BÁO CÁO THAM LUẬN VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC CẤP.. Hai Riêng, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Người viết Tổ toán trường THPT N
Trang 1BÁO CÁO THAM LUẬN VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC CẤP
Hai Riêng, ngày 20 tháng 11 năm 2013
Người viết Tổ toán trường THPT Nguyễn Du, Sông Hinh, Phú Yên
Phương trình, hệ phương trình là một bài toán bắt buộc trong các đề thi ( Đại học, học sinh giỏi toán, ) Hiện nay có rất nhiều phương pháp để giải bài toán này, vấn đề đặt ra cần xây dựng một con đường( suy luận) ngắn nhất, cách giải cơ bản chung nhất để tìm ra lời giải cho bài toán Theo quan điểm cá nhân, chúng tôi xin trình hai bước suy luận cơ bản như sau:
I Bước 1:
- Phương trình: Biến đổi ( thêm bớt, nhân phương trình với lượng hợp lý ) và ẩn phụ ( tạo ra phương trình hoặc hệ phương trình mới )
- Hệ phương trình: Biến đổi về dạng cơ bản ( đối xứng, đồng bậc) hoặc ẩn phụ
Ví dụ về phương trình.
* Đặt 2 ẩn phụ và chuyển về hệ phương trình 2 biến u, v:
VD 1.
Giải phương trình: 3
2 3x− + 2 3 6 5 − x− = 8 0(ĐH 2009 A) Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u= 3 3x− 2,v= 6 5 − x
VD 2.
9x 3− = 4x +5x 1 2 x+ − − +x 1 HSG Trà
Vinh 2013)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u= 4x2 +5x 1;v+ = x2 − +x 1
VD 3.
Giải phương trình: 3 2
5 1 x+ =2(x +2) (HSG Phú Yên 2003) Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u= x+ 1,v= x2 + +x 1
VD 4.
= − + − (HSG Phú Yên 2002)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 2 biến u x 1;v 1 1
Trang 2* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về phương trình 1 biến u:
VD 5.
Giải phương trình:
16 3 5 2
2 3 1 3
2x+ + x+ = x+ x2 + x+ − Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u= 2x+ + 3 x+ 1
VD 6.
Giải phương trình: 3 2
4x − 1 −x − 3x= 0 Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến sin u x= hoặc u= 1 −x2
VD 7.
VD 8.
Giải phương trình: 2
x 1+ + x −4x 1 3 x+ ≥ (ĐH 2012B) Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u x 1
x
= + ( chia 2 vế bất phương trình cho x)
và chuyển bất phương trình về biến u
* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về hệ phương trình 2 biến u, x:
VD 9.
Giải phương trình: x2 5− = x+5( Đề 125, Bộ đề tuyển sinh đại học
1997)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u= x+ 5 và chuyển về hệ phương trình biến u, x
VD 10.
Giải phương trình: x3 + = 1 2 2 3 x− 1
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u= 3 2x+ 1 và chuyển về hệ phương trình biến u, x
Một số tình huống cần thu gọn phương trình trước khi đặt ẩn phụ:
VD 11. x3−15x2+78x−141 5 2= 3 x−9
Cách giải: Đặt y = x – a, a là nghiệm của y”,với y x= 3−15x2+78x−141
VD 12.
4
3 2 2 2 381 8
3
x − x + x− = x−
* Đặt 1 ẩn phụ và chuyển về phương trình ẩn u, tham số x:
VD 13.
Giải phương trình: 2
6 1 2x+ =x −6x 26+ (HSG tỉnh Phú Yên năm
1997)
Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u= 2x+ 1 và chuyển phương trình về biến u,
Trang 3Cách giải: Đặt ẩn phụ 1 biến u= x2 + 1 và chuyển phương trình về biến u, tham số x
VD 15.
x + x+ = x+ x + x+ (HSG Long An
2013)
VD 16.
2x −2x+ = − −5 ( 4x 1) x +3 ( HSG Hà Nội
2013)
Nhận xét: Tất cả những cách làm trên có thể thay bằng phương pháp lấy lũy thừa để khử căn, kết hợp với máy tính cầm tay để tách nhân tử chung
Ví dụ về hệ phương trình.
* Đối xứng:
VD 17.
Giải hệ phương trình:
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
(ĐH 2002 B)
VD 18.
Giải hệ phương trình: ( ) ( )
( HSG Phú Yên 2012)
VD 19.
Giải hệ phương trình:
2 2
0, 0
x y xy m
co nghiem x y
x y y x m
( HSG Phú Yên 2012)
VD 20.
Giải hệ phương trình: 2 3 2
2 3 2
4
â 4
co nghiem duy nh t
( HSG
Phú Yên 2007)
* Đồng bậc:
VD 21.
Giải hệ phương trình:
(2 ) 4
(2 ) 3
(Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm
2011 – 2012)
VD 22.
Giải hệ phương trình:
x a y z
y b x z
z c y x
= + −
= + −
= + −
( Đề thi HSG Phú Yên 2005)
Trang 4VD 23.
( Đề thi HSG Thái
Nguyên 2013)
*Ẩn phụ:
VD 24.
Giải hệ phương trình: ( 1)2 ( 1) 2 5 0
(Đề thi HSG Phú Yên 2013 - 2014 ) (u= 2 +y v x; = + 1)
VD 25.
Giải hệ phương trình: 3 2
1
(Đề thi HSG Quảng Ninh
2011 - 2012 Bảng B ) (u= 3x y v+ ; = x y+ )
VD 26.
Giải hệ phương trình: 3
3
2
+ =
(Đề thi HSG Hưng Yên 2011 - 2012 ) (u= x+ 1;v= 1 +y)
II Bước 2:
- Phương trình: Nhân tử chung(*) và đánh giá ( hàm số (*) hoặc bất đẳng
thức(**))
- Hệ phương trình: Xử lý 1 phương trình(nhân tử chung- bậc hai theo 1 biến; đánh giá) và thay vào phương trình còn lại( phương trình xử lý là một trong hai phương trình đã cho, hoặc cộng hai phương trình với hệ số hợp lý)
• Ví dụ về phương trình
VD 1. Giải phương trình 3x+ −1 6− +x 3x2−14x− =8 0 (*)( ĐH 2010 B)
VD 2. Giải phương trình x3 − = 4 2 x+ 2(*)( ĐH 2010 D)
VD 3. Giải phương trình 15 x+ 2 = 8 x+ 2 +3x 2(*)(HSG PY03)−
VD 4. Giải phương trình x+ + 1 x+ + 4 x+ + 9 x+ 16 = x+ 100(*)
VD 5. Giải phương trình 3 3 x2 + x2 + − = 8 2 x2 + 15(*)
VD 6. Giải phương trình 5x− + 1 3 9 − =x 2x2 + − 3x 1
3x − + − 5x 1 x − = 2 3 x − − −x 1 x − + 3x 4(*)
Trang 5VD 10 Giải phương trình 2x− + 3 5 2 − x = 3x2 − 12x+ 14(*)
VD 11 Giải phương trình x2 + − + − + + =x 1 x2 x 1 x2 − +x 2(**)
VD 12 Giải phương trình 2 3 2
2 2
VD 13 Giải phương trình x3 – x2 – 8x + 40 = 84
4x+ 4(**)
VD 14 Giải phương trình x2 + − + − + + =x 1 x2 x 1 x2 − +x 2(**)
Thu gọn phương trình trước khi xử dụng hàm số
VD 15 Giải phương trình 2 2 3 x− = 1 27x3 − 27x2 + 13x− 2 ( HSG Hải Dương 2010-2011)
VD 16 Giải phương trình 2 x+ = + − − 2 x3 x2 3x 1 ( HSG Long An 2010-2011)
VD 17 Giải phương trình 2x 3 5x x− 3 = − 2x3 + 10x2 − 17x+ 8 ( HSG Bình Định 2009-2010)
* Ví dụ về hệ phương trình
Rút trực tiếp một phương trình (*) và thay vào phương trình còn lại:
VD 18 Giải hệ phương trình: 2
2
( 1) 3 0(*)
(9 ) 5
x y x
D
x y
x
+ + − =
+ − + =
VD 19 Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 (*) (9 )
1 13
B
+ + =
VD 20 Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
( 2008 )
2 6 6(*)
* Đặt nhân tử chung cho phương trình (*):
VD 21 Giải hệ phương trình:
VD 22 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
VD 23 Giải hệ phương trình:
2 2
2 (*)
+ + = −
VD 24 Giải hệ phương trình:
2
VD 25 Giải hệ phương trình: 2 22 3 22 (*)
Trang 6VD 26 Giải hệ phương trình:
2
2 ( )( 2 ) 3 2 4(*)
x y
(HSG Bình Phước
2013)
Sử dụng phương pháp tìm hệ số bất định để tạo ra phương trình cần xử lý:
3 25 (1)
*: (1) 3.(2)
Cần Thơ 2013)
240 (1)
*: (1) 8.(2)
2 3( 4 ) 4( 8 ) (2)
(HSG Quốc Gia 2010)
98 (1)
*: (1) 3.(2)
3 5 9 25 0 (2)
Quốc Gia 2004)
* Đánh giá phương trình (Hàm số: *; bất đẳng thức:**)
VD 30 Giải hệ phương trình:
2 2
1 2
VD 31 Giải hệ phương trình:
2
2 2
( 3) 5 2 (4 1) 0(*)
VD 32 Giải hệ phương trình:
4 4
VD 33 Giải hệ phương trình:
2013)
VD 34 Giải hệ phương trình:
3 3 2
3 6 3 4 0(*)
2013)
VD 35 Giải hệ phương trình:
3 2 2 5 2
Long An 2013)
Trang 7VD 3. Giải hệ phương trình: 3
3
3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) (**)
Phú Yên 2009)
VD 36 Giải hệ phương trình:
(1 2 ) (1 2 ) 2 / 9
(**)
1 2
HSG QG xy
HẾT