Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
-
-Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-Bài 1 (4 điểm)
1 Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2
−
=
x
x
y hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450
2 Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: y= log2x; x + y = 3; y = 0
Bài 2 (4 điểm)
1 Tìm m để hệ ( )
( )
<
+ + +
<
+ +
−
0 7 7
0 2
2
2
2
m x m x
m x m
x
có nghiệm
2 Giải phơng trình x2 − 2x− 3 = x+ 3
Bài 3 (4 điểm)
1 Giải phơng trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0
2 Trong tam giác ABC, chứng minh rằng:
6
13 cos cos
cos
1 cos
cos
+ +
+ +
+
C B
A C
B
Bài 4 (4 điểm)
1 Giải phơng trình (x− 3) [log3(x− 5)+ log5(x− 3) ]= x+ 2
2 Tính
x
x x
x
1 3 1 2 1
0
− + +
Bài 5 (4 điểm)
1 Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng
=
−
−
−
=
−
−
+
0 1 2
2
0 3 2
2
z
y
x
z
y
x
có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu
2 Với a, b, c dơng và 1 ≤ α∈ R, chứng minh rằng:
1 1
1 1
1
1 1
1
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
α α
α
α α
α
α α
α
α α
α
α α
α
α
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a
c
b c
b a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 3Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
I
1
• TXĐ D = R\{1}
M ∈ Ox ⇒ M(x0; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng
trình: y = k(x – x0) (∆)
(∆) là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ:
( )
=
−
−
−
=
−
k x
x x
x x k x x
2 2
0 2
1 2
1
có nghiệm
2 2
1
2
x x x
−
−
=
−
≠ +
=
=
1 1
2 0
0 0
x
x x
x
• Với x0 = 0 ⇒ k = 0,
Với x0 = 2 1
0
0
+
x
x
⇒ k = ( )2
0
0
1
4
+
−
x x
• Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
2 1
2 1 0
1
45
k k
k k tg
+
−
= ⇒( )2
0
0
1
4
+
x
x
= ± 1
x0 = 3 ± 2 2
• ⇒ M1(3 + 2 2; 0), M2(3 − 2 2; 0)
0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số y= log2x, và đờng thẳng x +y = - 3 là
−
3
2
2 2
1
log =V1+ V2
• V1=π∫2 x dx
1 2 log =π e∫2 x dx
1
2 ln log =
=πlog2e.(2 ln 2 − 1)
• V2 =π ∫3( −x) dx
2
2
3 = = π31
• V=π[ 13 +log2e.(2 ln 2 − 1)] (đvtt)
0.5đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ
( )
<
+ + +
<
+ +
−
)2(
0 7 7
)1(
0 2
2
2
2
m x m x
m x m x
• ∆1 = (m – 2)2 ≥ 0 và ∆2 = (m – 7)2 ≥ 0 ⇒ m = 2 hoặc m = 7 thì hệ
0.5đ
y
O 1 2 3 x
1
Trang 4• Với
≠
≠
7
2
m
m
và m≥ 0thì tập nghiệm của (1) là D1 ⊂ R+ và tập nghiệm
của (2) là D2 ⊂ R- nên hệ phơng trình vô nghiệm
• Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m)
⇒ hệ phơng trình luôn có nghiệm
• Hệ phơng trình luôn có nghiệm với m < 0
0.5đ
0.5đ 0.5đ
2
• ⇔x2 − (x+ 3 ) −(x+ x+ 3)= 0 ⇔(x+ x+ 3)(x− x+ 3 − 1)= 0
•
2
131 03
0
3 2 −=⇔
⇔−=+ x xx
x xx
•
2
173 023
1
13 2 +=⇔
⇔−=+ x xx
x xx
Kết luận:
2
13
1 −
=
2
17
3 +
=
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
III
1
⇔2 cos 2 3x+ 4 cos 3x+ 3 − coss4x= 0
⇔2(cos 3x+ 1)+ 2 sin 2 2x= 0
⇔
=
−=
0 2 sin
1 3
cos
x x
⇔
=
+
=
2
3
2 3
π
π π
l x
k x
KL: Nghiệm x = π + 2kπ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ
2 • đặt cosA+cosB+cosC= 1+
2
sin 2
sin 2 sin
4 A B C = t ⇒ 1< t ≤ 23
• Xét f(t) = t+1t trên (1; 23 ], có f’(t) = 2
1 1
t
− > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên (1; 23 ]
• ∀t ∈ (1; 23 ] thì f(1) < f(t) ≤ f(23 ) =136
• Vậy cos cos cos cos cos1 cos ≤136
+ +
+ +
+
C B
A C
B A
0.5đ 0.5đ 0.5đ
Trang 5Dấu bằng xảy ra khi: cosA+ cosB+ cosC= 23 hay tam giác đều 0.5đ
IV
1
• Pt ⇔ log3(x− 5)+ log5(x− 3)= x x+−32 với x > 5
• Hàm số y = log3(x− 5)+ log5(x− 3) đồng biến trên (5; + ∞)
• Hàm số y =x x−+32 có y’= ( 3)2
5
−
−
x < 0 nghịch biến trên (5; + ∞)
• ⇒ phơng trình có nghiệm duy nhất x = 8
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
2
• L =
x
x x
x x
x
1 3 1 3 1 3 1 2 1
0
− + + +
− + +
→
=
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3
0
− + +
x
x
x
1 3 1 lim3
0
− +
→ = L1 + L2
• L1 =
x
x x
x
1 2 1 3 1 lim 3 0
− + +
2 3
1 lim 3
x x
• L2 =
x
x
x
1 3 1 lim3
0
− +
3 lim
3 2 3
x
• Vậy L = 2
0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
V
1
•
=
−
−
−
=
−
−
+
) ( 0 1 2 2
) ( 0 3 2
2
Q z
y x
P z
y
x
ta nhận thấy
∈
∉
) (
)
(
Q I
P
I
và (P) ⊥ (Q)
• ⇒ hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân
giác ⇒ 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai
mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q) Nên phơng trình 2
mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| ⇔
=
= +
+
0 4 -3z
-x 3
0 2 -z 4y
x
• Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/α) = 1−4+31−2 = 34
• Phơng trình mặt cầu cần lập là: ( ) ( ) ( )
9
16 1 1
1 2 + + 2 + − 2 =
x
0.5đ
0 5đ 0.5đ 0.5đ
2 Giả sử a ≥ b ≥ c > 0
0
1 1
1 1
1
1 1
1
1
≥
+
− + +
+
− + +
+
− +
⇔ α α α α− α− α− α α α α− α− α− α α α α− α− α−
b a
c b
a
c a
c
b a
c
b c
b
a c
b a
0 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1
≥
+
− + +
+
+
− + +
+
− +
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α α
α α α α
α α α α α α
b a b a
c c
a c a c
b b
c b c b
a a
( )( ) ( ( ) )( ( ) )
( )( 1 1) 0
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
≥ +
+
− +
− +
+ +
+
− +
− +
+ +
− +
−
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α
α α
α
α α α α
α α
α α
α α α
α α
α
b c a c
a c b a c a c
a c a c
a b a c b c b c
b c b
c a c b a b a
0.5đ
0.5đ
Trang 61 1
1 1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
≥
+ +
− + +
− +
+
+ +
− + +
− +
+
+ +
− + +
−
⇔
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
α α α α α
α α α α
α
α α α α α
α α α α
α
α α α α α
α α α α
α
a b c b b
a b a a c a c
b a b a a
c a c c b c b
a c a c c
b c b b a b a
Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và α > 1, α ∈ R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0
0.5đ