1.4 Đóng góp mới của luận án Luận án trình bày sự phát triển của nhóm các phần tử mới dựa trên kỹ thuật nội suy liên tiếp CIP, trong đó tập trung vào các bài toán phân tích truyền nhiệt
Trang 1CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU
1.1 Bài toán truyền nhiệt và tương tác cơ-nhiệt
Sự thay đổi nhiệt độ gây ra hiện tượng giãn nở nhiệt trong vật liệu và nếu không được quan tâm đúng mức thì có thể gây ra ứng suất nhiệt lớn trong kết cấu và chi tiết máy Thêm vào đó, thuộc tính vật liệu có thể thay đổi theo nhiệt độ Vì thế, nghiên cứu về ứng xử cơ-nhiệt của vật rắn là một chủ đề quan trọng phục vụ các các ngành công nghiệp
1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và hạn chế của nó
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hiện vẫn đang là phương pháp số phổ biến nhất được dùng để giải các bài toán kỹ thuật Tuy vậy, FEM vẫn chứa đựng nhiều hạn chế như đã được chỉ ra bởi [1, 2]: i) lưới phần tử cần phải cập nhật nếu miền bài toán thay đổi; ii) nghiệm thu được bị ảnh hưởng bởi sự méo dạng của phần tử; iii) trường đạo hàm bất liên tục tại nút (không phản ánh bản chất vật lý); và iv) hiện tượng “khóa”
1.3 Xu hướng phát triển các phương pháp số
Hạn chế của FEM là động lực thúc đẩy các nhà nghiên cứu phát triển các phương pháp số mới, như phương pháp Đẳng hình học (IGA) [3] và lớp các phương pháp không lưới [4, 5, 6] Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng Hướng tiếp cận thứ hai là cải tiến FEM nhằm tận dụng những lợi thế vốn có của nó, đồng thời khắc phục được những điểm yếu Mới đây, kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP)
đã được đề xuất cho phần tử tam giác và phần tử tứ giác [7, 8] So sánh với FEM thông thường, việc tích hợp CIP mang đến cho phần tử nhiều thuộc tính tốt và do
đó, đây là một kỹ thuật đáng để đầu tư phát triển sâu hơn
1.4 Đóng góp mới của luận án
Luận án trình bày sự phát triển của nhóm các phần tử mới dựa trên kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP), trong đó tập trung vào các bài toán phân tích truyền nhiệt và cơ-nhiệt trong vật rắn nguyên vẹn và vật rắn có vết nứt Các đóng góp mới của luận án như sau:
Trang 2a) Mở rộng kỹ thuật CIP trong phần tử hai chiều để khảo sát vật rắn có vật liệu đẳng hướng chịu tác động bởi tải cơ và tải nhiệt, với giả thiết cơ học nứt nhiệt-đàn hồi tuyến tính
b) Tiếp tục mở rộng các kết quả ở mục a) cho vật liệu trực hướng
c) Phát triển kỹ thuật CIP cho phần tử ba chiều
d) Giới thiệu một công thức tổng quát cho kỹ thuật CIP
1.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của các đóng góp bởi luận án
- Đề xuất phương thức tính toán mới cho bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính hai chiều, dựa trên sự phát triển sâu phần tử XCQ4, ứng dụng trong vật liệu đẳng hướng và vật liệu trực hướng
- Đề xuất công thức tính toán tổng quát cho kỹ thuật CIP, áp dụng cho nhiều loại phần tử từ 1D tới 3D
1.6 Phương pháp nghiên cứu
Luận án tập trung vào các kỹ thuật cải tiến dựa trên CIP đối với phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp Phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) cho vật rắn không có vết nứt và vật rắn có vết nứt dưới tác dụng của tải cơ-nhiệt, với vật liệu trực hướng và vật liệu đẳng hướng
1.7 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp và kỹ thuật tính toán đề xuất trong luận án hướng tới bài toán nhiệt trong vật rắn nguyên vẹn và có vết nứt Giả thiết đặt ra là ứng xử vật liệu trong vùng đàn hồi tuyến tính và biến dạng nhỏ Với vật rắn có vết nứt, chỉ xét bài toán hai chiều Với vật rắn không có vết nứt, biểu thức tính toán được tổng quát hóa và áp dụng được cho bài toán một chiều, hai chiều và ba chiều
cơ-1.8 Bố cục luận án
Luận án được tổ chức như sau:
Chương 1 đánh giá tổng quan về FEM và các nhược điểm của nó trong việc giải các bài toán vi phân đạo hàm riêng Chương 2 trình bày ngắn gọn về hệ phương trình chủ đạo của bài toán cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính Chương 3 mô tả chi tiết
Trang 3kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) cho bài toán một chiều và hai chiều Chương 4
dành riêng cho đóng góp mới trong phân tích bài toán cơ học nứt nhiệt-đàn hồi tuyến tính hai chiều với vật liệu đẳng hướng, sử dụng kỹ thuật CIP và phương
pháp hàm làm giàu Chương 5 trình bày sự mở rộng của quy trình tính toán ở
chương 4 cho vật liệu trực hướng, trong đó tính định hướng vật liệu có vai trò
quan trọng Chương 6 phát triển một công thức tổng quát để tích hợp kỹ thuật
CIP vào đa dạng các phần tử từ một chiều đến ba chiều Cuối cùng, kết luận và
hướng phát triển sẽ được rút ra trong Chương 7
CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN CƠ-NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 2.1 Biểu thức
Xét vật thể đẳng hướng Ω với biên Γ Bài toán cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính là bài
toán cặp đôi của các vấn đề đàn hồi tuyến tính và truyền nhiệt Dạng yếu Galerkin của bài toán được viết như sau
độ môi trường; và T biểu diễn đạo hàm bậc nhất của nhiệt độ theo thời gian Ở
phương trình (2.2), b là lực khối tác dụng lên vật thể; 𝒖̈ là gia tốc, tức là đạo hàm bậc hai của chuyển vị u theo thời gian; là tensor biến dạng; và ε là tensor biến T
dạng nhiệt
CHƯƠNG 3 KỸ THUẬT NỘI SUY LIÊN TIẾP CHO CÁC BÀI
TOÁN 1D VÀ 2D
Trang 43.1 Vấn đề bất liên tục phi vật lý tại nút trong phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM): ví dụ với phần tử thanh 2 nút
Xét miền một chiều (1D) Ω Một hàm u(x) bất kỳ xác định trong Ω có thể xấp xỉ
bằng FEM như sau [9, 10]
với N I là hàm dạng Lagrange ứng với nút I (chỉ số toàn cục); uI là giá trị của hàm
u(x) tại nút I và n là tổng số nút Mỗi phần tử thanh hai nút (L2) có dạng một đoạn thẳng nối liền hai nút, kí hiệu là nút i và nút j Hàm dạng Ni và Nj tương ứng
với nút i và j, được viết trong hệ tọa độ tự nhiên như sau
Bây giờ, xét miền 1D Ω có chiều dài L = 1 được chia đều bởi hai phần tử L2, như
minh họa ở Hình 3.1 Hai phần tử được kí hiệu là e1 và e2, trong đó các nút được
đánh số toàn cục là 1, 2 và 3 Nút 2 là nút chung của phần tử e1 và phần tử e2, do
đó, đạo hàm của hàm u tại nút 2 được tính theo phương trình (3.4)
Trang 5Các giá trị tại nút u1, u2 và u3 nói chung sẽ không giống nhau Vì vậy, đạo hàm
u,x không liên tục tại nút 2 (không đúng về vật lý) Đây là vấn đề chung của FEM truyền thống, vì tính chất liên tục C0 của hàm dạng Lagrange Chi tiết về liên tục
C0 được bàn luận trong [9]
3.2 Kỹ thuật nội suy liên tiếp cho phần tử thanh 2 nút: phần tử CL2
Phần tử CL2 được tạo ra bằng cách áp dụng kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) vào
phần tử L2 Sử dụng kỹ thuật CIP [7, 8, 11, 12, 13], hàm u(x) ở phương trình
(3.1) được xấp xỉ bởi
[ ] [ ]
, 1
Ở đây, SI là tập hợp các phần tử có chung nút I Trọng số we được tính theo kích
thước phần tử Với phần tử một chiều, we là tỉ số giữa chiều dài le của phần tử e
và tổng chiều dài của tất cả các phần tử trong tập hợp SI
Thế các phương trình (3.8 – 3.9) và phương trình (3.7), ta thu được
[ ] [ ]
, 1
Trang 63.2.2 Đạo hàm bậc nhất của hàm dạng CIP
Đạo hàm bậc nhất của hàm R2 được thể hiện ở Hình 3.3, cho thấy một đường
cong trơn Ngược lại, đạo hàm bậc nhất của hàm N2 (FEM truyền thống) không trơn và có bước nhảy rất rõ rệt khi đi qua nút 2 Hình ảnh này biểu hiện sự bất liên tục tại nút của trường đạo hàm trong FEM truyền thống
3.3 Kỹ thuật nội suy liên tiếp (CIP) cho phần tử tam giác ba nút (CT3) và phần tử tứ giác bốn nút (CQ4)
3.3.1 Biểu thức xấp xỉ theo CIP cho miền 2 chiều
Figure 3.3 Shape functions associated with node 2 (global) of the Example
provided in Figure 3.1 computed by CL2 and L2 elements and (b) Their
first order derivatives
CL2L2
Trang 7Hàm u(x) bất kỳ xác định trong miền hai chiều (2D) được xấp xỉ theo CIP như
Phương trình (3.15) là sự mở rộng của phương trình Equation (3.10) với sự xuất
hiện của thành phần đạo hàm của u(x) theo phương y
3.4 Kết luận
Để đảm bảo tính đầy đủ của luận án, biểu thức xấp xỉ theo CIP cho các phần tử 1D và 2D được trình bày trong chương này Thuộc tính tốt của các phần tử tích hợp CIP đã được bàn luận Điểm thú vị là việc sử dụng CIP không làm thay đổi
số lượng bậc tự do và thuộc tính Kronecker vẫn được đảm bảo CIP có nhiều tiềm năng để tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu
CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH NỨT CƠ-NHIỆT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
HAI CHIỀU VỚI VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG, TRONG ĐIỀU KIỆN TẢI ĐỘNG LỰC VÀ TẢI TỰA TĨNH 4.1 Mở đầu
Trong chương này, một kiểu phần tử mới, gọi là “XCQ4”, sẽ được giới thiệu và đặc điểm của nó khi phân tích bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính sẽ được khảo sát Phần tử XCQ4 là phiên bản mở rộng của phần tử CQ4 (xem Chương 3) bằng cách tích hợp thêm các thành phần làm giàu để biểu diễn ứng xử của vật rắn khi có vết nứt Các trường hợp tải tĩnh và tải động lực sẽ được xem xét Tuy nhiên với tải động lực, chưa khảo sát trường hợp vết nứt phát triển
4.2 Mô hình hóa vết nứt
Có hai cách tiếp cận khi xây dựng mô hình vết nứt: mô hình “vết nứt sắc cạnh”
và mô hình “vùng nứt” Với mô hình “vết nứt sắc cạnh”, vết nứt sẽ được mô tả
là một dạng bất liên tục Trái lại, cách tiếp cận kiểu “vùng nứt” sẽ mô hình hóa trạng thái vật liệu bằng một tham số biểu diễn sự hư hại với giá trị trong khoảng
từ 0 (hoàn toàn nguyên vẹn) đến 1 (hư hại hoàn toàn) Nghiên cứu hiện tại giới hạn trong việc mô tả “vết nứt sắc cạnh” thông qua các hàm làm giàu Cụ thể,
Trang 8phần tử tứ giác nội suy liên tiếp (CQ4) sẽ được mở rộng bằng các thành phần làm giàu, để tạo nên phần tử XCQ4 element
4.3 Phần tử tứ giác nội suy liên tiếp mở rộng (XCQ4)
Phần tử XCQ4 đã được khảo sát trong các tài liệu [17, 18] cho bài toán cơ học nứt đàn hồi tuyến tính – LEFM - (chưa xét nhiệt độ) So sánh với phiên bản của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, gọi là phần tử XQ4, thì XCQ4 được báo cáo là cho kết quả tốt hơn Với cảm hứng từ những ưu điểm của XCQ4 trong LEFM, phần tử tiếp tục được mở rộng để khảo sát bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính
4.3.1 Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường chuyển vị
Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường chuyển vị được viết như sau
hàm Heaviside H(x), còn sự tập trung ứng suất quanh đỉnh vết nứt được mô tả
bởi bốn hàm nhánh được đề xuất dựa trên lời giải giải tích [19]
( ) sin , cos , sin sin , cos sin
(r, θ) là tọa độ cực với gốc đặt tại đỉnh vết nứt, trong đó r là khoảng cách từ điểm
x bất kỳ đến gốc tọa độ và θ là góc nghiêng giữa tiếp tuyến của đoạn vết nứt tại
đỉnh và vector (x – xTIP) Ở phương trình (4.1), W là tập hợp tất cả các nút; Wtip
là tập hợp các nút thuộc các phần tử chứa đỉnh vết nứt; và Wsplit là tập hợp tất cả các nút thuộc các phần tử bị vết nứt cắt qua nhưng đồng thời không nằm trong
Wtip aJ và bKL là các bậc tự do tăng thêm do có thêm các thành phần làm giàu
4.3.2 Biểu thức làm giàu để xấp xỉ trường nhiệt độ
Trang 94.3.2.1 Trường hợp bề mặt vết nứt đoạn nhiệt
Bề mặt vết nứt đoạn nhiệt nghĩa là nhiệt độ có bước nhảy khi qua vết nứt, và thông lượng nhiệt có hiện tượng suy biến quanh đỉnh vết nứt, tương tự như với bước nhảy của chuyển vị và sự suy biến của ứng suất Vì vậy, biểu thức xấp xỉ nhiệt độ có thể viết tương tự như phương trình (4.1)
( ) i( ) | i| | ( ) |
i
Biểu thức xấp xỉ nhiệt độ vẫn có dạng như phương trình (4.3), nhưng hàm
Heaviside được thay bởi hàm L(x) ở phương trình (4.4), và hàm làm giàu đỉnh
vết nứt được chọn là hàm nhánh thứ hai của phương trình (4.2), dựa trên lời giải giải tích tham khảo ở [20]
4.4 Tính toán hệ số cường độ ứng suất cho bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính
Kỹ thuật tích phân tương tác [19, 21, 22, 23] được sử dụng để trích xuất hệ số cường độ ứng suất SIFs Với bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính cho vật liệu đẳng hướng, tích phân tương tác được tính theo biểu thức
Trang 114.6 Kết quả tính toán và bàn luận
4.6.4 Mô phỏng sự lan truyền nứt dưới tải tĩnh trong miền hình chữ thập từ một vết nứt cạnh xiên góc ban đầu
nứt dự đoán ứng với 4 trường
hợp tải cho trong Bảng 4.5, sử dụng phần tử XCQ4
Bảng 4.1 Ví dụ 4.6.1: Bốn trường hợp tải khảo sát
Trang 12Bài toán này khảo sát hiện tượng vết nứt phát triển trong mẫu hình chữ thập chịu tải tĩnh, xuất phát từ một đoạn nứt xiên góc có sẵn ban đầu Hình học và điều
kiện biên được cho ở Hình 4.3, với L = 1, chiều dài đoạn nứt ban đầu a = 0.2 L
và góc nghiêng giữa vết nứt ban đầu so với phương ngang là 135o Thông số vật
liệu [25]: Modulus đàn hồi Young E = 218400 Pa, hệ số Poisson ν = 0.3 và hệ số giãn nở nhiệt α = 1.67 x 10-5/oC Có tất cả bốn trường hợp tải được xem xét, như
trình bày trong Bảng 4.1 Mẫu chữ thập được chia lưới với 2000 phần tử XCQ4 Hình 4.4 biểu diễn đường nứt dự đoán bởi mô hình đề xuất sử dụng phần tử
XCQ4 và tiêu chuẩn MTS xác định hướng vết nứt phát triển, ứng với bốn trường
hợp tải khảo sát Các kết quả này đều phù hợp với báo cáo ghi nhận từ các tài liệu tham khảo [25, 26, 27]
4.6.7 Phân tích hệ số cường độ ứng suất khi xét tải động lực: bài toán vết nứt cong chịu sốc nhiệt
Ví dụ này khảo sát ứng xử của mẫu hai chiều bằng vật liệu Bismuth với một vết nứt cong có sẵn, chịu tác động của sốc nhiệt Mẫu Bismuth hình chữ nhật được
minh họa trong Hình 4.27, với các kích thước như sau: W = 12.0 mm, H1 = 10.0
mm, và H2 = 15.0 mm Thông số vật liệu Bismuth được tham khảo từ tài liệu
[23] Ban đầu, mẫu có nhiệt độ T0 = 3.5 K Sau đó, cạnh bên trái của mẫu đột
ngột được giảm nhiệt độ với mức giảm là ΔT = Te – T0 = -0.2 K Ngoại trừ biên trái của mẫu, các biên còn lại đều được cách nhiệt Ở đây bài toán được giả thiết
là biến dạng phẳng
Cả hai phương trình cơ và nhiệt được giải với sự lựa chọn kỹ thuật tích phân theo thời gian phù hợp, cụ thể là phương pháp Euler lùi cho bài toán truyền nhiệt và phương pháp Newmark cho bài toán cân bằng cơ học Đáp ứng của tấm được
khảo sát trong khoảng thời gian 4 μs Từ các thông số vật liệu Bismuth [23], tốc
độ lan truyền sóng đàn hồi có thể tính được là Cd = 2346.43 m/s Vì thế, sóng sẽ
lan đến đỉnh vết nứt khi t = 2.45 μs Chú ý rằng sóng đàn hồi này được kích hoạt
từ hiện tượng sốc nhiệt Hình 4.5 minh họa hình ảnh sóng đàn hồi, thông qua
trường chuyển vị tổng, bắt nguồn từ biên trái của tấm Bismuth, nơi xảy ra sốc
Trang 13nhiệt, và lan truyền dần sang biên phải Tại thời điểm t = 2.45 μs, sóng chạm đỉnh
vết, phù hợp với ước tính ở trên Sau đó, sóng tiếp tục lan đến biên phải tấm
4.7 Kết luận
Phần tử XCQ4 đã được mở rộng thành công cho bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính trong miền hai chiều Sự tương tác giữa cơ và nhiệt được xét đến Biểu thức tính toán được kiểm chứng qua nhiều ví dụ, gồm cả tải tĩnh và tải động lực
Ở tất cả các ví dụ số, phần tử XCQ4 đều cho thấy khả năng làm việc tốt hơn so với phiên bản XFEM, tức là phần tử XQ4, nhờ vào sự nâng cấp trong biểu diễn trường ứng suất
điểm khác nhau: (a) t = 0.4 μs, (b) t = 1.2 μs, (c) t = 2.0 μs, (d) t = 2.45 μs,
(e) t = 3.2 μs and (f) t = 4.0 μs
Trang 14CHƯƠNG 5 PHÂN TÍCH NỨT CƠ-NHIỆT ĐÀN HỒI HAI CHIỀU
VỚI VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG TRONG ĐIỀU KIỆN TẢI TĨNH
5.1 Mở đầu
Dữ liệu thực nghiệm về vết nứt lan truyền trong vật liệu trực hướng ghi nhận sự không nhất quán Có hai quan sát chính: a) vết nứt luôn luôn phát triển theo một hướng nhất định, bất chấp điều kiện tải [28, 29], và b) điều kiện tải tác động có ảnh hưởng lớn đến hướng phát triển vết nứt [30] Những dữ liệu này phản ánh sự phức tạp của bài toán lan truyền vết nứt trong vật liệu trực hướng và do đó, cần thêm nghiên cứu về lĩnh vực này Chương 5 tiếp tục mở rộng phần tử XCQ4 ở chương 4 cho trường hợp vật rắn trực hướng có vết nứt chịu tải cơ-nhiệt, với sự tích hợp về tính định hướng của vật liệu
5.2 Phần tử XCQ4 cho bài toán nứt cơ-nhiệt đàn hồi tuyến tính với vật liệu trực hướng
Do thuộc tính vật liệu không còn đẳng hướng, nhiều chi tiết trong các biểu thức tính toán ở chương 4 cần phải được hiệu chỉnh Trước hết, các hàm làm giàu cho
cả trường chuyển vị và trường nhiệt độ sẽ được chọn lại Dự đoán hướng phát triển của vết nứt là cũng nhiệm vụ quan trọng được đặt ra Ở đây, giả thiết rằng hướng chính của thuộc tính nhiệt học trùng với hướng chính của thuộc tính cơ học
5.2.1 Phương trình đặc trưng của vật liệu trực hướng
Hình 5.1 minh họa các hệ tọa độ sử dụng trong miền vật thể trực hướng hai chiều
Phương trình đặc trưng cho vật liệu trực hướng được đưa ra bởi Lekhnitskii [31]
Trang 155.2.2 Biểu thức xấp xỉ chuyển vị
Biểu thức xấp xỉ chuyển vị trong môi trường vật rắn trực hướng có vết nứt tính theo phần tử XCQ4 sẽ có dạng tương tự như phương trình (4.1) Tuy nhiên, xét đến lời giải giải tích của trường chuyển vị và trường ứng suất lân cận đỉnh vết nứt [32], các hàm nhánh được viết theo tài liệu [33]
cos +z sin
ky k
Hình 5.1 Minh họa các hệ tọa độ: hệ toàn cục X-Y; trục tọa độ địa
phương x-y đặt tại đỉnh vết nứt; và các phương chính 1-2 của vật liệu