Bài giảng về PT-HPT-BPT-HBPT

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Cho phương trình : x4+ax3+x2+ax+ =1 0.. Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBP

Trang 1

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT

x x m m

x x m m m

Phương trình có nghiệm duy nhất

Ta nghiên cứu các khai triển sau:

3 3

3

3 3 3

Trang 2

Đặt m=cosα =cos(α ±2 ;π α) ∈[ ]0;π Khi đó:

8 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.

Cho phương trình x4+ −(1 2a x) 2+ − =a2 1 0 Định tham số để:

1 Pt vô nghiệm

2 Phương trình có một nghiệm

3 Phương trình có hai nghiệm

4 Phương trình có 3 nghiệm

5 Phương trình có bốn nghiệm

6 Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng

Trang 3

Cho phương trình : x4+ax3+x2+ax+ =1 0 Định tham số để phương trình :

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt

Bài tập14:

Cho phương trình : x4−ax3−(2a+1)x2+ax+ =1 0 Định tham số để phương trình :

1 Có bốn nghiệm phân biệt

Trang 4

2 Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Giải và biện luận

Bài tập18:

Cho phương trình : x4−2x3+ + =x 2 a

1 Giải phương trình khi a = 132

Bài tập19:

Cho phương trình : x4−4x3+8x+ =2 a

1 Giải phương trình khi a = 5

Bài tập20:

Cho phương trình mx3−x2−2x+8m=0 Đinh m để:

1 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt

2 Phương trình có nghiệm bội

3 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1

ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO.

Bài tập21:

Cho phương trình x3+3mx2−3x−3m+ =2 0

1 Xác định m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm của chúng đạt giá trị nhỏ nhất

2 Xác định m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng

Bài tập22: Xác định tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số

Trang 5

Giả sử phương trình x3+ax2+bx c+ =0, , ,a b c∈¢ có ba nghiệm x x x Cho f(x) là 1, ,2 3một đa thức nguyên CMR f x: ( )1 + f x( )2 + f x( )3 ∈¢

Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức : S n+aS n−1+bS n−2+cS n−3 =0.

§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

A Hiểu về ẩn phụ:

1 Là ẩn mà do người giải tự đưa vào chứ trong đề bài không nói tới.

2.Ta đưa ẩn phụ vào là để chuyển dạng bài toán về dạng mới dễ nhận dạng hơn hay là dạng đã quen thuộc.

B Điều kiện cho ẩn phụ:

1.Yù nghĩa, lý do:

− Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức là đi tìm mxđ cho bài toán mới.

− Tuỳ vào mục đích của ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ như thế nào là phù hợp nhất ( dễ, không gây sai bài toán ).

2.Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ:

− Tìm đk đúng cho ẩn phụ.

− Tìm thừa đk cho ẩn phụ.

C Một số dạng đặt ẩn phụ:

Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn.

ý chọn miền xác định sao cho có lợi nhất.

Trang 6

16, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [−1;1]: 8 1 2x( − x2) (8x4−8x2+ =1 1)

17, Tìm nghieäm cuûa phöông trình sau treân [ ]0;1 : 32x x( 2 1 2) ( x2 1)2 1 1

Trang 7

Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính.

Dạng này hay dùng đối với phương trình chứa hai hàm số ngược nhau

Trang 8

x

x t

t

4008

2 2

Trang 9

3 2sin

VT đồng biến, VP nghịch biến⇒ có không quá một nghiệm.

“Mò” x=0 là một nghiệm

2, 3 x−2x− =2

Lập bảng biến thiên⇒có không quá hai nghiệm.

“Mò” x=2,x=4 là nghiệm.

Trong đó a, b, c là ba số khác nhau và khác không

Pt bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm

“Mò” có ba nghiệm a, b, c

( 2 ) (2 2 ) (3 2 ) (3 2 )2

4, a −a x − +x 1 = a − +a 1 x −x

Xét TH đặc biệt

Trang 10

TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm

NX: Nếu x là nghiệm thì 0 0

§ PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Phương pháp này hay dùng trong phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm số, biểu thức phức tạp

Trang 11

Trang 12

2 1

Trang 13

Trang 14

2 2

Trang 15

§ THAM SỐ HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH

PP tham số hóa cho một phương trình là đưa vào phương trình một tham số nào đó Có hai dạng chính sau:

Dạng 1: Chọn một hằng số phù hợp và tham số hóa nó, sau đó hoán đổi vai

trò của ẩn số và tham số để giải

17 2 17

x x x

− =

 +

Trang 16

Xét hàm số ( ) log 3

α α

Trang 17

Trang 18

Trang 19

Trang 20

x x

1 2

Trang 21

4 1

8

3 4

Trang 22

+ = −

 + = −

§ HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT.

Sau đây ta sẽ trình bày một pp tổng quát để giải hệ bậc hai tổng quát

Ta dựa vào nhận xét rằng: Nghiệm của hệ bất kỳ được chia làm hai nhóm: ( ) 0; y

Trang 23

4423

17

x x

Trang 24

Dùng khảo sát hàm số ta sẽ có: 1 2 1( 3)

đã cho có nghiệm dạng ( )x x ;

Từ các kết quả trên ta có đpcm

4; Định m để hệ có nghiệm

Nếu m<0 hệ vô nghiệm

Nếu m≥0, ta thấy (3) luôn đúng với mọi m≥0 tại 1;1

  là một nghiệm của hệ đã cho khim≥0.

Vậy hệ đã cho có nghiệm khi m≥0

§ HỆ CHỨA CĂN THỨC.

Trang 25

Trang 26

§ HỆ LẶP BA ẨN

(Hoán vị vòng quanh)

1 Định nghĩa: Hệ lặp ba ẩn là hệ có dạng

( )( )( )

( )∗ Trong đó f là hàm số

2 Phương pháp giải: Xét hệ lặp ba ẩn ( )∗ , với f là hàm số có tập xác định là D,

tập giá trị là T, T D⊆ , hàm số f đồng biến trên T.

Cách 1: Đoán nghiệm rồi chứng minh hệ có nghiệm duy nhất Thường để chứng

minh hệ có nghiệm duy nhất ta cộng ba phương trình của hệ vế theo vế, sau đó suy ra x=y=z Hay ta trừ vế theo vế đôi một các phương trình cho nhau

Cách 2: Từ T D⊆ suy ra f(x), f(f(x)) và f(f(f(x))) thuộc D Để (x;y;z) là nghiệm của hệ thì x∈T.

Nếu x>f(x) thì do f tăng trên T nên f(x)>f(f(x)) Vậy f(f(x))>f(f(f(x))) Do đó

3 Các bài tập:

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

Trang 27

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Giải:

Cách 1: Hệ đã cho được viết lại

( )( )( )

Vậy tập giá trị của hàm f (x) là T=3 2;+∞)

Ta có f đồng biến trên [1;+∞)nên f đồng biến trên 3 2;+∞).(Tập giá trị của f là

2

x

x y z

y x

  = Do đó hệ có nghiệm duy nhất là (2;2;2)

Cách 2: Cộng ba phương trình của hệ vế theo vế ta được (x-2)3+(y-2)3+(z-2)3=0 (4)

Ta có (2;2;2) là một nghiệm của hệ Ta sẽ chứng minh (2;2;2) là nghiệm duy nhất của hệ

Nếu x>2 thì từ (1) ta có y3-8=6x(x-2)>0⇒y>2 Từ y>2 và từ (2) ta có

z3-8=6y(y-2)>0⇒z>2 Vậy 0=(x-2)3+(y-2)3+(z-2)3>0 Đây là điều vô lí

Nếu 0<x<2(ta có ngay x>0 vì theo (3) thì x3=6(z-1)2+2>0) thì từ (3) suy ra

6z(z-2)=x3-8<0⇒ ⇒0<z<2 Kết hợp với (2) suy ra 0<y<2 Vậy 0=(x-2)3+(y-2)32)3<0 Đây là điều vô lí

+(z-Vậy x=2, từ (1) ta có y=2, thay y=2 vào (2) ta có z=2 +(z-Vậy (2;2;2) là nghiệm duy nhất của hê

Chú ý: Đối với hệ lặp ba ẩn thì có một sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện đó là

sai lầm:

“Do x,y,z có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử x y z≥ ≥ ” Thực

ra x,y,z hoán vị vòng quanh nên phải xét hai thứ tự khác nhau x y z≥ ≥ và y x z≥ ≥ .

x

+-

f’(x)

f(x)

110

Trang 28

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

x y

y z z

Hướng dẫn: Xét hàm số f(x)=sinx có tập xác định là R và tập giá trị là [−1;1], f

đồng biến trên [−1;1].Hệ đã cho viết lại

( )( )( )

Xét phương trình x=sinx trên [−1;1] Xét hàm số g(x)=x-sinx trên [−1;1] Ta có:

g’(x)=1-cosx≥ ∀ ∈ −0, x [ 1;1] Vậy g đồng biến trên [−1;1].Ta lại có g(0)=0 Vậy x=0 là

nghiệm duy nhất của phương trình x=sinx trên [−1;1].Do đó (0;0;0) là nghiệm duy

nhất của hệ

Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:

−+

−

=+

−+

−

=+

−+

−

x z

z z

z y

y y

y x

x x

)33ln(

663

)33ln(

663

)33ln(

663

2 2

3

2 2

3

2 2

−+

=+

−+

=+

−+

x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

)1ln(

33

)1ln(

33

)1ln(

33

2 3

Giải: a) Xét hàm số f(x)=x3-3x2+6x-6+ln(x2-3x+3) Hàm số này có tập xác định là

− + +1>1>0.Vậy f(x) đồng biến trên R Hệ

đã cho viết lại:

( )( )( )

= =



 =

Trang 29

Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là (2;2;2)

Bài tâp 5 : Giải hệ phương trình sau

2 2 2

(đề nghị thi Olympic 30/04)

Đáp số: x=y=z=1002 2 250971

(đề nghị thi Olympic 30/04)

Giải: Dễ thấy hệ đã cho tương đương

( )( )( )

Vậy tập giá trị của f(x) là

R Tập xác định của f(x) là con thực sự của tập giá trị của f(x) nên ta không thể ápdụng cách giải như đã trình bày trong phần phương pháp giải

Xét phương trình x3-3x=y(3x2-1) Vì x= 1

3

± không thoã phương trình này nên để

x là nghiệm của phương trình này thì x khác 1

3

± , khi đó y= 32 3

x x x

y tg

z tg

x tg

ααα

Trang 30

Bài tập 7: Giải hệ

2

3 2

Giải: Để (x;y;z) là nghiệm của hệ đã cho thì điều kiện là x,y,z<6 Hệ đã cho

tương đương với

x x y z

y y z x

log (6 ) ( )(1)log (6 ) ( )(2)log (6 ) ( )(3)

g(x)=log3(6-x) là hàm giảm với x<6 Nếu (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình

ta chứng minh x=y=z Không mất tính tổng quát giả sử x=max(x,y,z) thì có 2 trườnghợp:

1) x y z≥ ≥ Do f(x) tăng nên f(x)≥ f y( )≥ f z( ), suy ra log3(6-y)≥log3(6-z) ≥log3(6-x)

Do g(x) giảm nên suy ra 6-y≥6-z≥6-x⇔x z y≥ ≥ Do y≥z nên y=z Từ (1) và (2) ta có x=y=z

2) x z y≥ ≥ Tương tự như trên suy ra x=y=z

Phương trình g(x)=f(x) có nghiệm duy nhất x=3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (x;y;z)=(3:3;3)

Bài tập 8: Giải hệ

Trang 31

c)

2 2 2

Tiêu đề	Bài Giảng Chuyên Đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả	Huỳnh Thanh Luõn
Trường học	Trường THPT Chuyên Hựng Vương Gia Lai
Thể loại	bài giảng
Thành phố	Gia Lai

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,24 MB