bai tập về danh mục đầu tư

bai tập về danh mục đầu tư

Bài tập về danh mục

ĐẦU TƯ [Type the document subtitle]

[Type the abstract of the document here The abstract is typically a short summary

of the contents of the document Type the abstract of the document here The abstract is typically a short summary of the contents of the document.]

[Year]

2011

User

Bài tập về danh mục đầu t.

2007

Bài tập về tính rủi ro và sinh lời của chứng khoán &DMCK.

Bài 1: (Danh mục 2 CP) Cổ phiếu A và B có xác suất mức sinh lời nh sau cho các năm tới

Tình trạng kinh tế Xác xuất Wi Khả năng sinh lời của A % EA Khả năng sinh lời của B % EB

a) Tính mức sinh lời mong đợi của A và B

b) Đánh giá rủi ro đầu t cho mỗi CP

c) Tính tích sai mong đợi của lợi nhuận A và B

d) A và B có thể kết hợp để giảm thiểu rủi ro trong danh mục đầu t không? Vì sao?

Lời giải

Er(A) = 0.2  14 + 0.4  (-5) + 0.4  10 = 4.8

Er(B) = 0.2  20 + 0.4  (-2) + 0.4  9 = 6.8

b)   2   Ei  Er 2 Wi

     

2

A 0.2 14 4.8 2 0.4 5 4.8 2 0.4 10 4.8 2 A 8,13

     

2

B 0.2 20 6.8 2 0.4 2 6.8 2 0.4 9 6.8 2 B 8,23

CoV A, B   Wi E  E E  E

= 0,2(14-4,8)(20-6,8) + 0,4(-5-4.8)(-2-6.8) + 0.4(-5-4.8)(-2-6.8) +

+ 0.4(10-4.8)(9-6.8) = 63.36

A B

CoV A, B 63.36

0.99 1 8.13 8.23

ro nhng hiệu quả không cao vì gần bằng 1

Bài 2: Bạn đang xem xét để đầu t vào một CP có lợi suất mong đợi là 14%, l/s TP kho bạc

là 7%, hệ số rủi ro  của cổ phiếu đang xem xét là 2, mức bù rủi ro của CP là 4% Bạn có thể đầu t vào CP này không? Vì sao?

Lời giải

Rf = 7% ; RM - Rf = 4 ;  = 2

RA = Fr + (RM - Rf) = 7 + 2  4 = 15% > lợi suất mong đợi 14%  không nên

ĐT

Bài 3: (danh mục rủi ro + phi rủi ro)

Quỹ đầu t VF1 dự kiến có danh mục đầu t nh sau:

- Chứng khoán niêm yết: 20% vốn (a)

- Chứng khoán cha niêm yết: 15% vốn (b)

- Trái phiếu chính phủ: 55% (c)

- Số vốn còn lại đầu t khác (d)

Giả sử ta có thông tin về rủi ro nh sau: a = 8% ; b = 12%; d = 15% và các thông tin về tích sai nh sau: Cov(a,b) = 96, cov(a,c) = 0,

cov(a,d) = -110; cov(b,c) = -140; cov(c,d) = 0

Hãy dự báo rủi ro của VF1 theo các t liệu giả định trên

Giải.

Cov(i,j) =  ij

Cov(a,b) = 96, cov(a,c) = 0, cov(a,d) = -110

Cov(b,c) = 0 cov(b,d) = -140

cov(c,d) = 0

áp dụng công thức:

 

i 1 i 1 i 1

Thay số và ta có:

   

2 0.2 0.15 96 2 0.2 0.1 110 2 0.15 0.1 140

Câu 4: Trên TT có 2 loại CK với thông số nh sau:

Bạn hãy xác định lợi suất kỳ vọng và rủi ro đầu t vào 2 CK trên theo các phơng án

nh sau:

a 100% vào CK A

b 100% vào CK B

c 50% vào A và 50% vào B

Bạn có nhận xét gì không về kết quả trên?

Giải.

E(r) = 0,6  20 + 04  4 = 13.6%

2 = 0,6  (20 - 13.6)2 + 0.4  (4 - 13.6)2 = 61.44

 = 2 = 7.84%

PA2: 100% vào B:

E(r) = 0,6  2 + 04  24 = 10.8%

2 = 0,6  (2 - 10.8)2 + 0.4  (24 - 10.8)2 = 116.16

 = 2 = 10.78%

PA3: 50% vào A, 50% vào B:

EAB = EA WA + EB WB = 12.2%

COVAB = 0.6 (20 - 13.6) (2 - 10.8) + 0.4 (4 - 13.6) (24 - 10.8) = -84.48

P AWA BWB 2W W Cov1 2 AB 2.16

2

   

KL: PA3, 1 nửa đầu t vào A, 1 nửa đầu t vào B là có lợi nhất vì lợi suất giảm không nhiều nhng rủi ro lại giảm đáng kể

Câu 5: Ngân hàng bạn đang xem xét đầu t vào 1CP X, lãi suất mong đợi là 11%, lãi suất

tín phiếu kho bạc 8%, lãi suất đầu t bình quân của thị trờng cổ phiếu là 12%, CP đang xem xét có hệ số rủi ro  = 1/2 của bình quân thị trờng,

Giải

Bạn khuyên lãnh đạo nên đầu t vì:

E(R) = Rf +  (Rm - Rf) = 0.08 + 0.5(0.12 - 0.08) = 10%.

Câu 6: Đầu t 1 cổ phiếu có lợi suất mong đợi = 16%, lãi suất trái phiếu kho bạc là 7%, hệ

số rủi ro () = 2, mức bù rủi ro cổ phiếu là 4%

Giải.

Bạn có thể đầu t vào cổ phiếu này vì:

Mức bù rủi ro: E (Rp) = Rm  Fr

E(ri) = Rf   (Rm - Rf) = 0.07 - 2 (0.04) = 15% < 16%

Có thể đầu t vào cổ phiếu này.

Câu 7: Giá cổ phiếu hiện tại là 37.000đ, dự đoán giá cổ phiếu trong 1 năm nữa, bằng điều tra ta có các số liệu sau:

Giải

- Mức sinh lời kỳ vọng

E(R) = Pi Ri = 0,3 (50 - 37/37) + 0,3 ((40-37/37))

+ 0,2((30-37/37)(32-37/37) = 6,49%

Mức độ rủi ro đầu t (phơng sai)

= Pi(Ri  Er)2 = 0,3 ((50 - 37/37) - 6,49%)2 = 0,3 ((50 - 37/37)

- 6,49%)2 + 0,2 ((50 - 37/37) - 6,49%)2 + 0,2((50 - 37/37) - 6,49%)2

So sánh tỷ số phơng ai trên E(R) - nếu > 1 là mức rủi ro cao

Câu 8: Trên thị trờng có 2 loại chứng khoán với thông số nh sau:

Bạn hãy xác định lợi suất kỳ vọng và rủi ro đầu t vào 2 CK trên theo các phơng án

đầu t nh sau:

a 100% vào CK A

b 100% vào CK B

c 50% vào A và 50% vào B

Bạn có nhận xét gì không về kết quả tính đợc?

Giải

a: EA = KA  P = 13.6%

 2

b: EB = RB  P = 10.6%

 2

c: EAB = EA WA + EB WB = 0,122 = 12,2%

   

Câu 9: Công ty A, B có xác suất mức sinh lời các năm tới nh sau:

Tình trạng kinh tế Xác xuất Wi Khả năng sinh lời của A % EA Khả năng sinh lời của B % EB

Xác định mức sinh lời và rủi ro của mỗi chứng khoán

Giả i

a) Mức sinh lời mong đợi của A và B

E(Ra) = Pi Ri = 0,2 (-12) + 0,4(18) + 0,4 (24) = 144

E(RB) = Pi Ri = 0,2 (8) + (0,4) (-2) + 0,4 (-10) = -3,2

b) Đánh giá rủi ro đầu t cho mỗi CP

= Pi (Ria  E (Ra))2 = 0,2 (-12 - 14,4)2 + 0,4(18 - 14,4)2

+ 0,4(24 - 14,4) = 181,44 = 13%.

= Pi (Rib  E (Rb))2 = 0,2 (8 - (-3,2))2 + 0,4(-2 - (-3,2)2

+ 0,4 (-10 - (3,2))2 = 44,15 = 6,64%

c) Covar a, b = Pio ((Ria  E (rb) (Rib  E (rb)) = 0,2 (-12 - 14,4) (8 + 3,2) + 0,4 (18 - 14,4) (-2  (-3,2) + 0,4 (24  14,4) (-10 - (-3,2) = -83,52

Nêu Covar (A, B) < 0 lợi suất A, B ngợc chiều  kết hợp nhau

Câu 10: Bạn đang sở hữu danh mục đầu t gồm 4 cổ phiếu

Loại cổ phiếu Giá thị trờng (đ) Ty trọng Mức sinh lời

Xác định mức sinh lời của danh mục

Giải.

A Mức sinh lời tổng thể của bạn

Câu 11: Công ty của bạn đang xem xét để đầu t vào một loại cổ phiếu có lợi suất mong

đợi là 25% Lợi suất của tín phiếu kho bạc là 8%, mức bù rủi ro khi đầu t vào thị trờng cổ phiếu là 9%, cổ phiếu đang xem xét có hệ số rủi ri  = 2 Bạn khuyên lãnh đạo nên:

a Đầu t

b Không đầu t

Giải

E(R) = FR +  (Rm - Rf) = 0.08 + 0.15 (0.12 - 0.08) = 10% < 25%- không nên

đầu t

Câu 12: Một danh mục có lợi suất ớc tính là 20%, độ lệch chuẩn 20% Tín phiếu kho bạc

lợi suất là 7% Nhà đầu t có hệ số ngại rủi ro A = 6 Có nên đầu t không

Giải

E = 20%,  = 20%, Rf = 7%, A = 6

áp dụng CT tính mức độ chấp nhận phơng án đầu t

U = E(p) - 0.5 * A * 2 = 8% > Rf = 7%  chấp nhận đầu t

Câu 13: Có hai loại CK với thông số sau:

trên theo các phơng án đầu t nh sau:

a) 100% CK A b) 100% vào CK B c) 50% vào A và 50% vào B Có nhận xét gì về kết quả

Giải.

A2 = 0,6(20-13,6)2 + 0,4(4-13,6)2 B2 = 0,6(2-10,8)2 + 0,4(24-10,8)2

Phơng án 3:

Er(AB) = 0,6 * 11 + 0,4 * 14 = 12,2

AB2 = 0,6(11-12,2)2 + 0,4*(14-12,2)2

AB =

Câu 14: CP A và B có xác suất mức sinh lời nh sau cho các năm tới:

Tình trạng KT xuất Xác sinh lời AKhả năng Khả năngsinh lời B a) Tính mức SL mong đợi của A và b) Đánh giá rủi ro đầu t vào mỗi CP

c) Tính tích sai mong đợi của LN A&B d) Tính hệ số tơng quan của LN A&B A&B có thể kết hợp để trừ khử rủi ro trong

DM ĐT hay không? Vì sao?

Tăng trởng

Tăng trởng

Tăng trởng

Giải

a) ERA = Wi.RiA = 0,2*(-12) + 0,4*18 + 0,4*24 = 14,4

ERB = Wi.RiB = 0,2*8 + 0,4*(-2) + 0,4*(-10) = -3,2

b) A2 = Wi*(RiA - ERA)2

= 0,2*(-12-14,4)2 + 0,4*(18-14,4)2 + 0,4*(24-14,4)2

= 181,44  A = 13,47

B2 = Wi*(RiB - ERB)2

= 0,2*(8+3,2)2 + 0,4*(2+3,2)2 + 0,4*(-10+3,2)2

= 44,16  B = 6,64

c) CovAB = Wi*(RiA - ERA) * (RiB - ERB)

= 0,2*(-12-14,4)*(8+3,2) + 0,4*(18-14,4)*(2+3,2)

+ 0,4*(24-14,4) *(-10+3,2) = -83,52 d) pAB = covAB/dA.dB = -83,52/(13,47*6,64) = 0,962

 có thể kết hợp A, B trong một danh mục

Do pAB gần -1  quan hệ A, B chặt chẽ

Câu 16: Quỹ VF1 có kế hoạch đầu t vào danh mục với cơ cấu nh sau:

a- Chứng khoán niêm yết 20%

b- Chứng khoán cha niêm yết 30%

c- Trái phiếu chính phủ 10%

d- Đầu t khác 10% (bất động sản)

Giả sử ta có thông tin về rủi ro nh sau: rủi ro của CK cha niêm yết (a) là 8%; của b

là 12%, d là 15% TP Chính phủ đợc coi là phi rủi ro và các thông số về tích sai nh sau:

Hãy dự báo rủi ro của VF1 theo danh mục đầu t và thông số đã cho

Giải

Sử dụng công thức xác định rủi ro của danh mục- độ lệch chuẩn

P2 = Wi.i2 + Wi.Wf * cov(ri,rf)

Câu 17; Có số liệu 2 CP nh sau:

Năm Lợi suất đầu tCP A Lợi suất đầut CP B a- Xác định thu nhập kỳ vòng đầu t vào A và B

b- Rủi ro đầu t vào A và B c- Tích sai của A&B d- Hệ số tơng quan giữa A&B Giải thích các kết quả tính đợc

Giải.

a- RA   R / nA     5 10  4  7 / 4   2%

RA   R / nB   4  2   8 9 / 4   0,25%

b- 2A    RiA RA2/ n 1     68%

 2B   RiB  RB2/ n 1     54,92%

   

c- cov A, B       RiA RA  * RiB  RB  / 3  45,67%

d- p(A,B) = {cov(A,B)}/(A.B) = -45,67/(7,4*8,25) = -0,748

Câu 18: Bạn đang sở hữu danh mục đầu t gồm 4 cổ phiếu và thông số của chúng nh sau:

B 20 000 000 14

Hãy xác định mức sinh lời và kỳ vọng tổng thể của bạn

Giải

Sử dụng công thức xác định mức sinh lời của danh mục 



n

i i i R w

1

Câu 19: Ta có số liệu về 2 cổ phiếu theo bảng sau:

Tình trạng KT Xác xuất Lợi suất đầu t vào CP A Lợi suất đầu t vào CP B

Bạn hãy:

a) Xác định thu nhập kỳ vọng đầu t vào A và B

b) Rủi ro đầu t vào A và B

c) Tích sai của A và B

d) Hệ số tơng quan giữa A và B

Hai cổ phiếu này có thể kết hợp với nhau trong danh mục đầu t để trừ khử rủi ro

không? Vì sao?

Giải.











) , cov(

j

R R R R p j

Câu 20: Giá một cổ p hiếu Hapohaco hiện tại là 37.000 đ, để dự đoán giá cổ phiếu này trong 1 năm sau, bằng phơng pháp điều tra một số chuyên gia phân tích chứng khoán, ngời ta đã có t liệu sau:

Hãy dự báo mức rủi ro đầu t vào Haphaco với t liệu

Hãy dự báo mức rủi ro đầu t vào REE với t liệu trên Giải thích kết quả

âu 21: Cổ phiếu công ty A và B có xác suất mức sinh lời nh sau cho các năm tới:

Tình trạng kinh tế Xác suất Khả năng sinh lời củaA Khả năng sinh lời củaB

a Tính mức sinh lời mong đợi của A và B

b Đánh giá rủi ro đầu t vào mỗi cổ phiếu

c Tính tích sai mong đợi của lợi nhuận A và B

d Giải thích kết quả tính đợc ở phần B

e A và B có thể kết hợp để giảm thiểu rủi ro trong danh mục đầu t không? Vì sao? Giải

áp dụng công thức tính lợi nhuận, rủi ro và hệ số hiệp phơng sai của cặp chứng khoán

Bài tập phần CAPM.

Câu 1: Giá CP Công ty A có hệ số  = 3 LS tín phiếu kho bạc là 7%, mức bù rủi ro thị

tr-ờng CK hiện tại là 8% (rm - rf = 8%) Lãi suất đầu t CP Công ty này gần đây là 30% Dùng công thức mô hình định giá TS vốn (CAPM) để xem xét thị trờng có đánh giá CP này cao hơn giá trị hay không Giải thích

Giải

Mô hình CAPM: R = Rf + (Rm - Rf=) = 7 + 3*8 = 31% > 30%

 Giá CP này đợc định giá thấp hơn giá trị

Câu 2: Có mức sinh lời của CK A = 25%, hệ số  = 2, RF = 8,4%, Rm = 16% có nên

đầu t không?

a Đầu t

b Không đầu t

So sánh mức sinh lời của CK A và mức sinh lời tối thiểu phải có trên thị trờng

Giải.

Ap dụng công thức:

E(Ri) = Rf +  [E(Rm) - Rf] = 8.4 + 2 (16 - 8.4) = 23.6%

Do RA = 25% > 23.6%  Đầu t

Câu 3: Một danh mục có lợi suất ớc tính là 20%, độ lệch chuyển là 20% Tín phiếu kho

bạc lợi suất là 7% Nhà đầu t có hệ số ngại rủi ro A = 6

a Dầu t

b Không đầu t

So sánh mức sinh lời của tín phiếu kho bạc với mức sinh lời điểu chỉnh (đã tính

đến hệ số ngại rủi ro) của nhà đầu t:

Giải.

Tóm tắt:

E (porotio) = 20%;  = 20%; Rf = 7%; A = 6

áp dụng công thức tính mức độ chấp nhận phơng án đầu t (quản lý danh mục)

U = E(p) - 0.05  A  2 = 20 - 0.05  6  202 = 8%

Do U = 8% > Rf = 7%  Chấp nhận đầu t

Chọn phơng án a

Bài tập quản trị trái phiếu.

Bài 1*: Ngân hàng của bạn có nghĩa vụ trả nợ theo thời hạn và giá trị theo bảng sau:

Sau Lợng tiền cần trả nợ đ

Để tận dụng nguồn vốn ngân hàng định dùng chiến lợc đầu t vào danh mục TP với các loại TP hiện có nh sau:

TP coupon 1 năm có C = 9%, F = 100.000

TP chiết khấu 2 năm có C = 0, F = 100.000

TP coupon 3 năm có C = 8%, F = 100.000

TP zero coupon 4 năm có F = 100.000

Bạn hãy giúp lãnh đạo xác định một danh mục đầu t sao cho tổng tiền chỉ ra cho danh mục này là bé nhất (chỉ yêu cầu lập bài toán), biết r = 7%

Giải.

Nguyên tắc: xác định lợng tiền đầu t cho từng loại trái phiếu nhỏ nhất đảm bảo thực hiện nghĩa vụ nợ của NH sau thời hạn đáo hạn của trái phiếu

+ Xác định luồng tiền cho từng năm

TP1 -109000

TP2 - -100000

TP3 - 8 - 8 - 108000

TP4 - - -

100000 + Xác định giá thị trờng của mỗi loại trái phiếu để xác điịnh số tiền bỏ ra mua TP, biết lãi suất thị trờng hiện hành là 7% TP1 = 109/1.07 = 101.87 TP2 = 100/(1.07)2 = 87.34 P3 = 8/1.07 + 8/(1.07)3 = 102.62 P4 = 100/(1.07)4 = 76.29 + Gọi lợng trái phiếu từng loại cần mua là X1, X2 , X 3 , X 4 Giải hệ phơng trình: 109.000* X1+ 8* X 3= 10.000.000 100.000*X2 + 8*X 3 , = 40.000.000

108.000* X 3= 38.000.000

100.000*X 4 = 60.000.000

101.870* X1+ 87.340*X2+ 102.620*X 3 + 76.290*X 4 min.

X 4 = 600

X 3 = 352

X2= 371

X1= 66

Lợng vón đầu t hiện tại là:

101.870*66 + 87.340*371 + 102.620*352 + 76.290*600 =

6.723.420 + 32.403.140 + 36.122.240 + 45.774.000 = 121.022.800

âu 2: Ngân hàng của bạn có nghĩa vụ trả nợ theo thời hạn và giá trị theo bảng sau:

Để tận dụng nguồn vốn, NH định dùng chiến lợc đầu t vào DM trái phiếu với các loại trái phiếu hiện có nh sau:

TP coupon 1 năm có C = 9%, F = 100.000

TP chiết khấu 2 năm F = 100.000

TP coupon 3 năm có C = 10%, F = 100.000

TP zero coupon 4 năm có F = 100.000

Tỷ lệ CK là 9%

Bạn hãy giúp lãnh đạo xác định 1 DM đầu t sao cho tổng số tiền chi ra cho DM này là bé nhất (chỉ yêu cầu lập bài toán)

Giải.

TL: Gọi việc đầu t vào mỗi TP lần lợt là z1, x2, x3, x4

TP LN 1 năm LN 2 năm LN 3 năm LN 4 năm Giá TP

98.165 x1 + 84.168 x2 + 105.532 x3 + 70.843 x4  min

Câu 3: Công trái giáo dục có mệnh giá là 500.000đ Thời gian đáo hạn là 5 năm, có lãi

suất gộp là 40%/5 năm, còn 2 năm nữa đáo hạn đang bán ở giá 350.000đ, lãi suất tiết kiệm dài hạn 2 năm đang là 8%/năm Trên quan điểm lợi suất Tp bằng lợi suất tiết kiệm 2 năm thì có mua TP trên đợc không? Vì sao?

Giải.

So sánh giá theo lãi suất chiét khấu 8% với giá hiện tại để xác định giá đang bán cao hơn hay thấp hơn giá trị thực của trái phiếu

+ tỷ lệ lãi suất Coupon của trái phiếu là:

R  1 0.4   1  100%  6.96%

C = 6,96%  500.000 = 34.800 đ

+ Giá TP đó tại thời điểm hiện tại là:

0 2 2

34800 34800 500.000

1.08 1.08 1.08

Nh vậy TT đang bán rẻ hơn giá trị thực của TP  Nên mua

Câu 4: Một NH có 30 tỷ vốn tự có, vốn vay là 150 tỷ Vốn vay có thời gian đáo hạn bình

quân là 6 tháng GĐ kinh doanh mạo hiểm và dùng tất cả vốn để cho vay đầu t vào các

DM ĐT dài hạn có thời gian đáo hạn bình quân D = 15 năm Lãi suất chiết khấu hiện tại

là 8% Hãy xác định điểm đổ vỡ của ngân hàng này

Giải.

Nguyên tắc: giá trái phiếu biến động nghịch biến với lãi suất Mức độ nhạy cảm phụ thuộc vào thời lợng và giá trị trái phiếu

Khi lãi suất tăng lên 1% , giá trị tài sản nợ giảm:

 PL =

-y

y





1 DL.PL = 0,01*0,5*150/1,08 = 0,6944 tỷ Tơng tự giá trị thị tròng tài sản có giảm :

 PA =

-y

y





1 DA.PA = 0,01*15*180/1,08 = 25 tỷ

1 Lãi suất tăng 1% TS nợ giảm 69,44tỷ, giá trị thị trờng TSN = 150 – 69,44

2 Lãi suất tăng 1% thì TS có giảm 25 tỷ, giá trị thị trờng TSC= 180 – 25

Khi lãi suất tăng r%  TS nợ giảm 0,6944r% ; giá trị tài sản nợ = 150 – 0,6944r Khi lãi suất tăng r  TS nợ giảm 25 tỷ; giá trị tài sản có = 180 - 25r

NH đổ vỡ khi vốn tự có bị triệt tiêu bởi sự giảm giá tài sản có cao hơn tài sản nợ khi lãi suất biến động  150 – 0,6944r = 180 - 25r  r = 1,23%

Vậy khi LS tăng tới 9,23% thì NH mất khả năng thanh toán Điểm đổ vỡ của ngân hàng là tại mức lãi suất thị trờng 9,23%

Câu 5 : Giả sử NH của bạn có VTC là 500 tỷ và vốn vay là 190, vốn vay có thời gian

đáo hạn bình quân là 6 tháng Giả sử GĐ NH này kinh doanh mạo hiểm và dùng tất cả vốn trên để cho vay đầu t các danh mục đầu t dài hạn có thời gian đáo hạn bình quân D =

15 năm Lãi suất hiện tại là 8% Hãy xác định điểm đổ vỡ của ngân hàng này

Câu 6: Khi vào trang web http://www.investinginbonds.com và thay các thông số của TP

quốc tế do VN vừa phát hành thì nhận đợc các thông tin sau (giá TP này là 98.228$)

- YTM: 7.13 (lãi suất đáo hạn bình quân)

- Duration: 7.525 (thời gian đáo hạn bình quân)

- Convexity: 64.953 (độ lồi)

1 Hãy tính thời gian đáo hạn bình quân điều chỉnh của TP này ( modified duration- MD)

2 Nếu lãi suất TT tăng 1% thì giá TP giảm bao nhiêu $?

Giải.

r = 7,13%

D = 7,525

CX = 64,953

a) Thời gian đáo hạn bình quân điều chỉnh MD = D/(1 + y) = 7,525/ (1+0,0713)= 7,024

MD đợc sử dụng trong thực tế trên cơ sở đơn giản hoá công thức tính Duration, sử dụng

MD, D có thể đợc tính theo công thức:

b) Xác định mức độ thay đổi giá thị trờng TP sử dụng CX ( convexity) và MD Công thức:

2

) ( 2

1

1 y CX y

y D P

P













