Sở gd-đt hng yên
NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn: Toán lớp 11
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (2điểm) Cho PT (m-1)x2-2mx+5+m=0 (1)
1) Xác định m để PT(1) có 2 nghiệm trái dấu.
2) Xác định m để PT(1) có 2 nghiệm lớn hơn 2
B
à i 2 (3điểm) a) Giải phương trình: a) x 2−3x 2 2x 2+ = −
b) Giải bất phương trỡnh: 2
5− >x 25 9− x
c) Giải hệ phương trỡnh: 2
2
x(x y 1) 3 0
5
x
+ + − =
+ − + =
2 2 2 4 4 0
x +y − x− y− = và đường thẳng (d) : mx+(m+1)y+ =1 0 ( m là tham số)
1)Xỏc định tõm I và tớnh bỏn kớnh của đường trũn (C).
2) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn (C) đi qua ( 3;5)
M − 3) Tỡm m để đường thẳng (d) cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho diện tớch tam giỏc IAB lớn nhất
Bài 4 (2điểm)
Cho x,y,z > 0 thoả mãn điều kiện x+y+z=1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=x x+1+ y y+1+z z+1
_ Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài thi khảo sỏt năm học: 2009-2010.
1
( 2,0đ)
Cõu a
(1,0 đ) PT(1) có 2 nghiệm trái dấu
1 0
( 5;1) 5
1
m a
m m
P
m
≠
≠
⇔ ⇔ + ⇔ ∈ −
< <
−
0.5 0.5
Cõu b
(1,0 đ)
Đặt t=x-2 Khi đó x=t+2 và PT(1) trở thành (m-1)t2+2(m-2)t+m+1=0 (2) PT(1) có 2 nghiệm >2 khi và chỉ khi Pt(2) có 2 nghiệm đều dơng
5
(1; ] 4
0
(1; 2)
( ; 1) (1; ) 0
1
m
m
m m
≠
≠
> − >
−
> +
> ∈ −∞ − +∞
−
0.25 0.25
0.5
2
( 3,0đ)
Cõu a
(1,0 đ)
− + = − + − + =
x 1
x 1
x 1 2
x 3
≥
=
⇔ ⇔ =
=
0,5 0,5
Cõu b
1,0đ
5
2
x
x
<
− >
− > − ⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤ ⇔
− > − < ≤
< > Tập nghiệm [ 5;0) (2; ]5
0,5 0,5
Cõu c
1đ
Hệ phương trỡnh tương đương :
2 2 2 2
2
x(x y 1) 3
x(x y) x 3 5
(x y) 1
x
+ + =
+ + = + + =
Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:
+ = + − = = = =
Vậy
3
2
x 2
C2)Từ PT thứ nhất có x+y+1=3/x⇔x+y=3/x-1thế vào PT (2) ta đợc PTB2đ/vối x
0,25
0.5
0.25
Trang 3(3,0đ)
Cõu a
1,0đ
Ta cú x2+y2+2x−8y− = ⇔ +8 0 (x 1)2+ −(y 4)2 =25 nờn đường trũn (C) cú tõm là I ( -1; 4), bỏn kớnh R= 5
0,5 0,5
Cõu b
1,0
Đường thẳng d’ đi qua P và cú vec tơ phỏp tuyến ( ; )n a br
cú pt là
2 2
by a b
− + + = + ≠
Đường thẳng d’ là tiếp tuyến của đường trũn (C) khi d( I; d’) = R
a b
b a a
a b
= ≠
= ⇔ = ≠
Từ đú ta cú phương trỡnh cỏc tiếp tuyến đi qua P là
x – 4 = 0 và 11x+60y+76 0=
0,25 0,25
0.25 0,25
Cõu c
1đ Đường thẳng d cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt khi d( I; d) < R = 5.
.sin
S = IA IB ∠AIB≤ R =
S lớn nhất khi và chỉ khi IA IB⊥ Khi đú AB IA= 2 5 2= nờn khoảng cỏch từ I đến
d là ( ; ) 2 25 5
S
AB
= = = < .
Ta lại cú ( ; ) 25 5 2
( 1)
m
d I d
− +
=
+ − nờn
2
2 2
2 2
( 1)
m
− +
= ⇔ − = − + ⇔ = + −
0.25 0.25 0.25
0.25
4
= + = −
= + ⇔ = −
= + = −
và a+b+c=x+y+z+3=4
Khi đó P=a 1 b 1 c 1 3 (1 1 1)
− + − + − = − + +
Lại có theo BĐT Côsi 3
3
4 3
a b c
a b c+ + ≥ abc ≥ + + =
P ≤ − =
4⇔ = = = ⇔ = = =a b c 3 x y z 3
0,25
0,25
0,25 0,25