng bất định và ngược lại

3 Năng lượng E - thời gian t:

δEδt ≥ 1

2~

Thời gian đo càng dài thì phép đo năng lượng càng chính xác và ngược lại

4 Bài tập

4.1 Hàm sóng - Hàm riêng, trị riêng, trị trung bình

Bài tập 1 Hàm sóng của hạt chuyển động trong hố thế vuông góc, bề rộng a (0 ≤ x ≤ a),thành cao vô hạn, ở trạng thái n = 0, 1, 2, :

ψn(x) = Ansinnπx

a



Hãy tìm hệ số chuẩn hóa An của hàm sóng trên

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Bài tập 2 Một hạt ở trạng thái Ψ = c1ψ1+√1

6ψ2+

r 2

3ψ3 là tổ hợp tuyến tính của ba trạngthái riêng có năng lượng tính theo đơn vị năng lượng là 1, 2 và 3 Biết rằng hàm sóng đã cho

đã chuẩn hóa Hãy tìm giá trị năng lượng trung bình của hạt

Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng Ψ:

|c1|2+

1

√6

2

+

2

E1+

√3

Vậy năng lượng trung bình của hạt không đổi theo thời gian và bằng 13π

2

~28ma2

6 Tìm xác suất để tìm thấy hạt ở nửa bên trái hố thế 0 ≤ x ≤ a

2

tại thời điểm t

Hàm mật độ trạng thái tại thời điểm t bất kỳ:

√3

√3

4 ψ1ψ2

exp −i(E2− E1)t

~

+ exp i(E2− E1)t

2

~2ma2 Khi đó E2 − E1 = 3~ωMặt khác, thay ψn =r 2

= 2π

= 2π

ứng với hàm sóng:

ψn=

r2

asin

nπxa



Hàm sóng của hạt tại thời điểm t = 0 có dạng:

Ψ(x, t = 0) =

r83a

Tìm xác suất tìm thấy hạt ở nửa trái của hố 0 ≤ x ≤ a

2



Dễ dàng viết lại hàm sóng đã cho thành tổ hợp của các trạng thái riêng lẻ của hố:

Ψ(x, t = 0) =

r23a

sinπx

a + sin

2πx

a + sin

3πxa

2

~2ma2 Hàm sóng được viết lại:

a/2

Z

0

sin2 πx

a + sin

2 2πx

a + sin

2 3πxa

= 23π

π/2

Z

0

sin2χ + sin22χ + sin23χ

+ 2 sin χ sin 2χ cos 4ωt + 2 sin 2χ sin 3χ cos 5ωt + 2 sin χ sin 3χ cos 8ωt) dχ

= 23π

815πcos 5ωt

Bài tập 7 Hạt chuyển động trong hố thế vuông góc với thành cao vô hạn có bề rộng là a

(0 ≤ x ≤ a) có thể ở trạng thái n (n = 1, 2, ) ứng với hàm sóng:

ψn(x) =

r2

asin

nπxa

Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ψ(x):

− (2x − a)

− sinnπx

a

nπa

2 + 2

cosnπxa

nπa

n3π3 nếu n = 2k + 1 (k = 1, 2, )

Vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái n là:

ρn= |cn|2 =

( 0 nếu n = 2k960

n6π6 nếu n = 2k + 1 (k = 1, 2, )

2 Hàm sóng có dạng: ψ(x) = B sin2 πx

aKiểm tra thấy các hàm sóng ψn(x) đã chuẩn hóa

Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng ψ(x):

Giả sử hàm sóng ψ(x) được khai triển theo các hàm sóng ψn:

(n + 2)πx

a +

a2(2 − n)πcos

(n − 2)πxa



π · n

2+ 2n + 4

n3− 4n nếu n = 2k + 1

(k = 1, 2, )

Vậy xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái n là:

với ϕ(x) là hàm số thực mô tả trạng thái liên kết của hạt ϕ|x→+∞ = ϕ|x→−∞ = 0

Hãy chứng tỏ p0 là xung lượng trung bình của hạt trong trạng thái nói trên

Xung lượng trung bình của hạt:

+∞

−∞

= 0

Vậy p = p0 chính là điều phải chứng minh

Bài tập 9 Trạng thái của một hạt tại một thời điểm nào đó được mô tả bởi hàm sóng:

ψ(x) = A exp

ikx − x

2

2a2



với k, a là các hằng số và A là hệ số chuẩn hóa

1 Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng trên

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

2

2a2

exp

Dễ dàng chứng minh được điểu kiện đủ x = 0 là vị trí xác suất đạt cực đại.

Vậy x = 0 là vị trí có xác suất tìm thấy hạt lớn nhất

3 Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng (−a, a)

Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng (−a, a):

Tích phân trên được biểu diễn bởi hàm Gauss:

Hàm trong dấu tích phân là hàm lẻ nên x = 0

Trung bình bình phương tọa độ

2a

dx

2

2a

dx

a + 0 −

√π2a

Vậy hệ thức bất định được thỏa mãn

Bài tập 10 Hàm sóng mô tả trạng thái cơ bản của điện tử trong nguyên tử Hydro có dạng:

với a0 là hằng số và A là hệ số chuẩn hóa

1 Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng trên

Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Tích phân thu được được đưa về hàm Gamma:

−−−→ a

3 0

8 × Γ(3) = 1

4a

3 0

Thay vào điều kiện chuẩn hóa:

2 Tìm vị trí mà xác suất tìm thấy điện tử là lớn nhất

χ=2r

a0

−−−→ 4πA2× a

4 0

Trung bình bình phương tọa độ bán kính:

∂2

∂ϕ2



Hãy tìm trị riêng của toán tử ˆL2 tương ứng với hàm riêng:

Y (θ, ϕ) = A(cos θ + 2 sin θ cos ϕ)

∂2

∂ϕ2

(cos θ + 2 sin θ cos ϕ)

= −A~2



− cos θ − 2 sin θ cos ϕ − cos θ +2 cos

2θ cos ϕsin θ − 2 cos ϕ



= 2A~2(cos θ + 2 sin θ cos ϕ)

= 2~2Y (θ, ϕ)Vậy trị riêng của toán tử ˆL2 ứng với hàm riêng Y (θ, ϕ) là L2 = 2~2

4.2 Nguyên lý bất định

Bài tập 12 Chứng minh rằng electron không thể tồn tại bên trong hạt nhân nguyên tử:

Giả sử electron tồn tại trong hạt nhân, độ bất định cực đại về vị trí của electron vào cỡ

2δxmax

Mặt khác, độ bất định của xung lượng theo độ bất định của vận tốc:

δp = meδv

Từ đó ta được độ bất định của vận tốc electron:

δv ≥ ~2meδxmax

∼ 10

−34J.s(10−31kg)(10−15m) = 10

12m/s  108m/s

Kết quả thu được δv  c trái với lý thuyết tương đối

Vậy electron không thể tồn tại trong hạt nhân nguyên tử

Bài tập 13 Chứng minh rằng: Khi hạt chuyển động trong hố thế vuông góc thành cao vô hạn,cận dưới của năng lượng luôn cao hơn đáy hố thế Biết hàm thế năng của hố thế có dạng:

V (x) =  +∞ khi x < −a ∨ x > a

V0 khi − a ≤ x ≤ a

và hạt chỉ tồn tại trong hố, tức khoảng [−a; a]

Theo định lý Ehrenfest, năng lượng trung bình của hạt:

2

8ma2 ⇒ E ≥ ~

2

8ma2 + V0

Từ đó ta được:

E > V0

Điều này đúng với mọi trạng thái của hạt, bao gồm cả trường hợp hạt chỉ ở một trạngthái có năng lượng cực tiểu Emin, mà khi hạt ở một trạng thái riêng lẻ thì năng lượng trungbình cũng chính bằng năng lượng ứng với trạng thái đó Vì vậy, ta có thể đi đến kết luận:

ta sử dụng hệ thức bất định Heisenberg, nếu sử dụng δxδp ≥ π~

2 thì ta sẽ thu được biểu thứctrùng khớp Tuy nhiên, điều này là không cần thiết vì sử dụng nguyên lý bất định chỉ giúp taước lượng mức năng lượng thấp nhất, và cụ thể trong bài toán này chỉ cần chứng minh mứcnăng lượng này lớn hơn 0 là được

Mặt khác, ta còn thường gọi tắt tính chất vừa chứng minh là: Năng lượng cực tiểu củahạt lớn hơn không Từ "không" ở đây được hiểu là đáy của hố thế Sở dĩ gọi như vậy là vì tathường xét trường hợp đáy của hố thế bằng 0

Yêu cầu: Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg ở dạng δxδp ≥ ~

2, hãy chứng minh rằng:Mức năng lượng thấp nhất của một dao động tử điều hòa là Emin = 1

Theo định lý Cauchy (hoặc sử dụng phương pháp khảo sát hàm số):

E ≥ 2

s(δp)22m × m~2ω2

8(δp)2 = 1

2~ω

Điều này đúng với mọi trạng thái của hạt, bao gồm cả trường hợp hạt chỉ ở một trạngthái có năng lượng cực tiểu Emin, mà khi hạt ở một trạng thái riêng lẻ thì năng lượng trungbình cũng chính bằng năng lượng ứng với trạng thái đó Vì vậy, ta có thể đi đến kết luận:

Emin = 1

2~ω

5 Chuyển động một chiều

5.1 Hố thế vuông góc thành cao vô hạn

Hàm thế năng đối với hố thế vuông góc thành cao vô hạn, bề rộng a:

Phương trình được viết lại ở dạng:

∂2ψ(x)

∂x2 + 2m

~2[E − V (x)] ψ(x) = 0

5.1.1 Giải phương trình Schrodinger - hàm sóng toán học

Ta chỉ quan tâm hạt ở trạng thái liên kết nên ta chỉ giải bài toán trong trường hợp

E > Emin = 0

1 Xét vùng (I) và (III):

Vì V (x) = +∞ nên phương trình Schrodinger trên chỉ có nghiệm ψI(x) = ψIII(x) = 0

Điều này chứng tỏ hạt không tồn tại trong vùng (I) và (III) ngoài hố thế, cũng chính làvùng cấm cổ điển

2 Xét vùng (II): V (x) = 0, phương trình Schrodinger được viết lại:

~

và nghiệm của phương trình vi phân trên là:

ψII(x) = A cos kx + B sin kx

Vậy hàm sóng toán học được viết lại:

ψ(x) = A cos kx + B sin kx nếu x ∈ [0, a]

0 nếu x /∈ [0; a]

Áp dụng công thức lượng giác: sin3α = 3

asin

πx

a − 14... hợp riêng b = a

Với b = a, xác suất với b = 2a, xác suất 1/2

Bài tập Một hạt khối lượng m, chuyển động hố vng góc chiều thành cao

vô hạn với bề rộng a (0 ≤ x ≤ a), có hệ hàm