Qua tang danh cho cac mooners mod bac

Ví dụ 1.1.3 Kỹ thuật kiểm tra điều kiện trong giải phương trình lượng giác  Điều kiện là cosx  *.. Tài liệu tặng các Mooners nhân dịp Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn Rõ ràng cos

Trang 1

QUÀ TẶNG DÀNH CHO CÁC MOONERS

(Tài liệu tặng các mooners nhân dịp Tết 2015)

Thực hiện Mod VŨ VĂN BẮC

1.1 Chặt chẽ tốn học và những sai lầm khĩ hiểu

1.1.1 Sai lầm trong bài toán giải phương trình lượng giác

cos

x

 Lời giải sai lầm

ĐK: cos 0

2



    (*)

Khi đĩ (1) sin 1 2 sin sin 1 2 sin 1 2 sin cos sin 1

cos cos

x

sin 1 2sin cos 1 0 sin 1

2sin cos 1

x

x x

  





2

x     x  k  k 

Đã thỏa mãn (*)

2 2

    là một nghiệm nghiệm của (1)

x x  x  x  k   x  k  k  Đã thỏa mãn (*)

4



   là một nghiệm nghiệm của (1)

x   k  x  k  k 

 Phân tích sai lầm

 Sai lầm thứ nhất là ở cái (*) kia và đây cũng là một sai lầm trong rất nhiều đề thi thử ĐH và thi HSG các cấp Lý do của sai lầm này đĩ chính là tính tuần hồn trong lượng giác Thật vậy

2

x   k 

là khơng thỏa mãn bài tốn Nhìn thống qua thì nghiệm này thỏa mãn (*)

nhưng thực chất chúng cĩ quan hệ với nhau mà rõ ràng hơn một chút thì nghiệm 2

2

x  k



   chứa

trong

2 k

 

Xét mối quan hệ sau

n





         





Tuy k và n khác nhau nhưng bản chất 2

2 k

2 n

  là như nhau do tính tuần hồn

Trang 2

Tài liệu tặng các Mooners nhân dịp Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Toán Moon.vn

Từ đó việc giải cái (*) kia là một sai lầm !

Một phân tích khác đó là khi  2 2

sinx   1 1 cos x 1 cosx Rõ ràng không thỏa mãn (*) 0

 Sai lầm thứ hai đó chính là cái từ một kia, ta chỉ ghi là nghiệm Lý do lại là tính tuần hoàn trong lượng

x   k    k  k 

 Lời giải chính xác

ĐK: cosx  (*) 0

Khi đó (1) sin 1 2 sin sin 1 2 sin 1 2 sin cos sin 1

cos cos

x

sin 1 2sin cos 1 0 sin 1

2sin cos 1

x

x x

  







sinx   1 1 cos x 1 cosx Không thỏa mãn (*)0 Loại

 2 sin cos 1 sin 2 1 2 2 ( )

4

k n n   x  n 



1

x  n  

4



   

 Cách sử lý thông minh hơn

2 sin cosx x 1 sin xcos x2 sin cosx x 0 sinxcosx  0 sinxcosx

2

x x  x  x  k   x  k  k 

4



   là nghiệm của (1)

Ak đến đây nhiều bạn nhẩm đoán trong đầu rằng 12 nên có cách làm sai lầm như sau 1

2

sin x 1 sinx  không thỏa mãn (*)1 Loại  bị mất điểm nhá !

Chú ý sin2x 1 sinx  nên vẫn còn trường hợp sin1 x   thỏa mãn 1

Trang 3

Ví dụ 1.1.3 (Kỹ thuật kiểm tra điều kiện trong giải phương trình lượng giác)

 Điều kiện là cosx  (*) Ta tìm được 0 sin 1

3

x  và muốn kiểm tra xem nĩ thỏa mãn khơng !

2 2

x     x  x   

 

 Điều kiện là cos 0

2 6

x 

 

  

  (*) Ta tìm được x  k  và muốn kiểm tra xem nĩ thỏa mãn khơng ! Một cách kiểm tra sai lầm như sau

1

               

Chú ý cos 2 cos

 

  

  chứ chưa chắc cos 3 2 cos3.

k

 

  

Mình dùng hai từ chưa chắc là cĩ lý do bởi lẽ khi 4 ( ) cos cos 2 cos

k



        

 Cách làm thơng thường như sau

k



Cách làm tương tự đối với các trường hợp cịn lại k4n1; k4n2; k4n3 (n  )

Cách kiểm tra trên là cổ điển và ta cĩ thể thấy tương đối dài, cách làm sau sẽ tốt hơn rất nhiều !

2

                

Cách làm này đặc biệt lợi hại khi tìm được nhiều họ nghiệm Nĩ giúp giảm bớt rất nhiều trường hợp

Cách làm này cũng cĩ một hạn chế đĩ là nhiều bạn bắt trước làm như sau, mình lấy ví dụ chẳng hạn

2

sinx 1 2 sin x  2 1 cos 2x 2 cos 2x  1

Và khi kiểm tra thì kiểm tra cái cos 2x   Đây là một 1 sai lầm Lý do là dấu suy ra

1.1.2 Sai lầm trong bài toán tính tích phân

Ví dụ 1.1.4 Tính tích phân

2

6

dx I







2

tan

1 tan

x





Lý do sai lầm ở đây chính là việc đặt cos x2 ra ngồi ở dưới mẫu mà khơng chú ý đến cận

2

x

Trang 4

Tài liệu tặng các Mooners nhân dịp Tết 2015 By Vũ Văn Bắc Mod Tốn Moon.vn

Rõ ràng cos2 0

2



 Và đến ngay bước cuối cùng khi đặt tan x t một câu hỏi đắng lịng được đặt ra

khi

2

x 

 thì tanx ??? Nhiều bạn cảm thấy hoang mang phải chăng đề bài sai Câu trả lời là khơng,

đề bài khơng sai, đề bài chuẩn men Cách làm sau đây khắc phục được lỗi lầm ở trên !

2

cot 1

sin 1

sin sin

dx I

x





Đặt cotx Khi t 3; 0

Cĩ

2

3



           



ln

2 3 1





Rất chú ý cái giá trị tuyệt đối kia !

Ví dụ 1.1.5 Tính tích phân

2

0

dx I







Đối với bài tốn này thì việc đặt 2

sin x hay cos x ra ngồi ở dưới mẫu là điều khơng thể bởi 2

2

sin 0 và 0 2

cos 0

2



 Phải làm sao bây giờ :( :( :(

Ta nghĩ đến việc tách cận

6 2

0 6

I



1.1.3 Sai lầm trong việc khảo sát hàm số

2

x

    

    

  (*) Khi đĩ (1) x 1 x   (2) 2 3 0

Xét hàm số f x  x 1 x 2 3 với x 2; cĩ 

f x

      f x  đồng biến trên 2; 

Trang 5

Do đó trên 2; phương trình  f x   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất

Mặt khác  

 

3 2;

3

f

  

 là nghiệm duy nhất của phương trình f x    0

3

x

  là nghiệm duy nhất của (2) Kiểm tra lại x  đã thỏa mãn (*) 3

Đ/s: x 3

 Sai lầm thứ nhất đó chính là khẳng định '  1 1 0,  

f x

Cách viết đúng là '  1 1 0,  

f x

 Sai lầm thứ hai mà nói một cách chính xác hơn là thiếu xót đó chính là khi

 

f x  đã vội vàng khẳng định f x  đồng biến trên 2;  Cần có một câu nói rất vô duyên (xem ở lời giải chính xác)

2

x

    

    

  (*) Khi đó (1) x 1 x   (2) 2 3 0

Xét hàm số f x  x 1 x 2 3 với x 2; có 

f x

Kết hợp với f x  liên tục trên 2;  f x  đồng biến trên 2; 

Do đó trên 2; phương trình  f x   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất

Mặt khác  

 

3 2;

3

f

  

 là nghiệm duy nhất của phương trình f x   0

3

x

  là nghiệm duy nhất của (2) Kiểm tra lại x  đã thỏa mãn (*) 3

Đ/s: x 3

 Nhận xét

Tương tự đối với việc xét hàm số f x  trên a b;  , a b;  , a b;  , a b;  , ;b với a và b là các hằng số

Khi xét hàm số f x  trên  thì cứ  mà viết thôi, không cần câu f x  liên tục trên 

 Chú ý

Khi ta đánh giá được f ' x  trên một khoảng 0 a b nào đó với a và b là các hằng số thì trước khi khẳng ;  định f x đồng biến thì cần nói thêm dấu "   xảy ra tại " hữu hạn điểm

Tương tự đối với trường hợp f' x 0

Trang 6

số đặc trưng   3 2

3

f t  t t với t 3; là một sai lầm, ta phải xét trên  miền rộng hơn t 2;

1.1.4 Sai lầm trong việc liên hợp giải toán

1

 

  Đây là sai lầm bởi lẽ phép biến đổi trên chỉ tương đương khi x 1 y0 Ở đây với điều kiện bài tốn

ta chỉ cĩ được x 1 y0 Nếu muốn dùng dấu tương đương thì phải xét trường hợp

0 0

y y

     



1

 

  Một cách làm khác cũng rất tốt đĩ là ta dùng dấu suy ra

1

 





 Nếu sử dụng cách làm này thì khi tìm được kết quả phải thử lại

1.1.5 Sai lầm trong giải phương trình có giá trị tuyệt đối

  



  



Đây là một lầm rất dễ gặp bởi lẽ 0

0

   



   



Cách làm đúng như sau

1

2

x

 



  

1.2 Một số bài viết rời rạc của Mod

1.2.1 Kỹ thuật Côsi ngược dấu

Kỹ thuật Cơsi ngược dấu là một kỹ thuật chứng minh BĐT mới mẻ, khéo léo, độc đáo và đầy ấn tượng Mục đích của Mod khi viết kỹ thuật này là cung cấp cho mọi người một kỹ thuật chứng minh BĐT, ngồi ra đây cũng là một ý tưởng hay để sáng tác ra những bài tốn tìm GTLN – GTNN, trong đĩ kỹ thuật Cơsi ngược dấu mang tính tích dồn biến để ta xét hàm

Chúng ta cùng làm quen với kỹ thuật này qua một số ví dụ dưới đây

Trang 7

Ví dụ 1 (Tạp chí Toán tuổi thơ THCS) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b c 3

Chứng minh rằng 2 2 2 3

Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy ta có

(1 )

 

Tương tự ta cũng có 2 ; 2

a b c

 

Mặt khác

2

3

a b c

a b c   ab bc ca  ab bc ca     

BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi abc1

Nhận xét Với cách làm trên ta xây dựng được bất đẳng thức tương tự với 4 biến số

Trong đó a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b c d 4

Ví dụ 2 (Dự bị ĐH Khối B năm 2010) Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN của biểu thức

P

x y z

x yz  x yz    

xy

y zx     z xy    

Do đó 2P 3 x y z P 1

x y z

 

  Vậy minP  đạt được khi 1 x yz.

Chứng minh rằng 2 1 2 1 2 1 3

2

a abcb abcc abc 

Lời giải Áp dụng BĐT Cauchuy cho 3 số dương ta có a b c  33abcabc1

Khi đó

 

Tương tự ta cũng có 2 1 1 ; 2 1 1

b abc  c abc 

Cộng vế ba BĐT trên ta có BĐT cần chứng minh, dấu bằng xảy ra khi abc1

Trang 8

Tìm GTNN của 31 31 31

2 1 2 1 2 1

P

 

Tương tự ta cũng có 13 1 2 ; 31 1 2

y    z   

3

P  xyz    Vậy minP  đạt được khi 1 x yz1

Nhận xét Với cách làm trên ta hoàn toàn có thể giải được bài toán sau

Cho n  * và a, b, c là các số dương thỏa mãn 3 3 3

3

x  y  z  Chứng minh

1

2x n12y n12z n1

) (

)

2

2 2 2

c b b

c b

a a

b a

c c

a P



2

c c a cc a  c cac a

Tương tự ta cũng có

a a b  a b b b c b c

ab bc ca P

 

      

Vì ab bc ca 3abc nên 3

2

P  Vậy min 3

2

P  đạt được khi abc1

Nhận xét

Với các làm trên ta có thể thay đổi giả thiết thành ab bc ca3abc hoặc a nb nc n 3 với n   *

Ví dụ 6 Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c là các số thực dương

2

 

a b  a b   ab 

Tương tự ta cũng có

b c   c a  

Cộng vế ba BĐT trên ta có BĐT cần chứng minh, dấu bằng xảy ra khi abc

Trang 9

BÀI TẬP

P

(Đề tự luyện số 3 năm 2012 của điễn đàn Học mãi)

2 Cho a, b, c là các số dương nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng

a b c

 

3

x   y   z  

1.2.2 Những bất ngờ từ một đẳng thức đơn giản

Với a, b, c là các số thực thì ta cĩ (a b a )( c)a2ab bc ca  a a b c(   )bc

Từ đẳng thức này ta cĩ các kết quả (KQ) sau

Kết quả 1 Nếu a    thì b c 1 (ab a)( c)abc

Kết quả 2 Nếu ab bc ca  thì 1 (a b a c )(  )a21

Sử dụng hai KQ nêu trên ta sẽ giải được nhiều bài tốn hay và khĩ

(a bc b ca c )(  )( ab)0

Lời giải Sử dụng KQ1 ta được

abc a b a c b ca  b c b a cab ca c b

Do đĩ (a bc b ca c ab )(  )(  )(a b ) (2 b c ) (2 c a )2 0

BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi trong ba số a, b, c cĩ một số bằng 1 hai số cịn lại đối nhau

Bài tốn 2 (Chuyên Quốc học Huế lần 2 năm 2013) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

1

xyyzzx Tìm GTNN của P(xy) z2 1 (yz) x2 1 (zx) y21

Lời giải Sử dụng KQ2 ta được

1 ( )( ), 1 ( )( ), 1 ( )( )

x   xy xz y   yz yx z   z x zy

Khi đĩ dễ dàng cĩ được P xyyz z x  x y y z zx

Ta cĩ (xy y)( z z)( x)(x y z xy)( yzzx)xyz   x y z xyz

3 3

xy yz zx x y z xyz

3 3 3 3

x  y z xyyzzx     x y z xyz  

3 3

x y y z z x

Trang 10

Áp dụng BĐT Cauchuy cho 3 số dương ta có

3

x y y z z x xy yz zx

2

3 3

P  

     Vậy minP  đạt được khi 4

1 3

xy z

Tìm GTLN của

P

Lời giải Ta có (a b c  )23(ab bc ca  )3(ab bc ca  ) 1 ab bc ca  1

P

Khi đó áp dụng BĐT Cauchuy ta có

P

Vậy max 3

2

P  đạt được khi 1

3

ab c

ĐH lần 2 năm 2011 của trường THPT Minh Châu – Hưng Yên

1

x y z

Chứng minh rằng xyz yzx zxy xyz  x y z

Lời giải Đặt 1 a, 1 b, 1 c

x y z  suy ra , ,a b c  và 0 a  b c 1

BĐT cần chứng minh trở thành A 1 ab bc ca trong đó A a bc  b ca  c ab

Sử dụng KQ1 và BĐT Bunhiacopski ta có

Do đó Aa b c   ab bc ca

Kết hợp với a   ta có BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi b c 1 x yz3

Nhận xét Trên Tạp chí Toán tuổi thơ THCS số 85 có một bài toán tương tự bài toán trên

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a2b2c21. Chứng minh rằng

a2b c2 2  b2c a2 2 c2a2  1 ab bc ca

Trang 11

Bài tốn 5 (Chuyên SP lần 7 năm 2012) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b c 1

Lời giải Sử dụng KQ1 và BĐT Cauchuy ta cĩ

( )( ) 2

a b b c c a

P

a b b c c a

3 2

P  đạt được khi 1

3

abc

Nhận xét Bài tốn này cĩ ý tưởng rất giống với bài tốn 3

4

caba bc b ca 

Lời giải Sử dụng KQ1 và BĐT Svacso ta cĩ

( )( ) ( )( ) ( )( )

caba bc b ca  ca c b  a b a c   b c b a 

     

2

1

3

a b c

 



BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

3

abc

Nhận xét Trên Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS số 86 cĩ một bài tốn tương tự bài tốn trên

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b c 2. Tìm GTNN của

P

Như vậy, chỉ với hai KQ đơn giản nêu trên ta đã giải được những bài tốn hay và khĩ Kết thúc bài viết tơi xin được nêu một số bài tập để bạn đọc rèn luyện

BÀI TẬP

x y z

 

      

Trang 12

4

1 x 1 y 1 z

(Đề thi thử ĐH lần 2 năm 2011 trường THPT Chuyên ĐH QGHN)

(1 ) (1 ) (1 )

P

(Dự tuyển OLP 30 tháng 4 năm 2010)

P

( Đề thi thử ĐH lần 5 năm 2013 trường THPT Chuyên Thái Bình) 1.2.3 Một số kết quả đặc biệt của Tích phân

Tích phân cĩ khá nhiều kết quả đặc biệt – kết quả đẹp, trong bài viết này Mod chỉ giới thiệu và phân tích những tích phân thường gặp nhất Đối với năm nay Mod thấy nghi ngờ lắm :))

 Kết quả 1   0

a

f x dx





 trong đĩ f x là hàm lẻ  

Ví dụ 1 Tính tích phân

2 9 11

2

1 cos

x















2

1 2 cos

x











1

1 3cos

dx x







 Kết quả 2    

0

1

x a

f x

k







Ví dụ 2 Tính tích phân

2

sin

1 3x

x













(Chỗ này viết được là do tích phân khơng phụ thuộc vào biến)

Trang 13

 

2

1 3 3

x x

x



2

2I x sinx dx 2 x sinx dx 2 x sinxdx





Đến đây dùng tích phân từng phần và tính được I

Bài áp dụng

Tính tích phân

2

sin sin 2 cos 5

1 x

e











 Kết quả 3    

2





0

sin

4 cos

dx x







Hướng dẫn Đặt x  t với chú ý  chính là tổng hai cận

0



(Chỗ này viết được là do tích phân không phụ thuộc vào biến)

Ngoài ra còn có một số kết quả nữa để mọi người tham khảo

 Kết quả 4     2  

0

2

T

T a





 Kết quả 5    

f x dxn f x dx

Bài áp dụng

Tính tích phân 2014  

2 0

ln sin 1 sin



Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	694,07 KB