Cong thuc va cac dang bai tap chuong co hoc vat ran

Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định thì mỗi điểm trên vật không nằm trên trục quay sẽ vạch ra một đường tròn nằm trong mặt phẵng vuông góc với trục quay, có bán kính bằng khoảng

Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập chương cơ học vật rắn

(bản nháp)

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định

Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định thì mỗi điểm trên vật (không nằm trên trục quay) sẽ vạch ra một đường tròn nằm trong mặt phẵng vuông góc với trục quay, có bán kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến trục quay, có tâm trên trục quay Mọi điểm của vật (không nằm trên trục quay) đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian

1 Toạ độ góc

Là tọa độ xác định vị trí của một vật rắn quay quanh một trục cố định bởi góc  (rad) hợp giữa mặt phẳng động gắn với vật (chứa trục quay và một điểm trên vật không nằm trên trục quay) và mặt phẳng cố định chọn làm mốc có chứa trục quay

2 Tốc độ góc

Tốc độ góc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động quay của vật rắn

Ở thời điểm t, toạ độ góc của vật là φ Ở thời điểm t + Δt, toạ độ góc của vật là φ + Δφ Như vậy, trong khoảng thời gian Δt, góc quay của vật là Δφ

Tốc độ góc trung bình ω tb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :

t

tb 





Tốc độ góc tức thời ω ở thời điểm t (gọi tắt là tốc độ góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số

t





khi

cho Δt dần tới 0 Như vậy :

t

t 













0 lim hay '(t)

Đơn vị của tốc độ góc là rad/s

3 Gia tốc góc

Tại thời điểm t, vật có tốc độ góc là ω Tại thời điểm t + Δt, vật có tốc độ góc là ω + Δω Như vậy, trong

khoảng thời gian Δt, tốc độ góc của vật biến thiên một lượng là Δω

Gia tốc góc trung bình γ tb của vật rắn trong khoảng thời gian Δt là :

t tb







Gia tốc góc tức thời γ ở thời điểm t (gọi tắt là gia tốc góc) được xác định bằng giới hạn của tỉ số

t





khi

cho Δt dần tới 0 Như vậy :

t

t 













0 lim hay

2

2 '( ) ''( )

dt dt

    

Đơn vị của gia tốc góc là rad/s 2

4 Các phương trình động học của chuyển động quay

a) Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = hằng số, γ = 0) thì chuyển động

quay của vật rắn là chuyển động quay đều

Chọn gốc thời gian t = 0 lúc mặt phẳng P lệch với mặt phẳng P 0 một góc φ 0 ta có :

b) Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = hằng số) thì chuyển động quay của

vật rắn là chuyển động quay biến đổi đều

Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định :

2

0 0

2

1

t





2 02 2(0)

trong đó φ 0 là toạ độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0

ω0 là tốc độ góc tại thời điểm ban đầu t = 0

φ là toạ độ góc tại thời điểm t

ω là tốc độ góc tại thời điểm t

γ là gia tốc góc (γ = hằng số)

Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc tăng dần theo thời gian thì chuyển động

quay là nhanh dần.(  > 0)

Nếu vật rắn chỉ quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc giảm dần theo thời gian thì chuyển động

quay là chậm dần ( < 0)

5 Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay

Tốc độ dài v của một điểm trên vật rắn liên hệ với tốc độ góc ω của vật rắn và bán kính quỹ đạo r của

điểm đó theo công thức :

Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn đều Khi đó vectơ vận tốc v

của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc hướng tâm an

với độ lớn xác định bởi công thức :

r

v

2







Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật chuyển động tròn không đều Khi đó vectơ vận tốc v

của mỗi điểm thay đổi cả về hướng và độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc a (hình 2) gồm hai thành phần :

+ Thành phần an

vuông góc với v

, đặc trưng cho sự thay đổi về hướng của v, thành phần này chính là

gia tốc hướng tâm, có độ lớn xác định bởi công thức :

r

v

2







+ Thành phần at

có phương của v

, đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của v, thành phần này được gọi

là gia tốc tiếp tuyến, có độ lớn xác định bởi công thức :

t

v





Vectơ gia tốc a

của điểm chuyển động tròn không đều trên vật là :





Về độ lớn : a a n2 a t2

Vectơ gia tốc a

của một điểm trên vật rắn hợp với bán kính OM của nó một

góc α, với :

2

tan





  

n

t a a

II Phương trình động lực học của vật rắn quay

* Momen lực: Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay vật của lực, có độ lớn M = Fd; trong đó F là độ

lớn của lực tác dụng lên vật; d là khoảng cách từ giá của lực đến trục quay (gọi là cánh tay đòn của lực)

* Momen quán tính của chất điểm đối với một trục quay: Là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của

chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục đó I = mr2; đơn vị kgm2

* Momen quán tính của vật rắn đối với một trục quay: Là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật

rắn đối với trục quay đó

Momen quán tính là đại lượng vô hướng, có tính cộng được, phụ thuộc vào hình dạng, kích thước, sự

v

t

a

n

a

a

r

O

M



Hình 2

phân bố khối lượng của vật và tùy thuộc vào trục quay I = 2

i i i

m r



* Các công thức xác định momen quán tính của các khối hình học đồng chất đối với trục đối xứng:

- Thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ so với chiều dài: I = 1

2

- Vành tròn hoặc trụ rổng, bán kính R: I = mR2

- Đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc, bán kính R: I = 1

2

- Hình cầu rổng, bán kính R: I = 2

3mR

2

- Khối cầu đặc, bán kính R: I = 2

2

- Thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ so với chiều dài và trục quay đi qua một đầu của thanh: I = 1

2

* Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định:

) ( )

dt

dL dt

dI dt

d I I

I

Trong đó: + M = Fd (Nm)là mômen lực đối với trục quay (d là tay đòn của lực)

+ 2

i i i

I m r (kgm2)là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay

III Mômen động lượng - Định luật bảo toàn momen động lượng

* Mômen động lượng của vật rắn quay: L = I

Với chất điểm: I = mr2

 L = mr2 = mrv (r là khoảng cách từ v đến trục quay) Đơn vị của momen động lượng là kg.m2/s

* Định luật bảo toàn momen động lượng:

Nếu M = 0 thì L = const hay I11 + I12 + … = I1’1 + I2’2 + …

Nếu I = const thì  = 0: vật rắn không quay hoặc quay đều quanh trục

Nếu I thay đổi thì I11 = I22 Khi động lượng của vật rắn quay đang được bảo toàn (M = 0) nếu giảm

momen quán tính của vật thì tốc độ quay của vật rắn sẽ tăng

IV Động năng của vật rắn quay - Định lí biến thiên động năng

1.Động năng của vật rắn trong chuyển động quay

a Động năng của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định

Xét chất điểm có khối lượng m, quay xung quanh trục cố định với bán kính quay r Khi chất điểm chuyển động quay, nó có vận tốc dài là v, nên động năng của vật rắn là:

2 2

2 2

2

2

1 )

( 2

1 ) ( 2

1 2

Trường hợp tổng quát, vật rắn được tạo thành từ các chất điểm có khối lượng m1, m2, m3… Thì động năng của vật rắn quay xung quanh trục cố định đó là:

2 2

1 2 1

2 1

2

2

1 )

( 2

1 ) ( 2

1 2

W

n

i i i n

i

i i n

i

i i





















(J)

Kết luận: Động năng của vật rắn khi quay quanh trục cố định là: Wđ

I

L I

2 2

2

1 2

  (J)

b Động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng

- Khái niệm chuyển động tịnh tiến: Là chuyển động của vật rắn mà mọi điểm trên vật đều vạch ra

những quỹ đạo giống hệt nhau, có thể chồng khít lên nhau Nói cách khác nếu ta kẻ một đoạn thẳng nối liền hai điểm bất kỳ trên vật thì tại mọi vị trí của vật trong quá trình chuyển động tịnh tiến, đoạn thẳng này luôn luôn song song với đoạn thẳng được vẽ khi vật ở vị trí ban đầu

- Khỏi niệm chuyển động song phẳng: Là chuyển động của vật rắn, khi đú mỗi điểm trờn vật rắn chỉ

chuyển động trờn duy nhất một mặt phẳng nhất định

Với chuyển động song phẳng cú thể phõn tớch thành hai dạng chuyển động đơn giản: Đú là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay xung quanh một trục cố định Vỡ vậy động năng của vật rắn trong chuyển động song phẳng sẽ bao gồm động năng tịnh tiến và động năng của vật rắn khi quay xung quanh một trục cố định:

2 2

q d tt

d

2

1 2

1 W

W

Trong đú vc là vận tốc tịnh tiến tại khối tõm của vật rắn

Chỳ ý: Khi vật rắn lăn khụng trựơt trờn một mặt phẳng, thỡ vận tốc tịnh tiến của khối tõm của vật là:



r

v c 

2 Định lớ biến thiờn động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định

Độ biến thiờn động năng của một vật bằng tổng cụng của cỏc ngoại lực tỏc dụng vào vật Khi vật quay quanh 1 trục cố định thỡ Wđ = Wđ2 - Wđ1 = 1

2I2

2 - 1

2I2

1 = A

3: Công thức xác định khối tâm của hệ

Trong hệ toạ độ đề các Oxyz

n n G

n

n n G

n

n n G

n

x

y

z







Trong mặt phẳng- Hệ toạ độ Oxy

n n G

n

n n G

n

m x m x m x x

y





V Sự tương tự giữa cỏc đại lượng gúc và đại lượng dài trong chuyển động quay và chuyển động thẳng

Chuyển động quay

(trục quay cố định, chiều quay khụng đổi) (chiều chuyển động khụng đổi) Chuyển động thẳng

Toạ độ gúc 

Tốc độ gúc 

Gia tốc gúc 

Mụmen lực M

Mụmen quỏn tớnh I

Mụmen động lượng L = I

đ

1 W

2I



Tốc độ v Gia tốc a Lực F Khối lượng m Động lượng P = mv

đ

1 W



(m)

)

Chuyển động quay đều:

 = const;  = 0;  = 0 + t

Chuyển động quay biến đổi đều:

 = const

 = 0 + t

2 0

1 2

     

     

Chuyển động thẳng đều:

v = cúnt; a = 0; x = x0 + at Chuyển động thẳng biến đổi đều:

a = const

v = v0 + at

x = x0 + v0t +1 2

2at

v2v02 2 (a xx0)

Phương trỡnh động lực học

M

I

 

Phương trỡnh động lực học

a F

m



Dạng khác M dL

dt



Định luật bảo toàn mômen động lượng

I11I22 hay L i const

Định lý về động

Wđ 1 12 1 22

Dạng khác F dp

dt



Định luật bảo toàn động lượng p i m v i i const

Định lý về động năng

Wđ 1 12 1 22

lực) Công thức liên hệ giữa đại lượng góc và đại lượng dài

s = r; v =r; at = r; an = 2

r

Lưu ý: Cũng như v, a, F, P các đại lượng ; ; M; L cũng là các đại lượng véctơ

B PHÂN LOẠI BÀI TẬP DẠNG 1: VẬT RẮN QUAY ĐỀU QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

Tốc độ góc: const Gia tốc góc:  0 Tọa độ góc:    0 t

Góc quay:   .t

Công thức liên hệ: vr 2 f 2

T



  

2 2

n

v

DẠNG 2: VẬT RẮN QUAY BIẾN ĐỔI ĐỀU QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

I.TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG CƠ BẢN

+ Tốc độ góc trung bình: tb =

t





 Tốc độ góc tức thời: tt =

d dt



= ’(t)

+ Gia tốc góc trung bình: tb =

t





 Gia tốc góc tức thời: tt = d

dt



= ’(t)

+ Các phương trình đông học của chuyển động quay:

Chuyển động quay đều: ( = const):  = 0 + t

Chuyển động quay biến đổi đều ( = const):

2

2





2





Tọa độ góc: 2

1 2

     t t Tốc độ góc:    0 t

Lưu ý: Khi chọn chiều dương cùng chiều quay thì  > 0, khi đó: nếu  > 0 thì vật quay nhanh dần; nếu  < 0 thì vật quay chậm dần

+ Gia tốc của chuyển động quay:

Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm): a n



 v



; an =

2

v

r = 2

r

Gia tốc tiếp tuyến: a t

 cùng phương với v



dt

d r dt

dv

a tt     = v’(t) = r’(t) Gia tốc toàn phần: a

 = a n

 + a t



; a a t2a n2 r 42 Góc  hợp giữa a



và a n

 : tan = t 2

n

a a







Lưu ý: Vật rắn quay đều thì at = 0  a

 = a n



II.Xác định vận tốc, gia tốc của một điểm trên vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định

Phương pháp giải

 Sử dụng các công thức:

+ Tốc độ dài: v = r,

+ Gia tốc của chất điểm trong chuyển động quay: a an at



Độưlớn: a = 2 2

t

n a

a  ; trong đó:

r

v r

a n

2

2 

t

v

a t







 Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:

- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các điểm trên vật rắn:

+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay

+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay trên vật có cùng góc quay, vận tốc góc và gia tốc góc

- Đối với vật rắn quay đều thì: a t = 0 nên a = a n

DẠNG 3: MOMEN QUÁN TÍNH – MOMEN LỰC

Momen quán tính của chất điểm và của vật rắn quay: I = mr2

và I = i i2

i

m r

 Momen lực: M = Fd

+ Kiểm tra xem hệ gồm mấy vật: I = I 1 + I 2 + ….+ I n

+Nếu vật có hình dạng đặc biêt, áp dụng công thức sgk, nếu trục quay không đi qua tâm: I () = I G +

md 2

+ Momen quán tính I của một số vật rắn đồng chất khối lượng m có trục quay là trục đối xứng:

- Thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ so với chiều dài: I = 1

2

- Vành tròn hoặc trụ rổng, bán kính R: I = mR2

- Đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc, bán kính R: I = 1

2

- Hình cầu rổng, bán kính R: I = 2

2

- Khối cầu đặc, bán kính R: I = 2

2

+ Thanh đồng chất, khối lượng m, chiều dài l với trục quay đi qua đầu mút của thanh: I = 1

2

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định

) ( )

dt

dL dt

dI dt

d I I

I

Trong đó: + M = Fd (Nm)là mômen lực đối với trục quay (d là tay đòn của lực)

+ 2

i i i

I m r (kgm2)là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay

I.Xác định gia tốc góc và các đại lượng động học khi biết các lực (hoặc mô men lực) tác dụng lên vật, mô men quán tính và ngược lại

 Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực đó đối với trục quay

 Áp dụng phương trình động lực học của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định:

M = I γ

 Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên quan), từ đó xác định

được các đại lượng động học, học động lực học

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chú ý xem vật có chịu tác dụng của momen cản hay không, có thể nhận thấy momen cản thông qua dữ liệu, khi ngừng lực tác dụng thì vật quay chậm dần đều Nếu có momen cản thì phương trình động lực học trở thành: M-Mc= I γ

II: Xác định gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển động của hệ vật có cả chuyển động tịnh tiến

và chuyển động quay

Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động quay và một số vật chuyển động tịnh tiến Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:

 Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật

 Viết các phương trình động lực học cho các vật:

+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ

+ Đối với các vật chuyển động thẳng: Fm a

 Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng

 Áp dụng các phương trình được suy ra từ điều kiện của bài toán:

+ Dây không dãn: a 1 = a 2 =….= rγ

+ Dây không có khối lượng thì: T 1 = T 2 (ứng với đoạn dây giữa hai vật sát nhau)

Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán

b Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay:

Quãng đường và toạ độ góc: x = R

Tốc độ dài và tốc độ góc: vR

Gia tốc dài và gia tốc góc: aR

Trong đó R là bán kinh góc quay

III Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định khi mô

men lực tác dụng lên vật thay đổi

Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một vị trí đặc biệt nào đó

Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay đổi Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:

 Xác định mô men lực tác dụng lên vật

 Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay

 Dùng toán học tìm kết quả

DẠNG 5: MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG

I Tìm momen động lượng, độ biến thiên momen động lượng của một vật hoặc hoặc hệ vật

Phương pháp giải

 Nếu biết mô men quán tính và các đại lượng động học thì ta áp dụng công thức: L = I 11 + I 22

+… + I nn Do đó bài toán đi tìm mô men động lượng trở thành bài toán xác định mô men quán tính và tốc độ góc của các vật

 Nếu biết mô men lực và thời gian tác dụng của mô men lực thì:: M =

t

L





I Bài tập áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng

Phương pháp giải

 Kiểm tra điều kiện bài toán để áp dụng định luật bảo toán mô men động lượng

 Tính mô men động lượng của hệ ngay trước và ngay sau khi tương tác Trường hợp có sự tương

tác giữa chất điểm với vật rắn thì mô men động lượng của chất điểm đối với trục quay được viết theo công thức: L = mv.r = mr 2

 Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: L hệ = hằng số

 Từ phương trình định luật bảo toàn , ta dùng toán học để tìm kết quả

DẠNG 6: ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG

I: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định

Viết công thức tính động năng của vật hoặc hệ vật: W đ =

2

1

I2

Nếu đề bài cho mô men quán tính và tốc độ góc thì ta áp dụng công thức

Nếu đề bài chưa cho I và  thì ta tìm mô men quán tính và tốc độ góc theo các đại lượng động học, động lực học hoặc áp dụng các định luật bảo toàn

II: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động lăn

Áp dụng công thức : W =

2

1

mv G 2 +

2

1

I2

và xác định các đại lượng trong công thức để tìm động năng.

III: Bài tập áp dụng định lí động năng trong chuyển động quay

Áp dụng công thức: A = W đ để đi tìm lực hoặc các đại lượng liên quan

 Bài tập loại này chủ yếu áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật rắn có trục quay cố

định nằm ngang trong trường hợp bỏ qua ma sát Do đó khi giải ta áp dụng công thức:

 W = W t + W đ = mgh G + 2

2

1I = hằng số

 Trong đó: h G = l(1-cos) độ cao khối tâm của vật rắn so với mốc ta chọn thế năng bằng

0, l là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay,  là góc giữa đường thẳng nối khối tâm và trục quay so với phương thẳng đứng

 Bài toán này cần chú ý: Vị trí của vật rắn coi là vị trí khối tâm, khi tính I phải quan sát xem trục quay của vật rắn có đi qua trọng tâm không nếu không đi qua trọng tâm thì phải

dùng định lý Huyghen Stener để tính I

Bài toán truyền động có các dạng: truyền động giữa các bánh răng gắn trực tiếp với nhau, giữa các bánh răng thông qua dây xích, hoặc giữa bánh đà thông qua dây cu roa Với bài toán này, vận tốc dài tại các điểm tiếp xúc luôn bằng nhau

Với bài toán đã biết bán kính bánh răng: ω1R1 =ω2R2=……… = ωnRn

Vì số bánh răng tỉ lệ với chu vi (hay với R) nên khi biết số bánh răng trên chu vi ta cũng có:

ω1N1 =ω2N2=……… = ωnNn

Cách giải: Coi líp có vận tốc v1, ω1,N1 đĩa có v2, ω2 N2 Líp nối bánh xe , đĩa nối bàn đạp Áp dụng các công thức tương ứng để tìm ra đáp số

C LƯU Ý: Đây là bản nháp các bạn nhé, chỉ mang tính chất tham khảo thôi Tất cả đều là

do mình sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau và một số kinh nghiệm cá nhân đúc kết lại, nên có thể có những chỗ chưa hợp lý, rất mong các bạn đóng góp ý kiến để bộ “Lý thuyết

và các dạng bài tập chương cơ học vật rắn” này được hoàn thiện Mình cũng đang xin ý kiến đóng góp từ các thầy cô giáo có kinh nghiệm, ngay khi có phản hồi từ thầy cô mình sẽ ra bản chính thức và các bạn hoàn toàn có thể tin tưởng sử dụng.