LYTHUYET_BTchuong1,2

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b Tính thể tích của khối nón Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.. a Tính diệ

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH HỌC 12

ƠN THI TỐT NGHIỆP VÀ CHUYÊN NGHIỆP NĂM 2010 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12

I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUƠNG

1 sinα = AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cosα = AC

BC (KỀ chia HUYỀN)

3 tanα = AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cotα = AC

AB (KỀ chia ĐỐI)

II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUƠNG

1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2

2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC

4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 12 12

III ĐỊNH LÍ CƠSIN

1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC

IV ĐỊNH LÍ SIN a b c

2R sin A sin B sin C = = =

V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC

AB = AC = BC ; b) AM AN

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c) − − − (Cơng thức Hê-rơng)

c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuơng: a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh gĩc vuơng)

b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuơng cân (nửa hình vuơng):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh gĩc vuơng bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuơng cĩ một gĩc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuơng: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường trịn: a) C = 2πR (R: bán kính đường trịn) b) S = πR2 (R: bán kính đường trịn)

α

B

A

N M

C B

A

C B

A

Giáo viên : Võ Duy Minh

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay

trùng với trọng tâm của tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Chân đường cao

trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α) Tức là:

a b a,b



 ∩



 ⊂ α



⇒d ⊥(α)

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

α ⊥ β



 α ∩ β =



 ⊥ ⊂ β



⇒d ⊥(α)

c) Đt d vuông góc với mp(α) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(α)

4 Góc ϕ giữa đt d và mp(α): d cắt (α) tại O và A∈d

Nếu AH ( )

H ( )

⊥ α



 ∈ α

 thì góc giữa d và (α) là ϕ hay AOH ˆ = ϕ

5 Góc giữa 2 mp(α) và mp(β):

Nếu

( ) ( ) AB

α ∩ β =







thì góc giữa (α) và (β) là ϕ hay EMF ˆ = ϕ

6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(α): (hình ở mục 4)

Nếu AH ⊥(α) thì d(A, (α)) = AH (với H ∈(α))

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

S.ABC

′ ′ ′ ′ ′ ′

=

4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = π R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4π R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3

R

3 π (R: bán kính mặt cầu)

PHẦN BÀI TẬP:

G P

N M

C B

A

α

β

ϕ

F

E

M

B

A

ϕ O H

A

d' d

α

 Chủ đề 1: Khối chóp - Khối lăng trụ

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

*Lưu ý:(Khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C∧ = 600, đường chéo BC’

của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300

a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600 Tính thể tích của lăng trụ

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a Tính thể tích của lăng trụ

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A∧ = 600 Chân đường vuông góc hạ từ

B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB’ = a

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp

Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH

a) Chứng minh: SA⊥BC b) Tính thể tích của hình chóp

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một

góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC HD: * Tính: S.DBC

S.ABC

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng: SH ⊥(ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy

một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng

3 3 6

Tính độ dài cạnh bên của hình chóp ĐS: SA = 5

2 a

Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 3

2

a

và thể tích bằng a3 Tính cạnh đáy của hình chóp ĐS: AB = a 2

Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc

600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác vuông OAB

quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b)Tính thể tích của khối nón

Giáo viên : Võ Duy Minh

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn b)Tính thể tích của khối nĩn

Bài 6: Một hình nĩn cĩ độ dài đường sinh bằng l và gĩc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn b)Tính thể tích của khối nĩn

Bài 7: Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nĩn bằng 2πa2

Tính thể tích của hình nĩn

Bài 8: Một hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9π Tính thể tích của hình nĩn

Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cĩ cạnh gĩc vuơng bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩ

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một gĩc 600 Tính diện tích của thiết diện này

Bài 10: Cho hình nĩn trịn xoay cĩ đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

là 12cm Tính diện tích của thiết diện đĩ

Bài 11: Cắt hình nĩn đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng

2

a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nĩn sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nĩn một gĩc 600 Tính diện tích tam giác SBC

Bài 12: Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuơng.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ b)Tính thể tích của khối trụ

Bài 13: Một hình trụ cĩ bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên

Bài 14: Một hình trụ cĩ bán kính r và chiều cao h = r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

Bài 15: Cho một hình trụ cĩ hai đáy là hai đường trịn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

Bài 16: Một hình trụ cĩ bán kính đáy bằng 50cm và cĩ chiều cao h = 50cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Một đoạn thẳng cĩ chiều dài 100cm và cĩ hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy Tính khoảng cách

từ đoạn thẳng đĩ đến trục hình trụ

Bài 17: Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và vuơng gĩc với mp(ABC), ∆ABC vuơng tại B và

AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 18: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 19: Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hính vuơng cạnh bằng a SA = 2a và vuơng gĩc với

mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 20: Cho hình chĩp S.ABC cĩ 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,

SB, SC đơi một vuơng gĩc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ

Chúc các em học tốt phần này !

Khối đa diện CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 sinα = AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cosα = AC

BC (KỀ chia HUYỀN)

3 tanα = AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cotα = AC

AB (KỀ chia ĐỐI)

II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2

2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC

4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 12 12

III ĐỊNH LÍ CÔSIN

1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC

IV ĐỊNH LÍ SIN

2R sin A = sin B sin C = =

V ĐỊNH LÍ TALET

MN // BC

AB = AC = BC ; b) AM AN

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c) − − − (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông:

a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

α

B

A

N M

C B

A

C B

A

Giáo viên : Võ Duy Minh

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2πR (R: bán kính đường tròn)

b) S = πR2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

2 Đường cao:

Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực:

Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác:

Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều:

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều:

a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp(α):

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp(α) Tức là:

a b a,b



 ∩



 ⊂ α



⇒d ⊥(α)

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

α ⊥ β



 α ∩ β =



 ⊥ ⊂ β



⇒d ⊥(α)

c) Đt d vuông góc với mp(α) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp(α)

4 Góc ϕ giữa đt d và mp(α): d cắt (α) tại O và A∈d

Nếu AH ( )

H ( )

⊥ α



 ∈ α

 thì góc giữa d và (α) là ϕ hay AOH ˆ = ϕ

5 Góc giữa 2 mp(α) và mp(β):

Nếu

( ) ( ) AB

α ∩ β =







thì góc giữa (α) và (β) là ϕ hay EMF ˆ = ϕ

6 Khoảng cách từ điểm A đến mp(α):

(hình ở mục 4)

Nếu AH ⊥(α) thì d(A, (α)) = AH

(với H ∈(α))

G P

N M

C B

A

α

β

ϕ

F

E

M B

A

ϕ O H

A

d' d

α

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

S.ABC

′ ′ ′ = ′ ′ ′

4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2π Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = π R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4π R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3

R

3 π (R: bán kính mặt cầu)

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

HD: * Đáy là ∆BCD đều cạnh a H là trọng tâm của đáy

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V = 1

3Bh =

1

3SBCD AH * Tính: SBCD =

2 3 4

a (∆BCD đều cạnh a)

* Tính AH: Trong ∆VABH tại H :

AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = 2

3BM với BM =

3 2

ĐS: V =

3 2 12

a

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a

HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm của 2 đường chéo

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V = 1

3Bh =

1

3SABCD SH * Tính: SABCD = a

2

* Tính AH: Trong ∆VSAH tại H:

SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2

2

ĐS: V =

3 2 6

a Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a ĐS: V = 3 2

3

a

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

b) Tính thể tích khối tứ diện A ’ BB ’ C

HD: a) * Đáy A’B’C’ là ∆ đều cạnh a AA’ là đường cao

* Tất cả các cạnh đều bằng a

* VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SA B C′ ′ ′.AA’

* Tính: SA B C′ ′ ′ =

2 3 4

a (A’B’C’ là ∆ đều cạnh a) và AA’ = a ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =

3 3 4

a b)

A BB C

V ′ ′ = 1

3 VABC.A B C′ ′ ′ ĐS:

3 3 12

a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

S

C B

A

C'

B' A'

C

B A

Giáo viên : Võ Duy Minh

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C∧ = 60 0 , đường chéo

BC ’

của mặt bên (BCC ’ B ’ ) hợp với mặt bên (ACC ’ A ’ ) một góc 30 0

a) Tính độ dài cạnh AC ’ b) Tính thể tích lăng trụ

HD: a) * Xác địnhϕ là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’)

+ CM: BA ⊥( ACC’A’)

• BA ⊥AC (vì ∆ABC vuông tại A)

• BA ⊥AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + ϕ = BC A∧

′ = 300 * Tính AC’: Trong ∆VBAC’ tại A (vì BA ⊥AC’) tan300 = AB

AB

* Tính AB: Trong ∆VABC tại A, ta có: tan600 = AB

AC

⇒AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a

b) VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC = 1

2AB.AC =

1

2.a 3.a =

2 3 2

a

* Tính CC’: Trong ∆VACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 ⇒CC’ = 2 a 2

ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ = a3 6

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’ B ’ C ’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A ’ cách đều các

điểm A, B, C Cạnh bên AA ’ tạo với mp đáy một góc 60 0 Tính thể tích của lăng trụ.

HD: * Kẻ A’H ⊥(ABC)

* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a

* Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là ϕ = A A H∧

′ = 600

* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.A’H

* Tính: SABC =

2 3 4

a (Vì ∆ABC đều cạnh a)

* Tính A’H: Trong ∆VAA’H tại H, ta có:

tan600 = A H

AH

′ ⇒

A’H = AH tan600 = 2

ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =

3 3 4

a

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA ’ = 3a Tính thể tích của lăng trụ

HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a

* Tính: VABC.A B C′ ′ ′ = Bh = SABC.AA’

* Tính: SABC = 1

2AB.AC (biết AC = a)

* Tính AB: Trong ∆VABC tại A, ta có:

AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2

ĐS: VABC.A B C′ ′ ′ =

3

2

a

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’ B ’ C ’ D ’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A∧ = 60 0 Chân đường vuông góc hạ

từ

B ’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB ’ = a.

60 °

30 °

C' B'

A'

C B

A

a

60 °

N H

C'

B' A'

C

B A

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

A

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b) Tính thể tích hình hộp

HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD

* B’O ⊥(ABCD) (gt)

* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là ϕ = B BO∧

′

* Tính ϕ = B BO ′ ∧ : Trong ∆VBB’O tại O, ta có:

cosϕ = OB

BB ′ =

OB a

+ ∆ABD đều cạnh a (vì A∧ = 600 và AB = a) ⇒DB = a

⇒OB = 1

2DB = 2

a

Suy ra: cosϕ = 1

2 ⇒ ϕ = 600

b) * Đáy ABCD là tổng của 2 ∆đều ABD và BDC ⇒ SABCD= 2

2 3 4

2 a

* VABCD.A B C D′ ′ ′ ′ = Bh = SABCD.B’O =

2 3 2

a .B’O

* Tính B’O: B’O = 3

2

a (vì ∆B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:

3

3 4

a

Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH

a) Chứng minh: SA⊥BC

b) Tính thể tích của hình chóp

HD: a) Gọi M là trung điểm của BC

* CM: BC⊥SH (SH⊥mp( ABC))

BC ⊥AM

⇒BC⊥mp(SAM) Suy ra: SA⊥BC (đpcm)

b) * Tất cả các cạnh đều bằng a

* Tính: VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC .SH * Tính: SABC =

2

a 3 4

* Tính SH: Trong ∆VSAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2

(biết SA = a; AH = 2

3AM mà AM =

a 3

2 vì ∆ABC đều cạnh a) ĐS: VS.ABC =

3

a 2 12

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một

góc 60 0 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

HD: a) Hạ SH ⊥(ABC) ⇒H là trọng tâm của ∆ABC đều cạnh a

Gọi E là trung điểm của BC

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là ϕ = ∧

SAE = 600

* Tính: S.DBC

S.ABC

* Tính SD: SD = SA – AD

* Tính SA: SA = 2AH (vì ∆SAH là nửa tam giác đều)

và AH = 2

3AE mà AE =

a 3

2 vì ∆ABC đều cạnh a

Suy ra: SA = 2a 3

ϕ

a

60 °

a O

B' A'

B A

a

C

S

60 °

E

D

a H

C

B A

Giáo viên : Võ Duy Minh

* Tính AD: AD = AE

2 ( vì ∆ADE là nửa tam giác đều) Suy ra: AD = a 3

4

* Suy ra: SD = 5a 3

12 ĐS:

S.DBC

S.ABC

b) Cách 1: * Tính VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC.SH * Tính: SABC =

2

a 3

4 (vì ∆ABC đều cạnh a)

* Tính SH: Trong ∆VSAH tại H, ta có: sin600 = SH

SA ⇒SH = SA.sin600 = a Suy ra: VS.ABC =

3

a 3 12

* Từ S.DBC

S.ABC

V = 8 Suy ra: VS.DBC =

3

5a 3 96

Cách 2: * Tính: VS.DBC = 1

3Bh =

1

3SDBC.SD * Tính: SDBC =

1

2DE.BC

* Tính DE: Trong ∆VADE tại D, ta có: sin600 = DE

AE ⇒DE = AE.sin600 =3a

4 Suy ra: SDBC =

2

3a 8

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng: SH ⊥(ABCD)

b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

HD: a) * Ta có: mp(SAB) ⊥(ABCD)

* (SAB) ∩(ABCD) = AB; * SH ⊂(SAB)

* SH ⊥AB ( là đường cao của ∆SAB đều)

Suy ra: SH ⊥(ABCD) (đpcm)

b) * Tính: VS.ABCD = 1

3Bh =

1

3SABCD.SH

* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = a 3

2 (vì ∆SAB đều cạnh a) ĐS: VS.ABCD =

3

a 3 6

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với

đáy

một góc 60 0 Tính thể tích của khối chóp đó.

HD: * Hạ SH ⊥(ABC) và kẻ HM ⊥AB, HN⊥BC, HP ⊥AC

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là ϕ = SMH∧ = 600

* Ta có: Các ∆vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh

góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)

* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC

* Tính: VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC .SH

* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c) − − −

= p(p AB)(p BC)(p CA) − − − (công thức Hê-rông)

* Tính: p = 5 6 7

9 2

Suy ra: SABC = 6 6a2

* Tính SH: Trong ∆VSMH tại H, ta có: tan600 = SH

MH ⇒SH = MH tan600

S

H C

7a

6a 5a

N

P

C

B A

60 °