Bài tậ KS h/số- Cự trị

a Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0.. b Chứng tỏ đồ thị của hàm số 1 luôn qua một điểm cố định khi m thay đổi.. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trớc

Cực trị

i Dấu hiệu 1

ii Dấu hiệu 2

Bài toán 1: Cho hàm số y=f(x,m) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=x 0

1) Cho hàm số y=(x-m) 3 -3x+m 3

a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0.

b) Chứng tỏ đồ thị của hàm số (1) luôn qua một điểm cố định khi m thay đổi.

Bài toán 2: Cho hàm số y=f(x,m) Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trớc.

1) Cho hàm số :

4

3

2

−

+ +

−

=

x

p x x

y Tìm p để hàm số có cực đại cực tiểu thỏa mãn điều kiện: y CĐ -y CT =4.

2) Cho hàm số :

m x

m x x y

−

−

−

=2 2 3 Cho hàm số

) ( 2

4 )

1 2

2

m x

m m x m x

y

+

+ + + + +

= Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu và tính khoảng cách giữa hai điểm đó.

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu thỏa mãn điều kiện: |y CĐ -y CT |> 8.

3) Cho hàm số y= x 3 -3ax 2 +4a 3 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất.

Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT

Bài toán 4: Tìm quỹ tích điểm cực trị

1) Cho hàm số

2

) 3 (

2

−

− +

=

x

x m x

y Tìm quỹ tích của điểm cực đại và cực tiểu khi m thay đổi.

2) Cho hàm số

m x

m x m m x y

−

+

−

− +

= 2 ( 2 1) 4 1(C m ) CMR trên mặt phẳng tọa độ tồn tại một điểm nó là điểm cực đại của (C m1 ) và là điểm cực tiểu của (C m2 ).

Bài toán 5: Cho hàm số y=ax 4 + bx 2 +c (C) Tìm điều kiện để (C) có cực trị là 3 đỉnh của tam giác thỏa mãn điều kiện cho trớc.

1) Cho (C):y=x 4 -2mx 2 +m 2 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị là tam giác đều.

2)Cho (C):y=x 4 -8mx 2 +2m 2 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị sao cho tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị là tam giác vuông cân.

Bài toán: Cho y= f(x,a)-Dấu của y phụ thuộc vào a Tìm a để hàm số có cực trị’’

BT1 Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu

3

1 3 + 2 + + − +

y 2) y = (m+ 2 ).x3 + 3x2 +m.x− 5

BT2(HVNgân Hàng TPHCM 2001)

CMR với mọi m hàm số sau luôn dạt cực trị tại x1; x2 với x1 –x2 không phụ thuộc m

1 ) 1 (

6 ) 1 2 ( 3

y

BT3

Tìm m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ thuộc m

1 ).

4 5 ( ) 2 (

3

+ + + +

− +

y

BT4(CĐSP TPHCM 1999)

Tìm m để y=x3 − 3mx2 + 3 (m2 − 1 )x+m đạt cực tiểu tại x = 2

BT5(ĐH Huế 1998)

Tìm m để y=x3 − 3mx2 + (m − 1 )x+ 2 đạt cực tiểu tại x = 2

BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)

Tìm m để y=mx3 + 3mx2 − (m − 1 )x− 1 không có cực trị

Ph

ơng trình đ ờng thẳng đi qua cực đại cực tiểu

BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)

Cho hàm số y= 2 x3 − 3 ( 3m+ 1 )x2 + 12 (m2 +m)x+ 1

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT8(HVKT Mật mã 1999)

Cho hàm số y=x3 − 3 (m+ 1 )x2 + 2 (m2 + 7m+ 2 )x− 2m(m+ 2 )Tìm m để hàm số có CĐ,CT Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT9

4 3

) (x x mx m

f = − + có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x

BT10(ĐH D ợc HN 2000)

Tìm m để f(x) = 2x3 − 3 ( 2m+ 1 )x2 + 6m(m+ 1 )x+ 1 có CĐ,CT đối xứng nhau qua đờng thẳng

y = x + 2

BT11(ĐHQG TPHCM 2000)

Cho (Cm) : y=mx3 − 3mx2 + ( 2m+ 1 )x+ 3 −m Tìm m để (Cm ) có CĐ và CT CMR khi đó đờng thẳng đi qua CĐ, CT luôn di qua một điểm cố định

BT12

Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn 2 1

2

2

1 +x =

x

1 ).

2 cos 1 ( ) sin 1 ( 2

3

+ +

−

−

−

y

BT13

Cho hàm số y x a a x sin 2a .x

4

3 )

cos (sin

2

1 3











 + +

−

= 1) Tìm a để hàm số luôn đồng biến

2) Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn

2 1

2 2

2

1 x x x

x + = +

BT14

Tìm m để hàm số y=x3 − m x2 +m

2 3

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đờng thẳng y = x

5)- Cực trị hàm bậc 4

BT1

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại y =x4 + 8m.x3 + 3 ( 2m+ 1 )x2 − 4

BT2

CMR hàm số f(x) =x4 −x3 − 5x2 + 1

Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol

BT3

Cho (Cm) : y= f(x) = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx+ 1

1) Biện luận theo m số lợng Cực đại, cực tiểu của (Cm)

2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x0 ∈[− 2 ; 2]

BT3

2

3 2 4

1 ) ( = 4 − 3 + + 2 − + +

y

1) Tìm m để hàm số có 3 cực trị

2) Viết phơng trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của (Cm)

BT4(ĐH Cảnh sát 2000)

Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

2

3 4

1 4 2

+

−

= x mx y

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)

Tìm m để ( ) 4 ( 1 ) 2 ( 1 2 )

m x

m mx x

f = + − + − có đung một cực trị

6)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 1

6.1-Sự tồn tại cực trị- đ ờng thẳng đi qua CĐ,CT

BT1

Tìm m để các hàm số sau có cực trị

1)

1

2 2 2 2

+

+ +

=

x

m x m x

y 2)

1

) 2 (

2 +

− + +

=

x

m x m x y

3)

m x

m mx x

y

+

− +

= 2 2 (ĐH SPHN 1999) 4)

1

) 1 (

2 +

−

− +

=

x

m x m x

5)

2

1 ) 1 (

2 +

+ + +

=

mx

x m mx

2)

1

) 1 )(

2 (

+

+

− +

=

mx

mx m x

m

BT2 (ĐH TCKT 1999)

Cho (C m ) :

m x

m mx x y

−

− +

−

1) Tìm m để hàm số có CĐ, CT

2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ, CT

BT3 (ĐH Dân lập Bình D ơng 2001)

Cho (Cm) :

1

2 3 ) 2 (

2

+

+ + + +

=

x

m x m x

y Tìm m để hàm số trên có CĐ, CT

BT4 Tìm a để

a x

a x x y

sin 2

1 cos 2

2 +

+ +

BT5 Tìm a để

a x

a a a x

a x y

cos

sin cos sin cos

2

+

+ +

+

BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của :

m x

mx x y

−

− +

BT7 Cho (Cm) :

m x

m m mx x

m y

−

−

−

−

− +

= ( 1) 2 2 ( 3 2 2) (m#-1) Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại các điểm thuộc ( 0 ; 2 )

BT8

Tìm a,b,c để

2

2

−

+ +

=

x

c bx ax

y có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đờng y=1 x−2

6.2-Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng toạ độ BT9 (ĐH Đà Nẵng 2000)

Cho hàm số (Cm) :

1

1

2 +

−

− +

=

x

m mx x y

Tìm m để hàm số có cực trị Tìm quỹ tích của điểm cực trị (C m )

BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)

Cho hàm số (Cm) :

1

2 2

2

−

−

−

−

=

x

m mx x y

Tìm m để hàm số có cực trị CMR các điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol

cố định

BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)

Cho hàm số (Cm) :

2

4 2

2 +

−

− +

=

x

m mx x y

Tìm m để hàm số có CĐ,CT Tìm quỹ tích của điểm CĐ

BT12

Cho hàm số (Cm) :

m x

m x m m x y

−

+

−

− +

= 2 ( 2 1) 4 1 CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng với m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị khác của m

6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu

Tìm m để

m x

m x x y

−

+

−

= 2 2 3 có CĐ,CT và y CD −y CT > 8

BT14

Tìm m để

2 ) 1 (

2 )

1

+ +

+ +

−

=

x m

x x m

y có CĐ,CT và (y CD −y CT)(m+ 1 ) + 8 = 0

BT15 (ĐHSP1 HN 2001)

Tìm m để

1

2 2

2 +

+ +

=

x

mx x

y có CĐ,CT và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2=0 là bằng nhau

BT16

Tìm m để

2

2 3 ) 2 (

2

+

+ + + + +

=

x

m x m x

2

1

2

2 + CT >

CD y y

6.4-Vị trí t ơng đối của các điểm CĐ - CT BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)

Cho :

m x

m m x m x

y

+

+ + + +

= 2 (2 3) 2 4 Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT18 (ĐH QG 1999)

Cho :

1

2 +

+ +

=

x

m x x

y Tìm m để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy

BT19 (ĐH Công Đoàn 1997)

Cho hàm số :

m x

m mx x y

−

+

−

= 2 (m#0) Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau

BT20 (ĐH Th ơng Mại 1995)

Cho hàm số :

1

1 2

2

−

− +

−

=

x

m mx x

y Tìm m để CĐ,CT về 2 phía đối với trục Ox

BT21 (ĐH Ngoại Ngữ 2000)

Cho hàm số :

m x

m x m x y

−

+

− + +

= 2 ( 1) 1 Tìm m để hàm số có CĐ,CT và YCĐ YCT >0

BT22 Tìm m để :

m x

m mx

x y

−

− +

−

= 2 5 có CĐ,CT cùng dấu

BT23

Tìm m để :

1

2

−

− +

=

x

m mx x

y có CĐ,CT nằm về 2 phía của đờng thẳng x-2y-1=0

BT24

Tìm m để :

m x

m m x m mx

y

2

32 2 ) 1 4 (

+

+ + + +

= có một cực trị thuộc góc (II) và một cực trị thuộc góc (IV) trên mặt phẳng toạ độ

BT25

Tìm m để :

1

2 4 4 ) 1

2

+

−

−

− + +

−

=

m x

m m x m x

y có một cực trị thuộc góc (I) và một cực trị thuộc góc (III) trên mặt phẳng toạ độ

7)- Cực trị hàm Phân thức bậc 2 / bậc 2

BT1

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị

1)

1

1 2

2

2

+

−

− +

=

x x

x x

y 2)

2

4 3 2

2

−

−

− +

=

x x

x x

y 3)

6 8 2

8 10 3

2

2

+

−

− +

−

=

x x

x x

y

BT2

Tìm m,n để

1 2

2 2

2

+

−

+

−

=

x x

n mx x

4

5 khi x= - 3

BT3

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của

m x x

x x y

5 4

1 3 2 2

2

+

−

− +

2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT của

m x x

x x y

− +

+

−

−

=

2 3

5 2 2

2

3) Tìm a,b để

1

2 + +

+

=

x x

b ax

y có đúng một cực trị và là cực tiểu

8)- Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối và hàm vô tỷ

BT1 Tìm cực trị hàm số sau y= − 2x2 + 3x+ 5

BT2 (ĐH Ngoại Th ơng 1998)

5

3 4

2

+

−

=











 x − x+ m m có 4 nghiệm phân biệt BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)

Cho f(x) =x3 + 3x2 − 72x+ 90 Tìm

[ ]

 



5

; 5

)ã

(

−

∈

x x Maxf

x x x

−

=











2 9

6 2 3

2

BT5

Tìm m để phơng trình 2 x2 − 5x+ 4 =x2 − 5x+m có 4 nghiệm phân biệt

BT6 Tìm cực trị hàm số sau

1) y= 2x+ 3 + −x2 − 4x+ 5 2)y= x2 +x+ 1 + x2 −x+ 1

BT7

1) Tìm a để hàm số y= − 2x+a x2 + 1 có cực tiểu

2) Tìm a để hàm số y = − 2x+ 2 +a x2 − 4x+ 5 có cực đại

BT8

Lập bảng biến thiên và tìm cực trị hàm số sau

1) y= 1 − 3x+ 5 x2 + 2 2) y= 3x+ 10 −x2

3) y= 3 x3 −3x 4) y x x x

+

−

= 1

1

II CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

a) y = x3 b) y = 3x + x3 + 5 c) y = x.ex.d) y = lnxx

36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:

a) y = sin2x với x∈[0; π ] b) y = x2lnx.c) y = exx

37) Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2

( Đề thi TNTHPT 2004−2005) Kết quả : m=11

38) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4

a.Không có cực trị Kết quả : m ≥1

b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1

c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:











=

≠

=

b )a (f

0 )a ('' f

0 )a ('

f

Kết quả : m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O

39) Định m để hàm số y = f(x) = x2−1−xx+m

a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4

c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7

40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =x2 +m(mx2 −−1m)x−m4 +1 luôn có cực trị

41) Cho hàm số y = f(x) =31x3−mx2+(m2−m+1)x+1 Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ Không

42) Cho hàm số y = f(x) =31x3−mx2+(m+2)x−1 Xác định m để hàm số:

a) Có cực trị Kết quả: m <−1 V m > 2

b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m > 2

c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m <−2 V m > 2

43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = −x4+2mx2−2m+1.

 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0

 m > 0: 2 cực đại x=± m và 1 cực tiểu x = 0 44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =x2 −xx+1+m có hai điểm cực trị nằm khác

45) Định m để hàm số y = f(x) = x3−6x2+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu Kết quả : −174 < m < 2

46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x3−3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với x2−x1 là một hằng số

47) Tìm cực trị của các hàm số :

4

x

y = − 4 + 2 + c) y = 3 x − 1 + 2 48) Định m để hàm số có cực trị :

b) y x2 x xm21 m 2

−

− + +

−

49) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = x33 −mx2+(m+3)x−5m+1

Kết quả: m = 4

50) Cho hàm số : f(x)=−31 x3−mx2+(m−2) x−1 Định m để hàm số đạt cực đại tại x2, cực tiểu tại x1 mà x1 < −1 < x2 < 1 Kết quả: m>−1

51) Chứng minh rằng : ex ≥ x+1 với ∀x∈|R