GIÁO TRÌNH XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ VŨ VĂN DIÊN

CHNG 1 : TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC .......................................................... 4 1.1 M
dâu .............................................................................................................................. 4 1.1.1 Phân loi tín hieu........................................................................................................ 4 1.1.2 X lý tín hieu sô (DSP Digital Signal Processing) ................................................... 7 1.2 Tín hieu ri rc.................................................................................................................. 7 1.2.1 Bieu dien tín hieu ri rc............................................................................................ 7 1.2.2 Các tín hieu ri rc..................................................................................................... 9 1.2.3 Các phép toán vi tín hieu ri rc ............................................................................ 13 1.3 Hê thông tuyên tính bât biên ........................................................................................... 18 1.3.1 He thông tuyên tính.................................................................................................. 19 1.3.2 He thông tuyên tính bât biên.................................................................................... 21 1.3.3 He thông tuyên tính bât biên và nhân qu................................................................ 26 1.3.4 He thông tuyên tính bât biên nhân qu on dnh ....................................................... 29 1.4 Phương trình sai phân tuyên tính he sô hang .................................................................. 31 1.4.1 Phương trình sai phân tuyên tính ............................................................................. 31 1.4.2 Phương trình sai phân tuyên tính he sô hang ........................................................... 32 1.4.3 He thông sô de quy(trong lôi ra có các lôi ra).......................................................... 35 1.4.4 He thông sô không de quy........................................................................................ 35 1.4.5 Các phân t thc hien he thông bât biên.................................................................. 36 1.5 Tương quan chéo ca các tín hieu................................................................................... 38 1.5.1 Tương quan chéo...................................................................................................... 38 1.5.2 Hàm t tương quan .................................................................................................. 39 CHNG 2: BIEU DIEN HE THÔNG VÀ TÍN HIEU RI RC.................................... 40 TRONG MIÊN Z..................................................................................................................... 42 2.1 M
dâu ............................................................................................................................ 42 2.2 Biên doi Z (ZT) ............................................................................................................... 42 2.2.1 Dnh nghia................................................................................................................ 42 2.2.2 S tôn ti ca biên doi z........................................................................................... 43 2.2.3 Mot vài biên doi Z thông dng................................................................................. 48 2.3 Biên doi Z ngưc............................................................................................................. 48 2.3.1 Tính trc tiêp tích phân bang lý thuyêt thang dư ..................................................... 48 2.3.2 Phương pháp khai trien thành chuoi luy tha .......................................................... 50 2.3.3 Phương pháp khai trien thành tong ca các phân th c tôi gin................................ 51 2 2.4 Các tính chât ca biên doi Z............................................................................................ 53 2.4.1 Tính chât tuyên tính ................................................................................................. 54 2.4.2 Tính chât tre ............................................................................................................. 54 2.4.3 Tính chât nhân vi hàm mu an ................................................................................. 55 2.4.4 Do hàm ca biên doi Z ( tính do hàm ca n.x(n) ) ............................................... 56 2.4.5 Tích chap ca hai dãy............................................................................................... 56 2.4.6 Tương quan ca hai tín hieu..................................................................................... 58 2.4.7 Dãy liên hp ph c .................................................................................................... 59 2.4.8 Dnh lý giá tr ban dâu.............................................................................................. 59 2.4.9 Tích ca hai dãy ....................................................................................................... 60 2.5 Bieu dien he thông ri rc trong miên Z ......................................................................... 60 2.5.1 Hàm truyên dt ca he thông ri rc ........................................................................ 60 2.5.2 Hàm truyên dt ca mot he thông tuyên tính bât biên dưc dac trưng b
i phương trình sai phân tuyên tính he sô hang.................................................................................. 60 2.5.3 Các phân t thc hien he thông tuyên tính bât biên................................................. 61 2.5.4 Phân tích he thông trong miên Z.............................................................................. 63 2.5.5 Gii phương trình sai phân tuyên tính he sô hang nh biên doi Z........................... 64 2.6 Do on dnh ca he thông ................................................................................................. 66 2.6.1 S on dnh ca mot he thông tuyên tính bât biên..................................................... 66 2.6.2 S on dnh ca mot he thông tuyên tính bât biên và nhân qu ................................ 66 2.6.3 Tiêu chuan on dnh Jury........................................................................................... 67 CHNG 3: BIEU DIEN HE THÔNG VÀ TÍN HIEU RI RC.................................... 70 TRONG MIÊN TÂN SÔ LIÊN T
C..................................................................................... 72 3.1 Biên doi Fourier ca các tín hieu ri rc ......................................................................... 72 3.1.1 Dnh nghia biên doi Fourier (Fourier Transform )................................................... 72 3.1.2 S tôn ti ca biên doi Fourier................................................................................. 74 3.1.3 Biên doi Fourier ngưc (Inverse Fourier Transform) .............................................. 75 3.2 Các tính chât ca biên doi Fourier .................................................................................. 77 3.2.1 Tính chât tuyên tính ................................................................................................. 77 3.2.2 Tính chât tre ............................................................................................................. 78 3.2.3 Tính chât tre tân sô................................................................................................... 79 3.2.4 Tích chap ca hai dãy............................................................................................... 80 3.2.5 Tính chât dôi x ng ................................................................................................... 81 3.2.6 Tương quan gia hai tín hieu ................................................................................... 81 3 3.2.7 Quan he Parseval...................................................................................................... 81 3.2.8 Tích ca hai dãy ....................................................................................................... 82 3.2.9 Vi phân trong miên tân sô ........................................................................................ 83 3.2.10 Tính chât do biên sô ............................................................................................. 83 3.3 So sánh biên doi Fourier và biên doi Z ........................................................................... 84 3.3.1 Quan he gia biên doi Fourier và biên doi Z ........................................................... 84 3.3.2 Dánh giá hình h%c X(ejw) trên mat phang Z............................................................. 85 3.4 Bieu dien he thông ri rc trong miên tân sô liên tc ..................................................... 86 3.4.1 Dáp ng tân sô ......................................................................................................... 86 3.4.2 Các bo l%c sô lý tư
ng.............................................................................................. 87 3.5 Lây mau tín hieu.............................................................................................................. 91 3.5.1 Dnh lý lây mau........................................................................................................ 91 3.5.2 Tân sô Nyquist ......................................................................................................... 93 CHNG 4: BIEU DIEN TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC.................................... 94 TRONG MIÊN TÂN SÔ RI RC....................................................................................... 95 4.1 M
dâu ............................................................................................................................ 95 4.2 Biên doi Fourier ri rc dôi vi các tín hieu tuân hoàn có chu ky N.............................. 95 4.2.1 Các dnh nghia ......................................................................................................... 95 4.2.2 Các tính chât ca biên doi Fourier ri rc dôi vi các dãy tuân hoàn...................... 97 có chu ky N ....................................................................................................................... 97 4.3 Biên doi Fourier ri rc dôi vi các dãy không tuân hoàn có chiêu dài.......................... 99 hu hn.................................................................................................................................. 99 4.3.1 Các dnh nghia ......................................................................................................... 99 4.3.2 Các tính chât ca biên doi Fourier ri rc dôi vi các dãy có chiêu ...................... 100 dài hu hn...................................................................................................................... 100 4.3.3 Khôi phc biên doi Z và biên doi Fourier t DFT ................................................. 102 4.4 Biên doi nhanh Fourier ri rc (FFT)............................................................................ 103 4.4.1 M
dâu ................................................................................................................... 103 4.4.2 Thuat toán FFT cơ sô 2 phân chia theo thi gian................................................... 106 4.4.3 Thuat toán FFT cơ sô 2 phân chia theo tân sô ....................................................... 110 4.4.4 Tình FFT ngưc ..................................................................................................... 111 4 CHNG 1 : TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC 1.1 M dâu 1.1.1 Phân loi tín hieu 1.1.1.1 Dnh nghia tín hieu Tín hieu là bieu dien vat lý ca thông tin hay là mot bieu hien ca tin t c. Ví d: Các tín hieu nhìn thây là các sóng ánh sáng mang thông tin ti mat chúng ta. Các tín hieu nghe thây là các s biên doi ca áp suât không khí truyên thông tin ti tai chúng ta. 1.1.1.2 Bieu dien toán hc ca tín hieu Vê mat toán h%c, tín hieu dưc bieu dien b
i hàm ca mot hoac nhiêu biên sô doc lap. Ví d : Ta có tín hieu microphone Sa(t) dưc bieu dien trên hình 1.1 Hình 1.1 Dô th bieu dien tín hieu microphone Sa(t) T hình 1.1 ta thây Sa(t) là hàm mot biên sô, biên sô này là thi gian t. Vì là hàm ca mot biên nên ta còn g%i là tín hieu mot chiêu. Sa(t) 0 n t 5 1.1.1.3 Phân loi tín hieu Chúng ta chia tín hieu ra làm hai nhóm ln: Tín hieu liên tc và tín hieu ri rc. 1.1.1.3.1 Dnh nghia tín hieu liên tc Nêu biên doc lap ca s biên doi toán h%c ca mot tín hieu là liên tc, thì tín hieu dó dưc g%i là tín hieu liên tc. Như vay theo dnh nghia tín hieu liên tc, thì t liên tc
dây dưc hieu là liên tc theo biên sô. Nêu da vào hàm sô, chúng ta có the phân loi tín hieu liên tc ra làm hai loi: Tín hieu tương t Tín hieu lưng t hóa. ) Tín hieu dưc g%i là tín hieu tương t nêu hàm ca tín hieu liên tc là liên tc. ) Tín hieu dưc g%i là tín hieu lưng t hóa nêu hàm ca tín hieu liên tc là ri rc. Moi m c lưng t dưc ch dnh mot giá tr sô 8 bit, kêt hp 8 bit có 256 m c hay giá tr. Qui ưc bit dâu tiên dùng de dánh dâu giá tr âm hoac dương cho mau. By bít còn li bieu dien cho do ln; bit dâu tiên ch na trên hay na dưi ca dãy, bit th hai ch phân tư trên hay dưi, bit th 3 ch phân tám trên hay dưi và c thê. Ví d: Chúng ta có hai tín hieu liên tc có biên sô là thi gian t dưc bieu dien trên hình 1.2a là tín hieu tương t và hình 1.2b là tín hieu lưng t hóa. (a) (b) Hình 1.2 Dô th bieu dien tín hieu tương t và tín hieu lưng

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 4

1.1 Mở đầu 4

1.1.1 Phân loại tín hiệu 4

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) 7

1.2 Tín hiệu rời rạc 7

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc 7

1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 9

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc 13

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến 18

1.3.1 Hệ thống tuyến tính 19

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến 21

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 26

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định 29

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 31

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính 31

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 32

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra) 35

1.4.4 Hệ thống số không đệ quy 35

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến 36

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu 38

1.5.1 Tương quan chéo 38

1.5.2 Hàm tự tương quan 39

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC 40

TRONG MIỀN Z 42

2.1 Mở đầu 42

2.2 Biến đổi Z (ZT) 42

2.2.1 Định nghĩa 42

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z 43

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng 48

2.3 Biến đổi Z ngược 48

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư 48

2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa 50

2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản 51

2.4 Các tính chất của biến đổi Z 53

2.4.1 Tính chất tuyến tính 54

2.4.2 Tính chất trễ 54

2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ a n 55

2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) ) 56

2.4.5 Tích chập của hai dãy 56

2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu 58

2.4.7 Dãy liên hợp phức 59

2.4.8 Định lý giá trị ban đầu 59

2.4.9 Tích của hai dãy 60

2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z 60

2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc 60

2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 60

2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến 61

2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z 63

2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z 64

2.6 Độ ổn định của hệ thống 66

2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến 66

2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả 66

2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury 67

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC 70

TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 72

3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc 72

3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform ) 72

3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier 74

3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) 75

3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier 77

3.2.1 Tính chất tuyến tính 77

3.2.2 Tính chất trễ 78

3.2.3 Tính chất trễ tần số 79

3.2.4 Tích chập của hai dãy 80

3.2.5 Tính chất đối xứng 81

3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu 81

3.2.7 Quan hệ Parseval 81

3.2.8 Tích của hai dãy 82

3.2.9 Vi phân trong miền tần số 83

3.2.10 Tính chất đảo biến số 83

3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z 84

3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z 84

3.3.2 Đánh giá hình học X(e jw ) trên mặt phẳng Z 85

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục 86

3.4.1 Đáp ứng tần số 86

3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng 87

3.5 Lấy mẫu tín hiệu 91

3.5.1 Định lý lấy mẫu 91

3.5.2 Tần số Nyquist 93

CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 94

TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 95

4.1 Mở đầu 95

4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N 95

4.2.1 Các định nghĩa 95

4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn 97

có chu kỳ N 97

4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài 99

hữu hạn 99

4.3.1 Các định nghĩa 99

4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều 100

dài hữu hạn 100

4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT 102

4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT) 103

4.4.1 Mở đầu 103

4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian 106

4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số 110

4.4.4 Tình FFT ngược 111

CHƯƠNG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt chúng ta

- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông tin tới tai chúng ta

1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu

Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số độc lập

Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1

Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu microphone Sa(t)

Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t Vì là hàm của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều

1.1.1.3 Phân loại tín hiệu

Chúng ta chia tín hiệu ra làm hai nhóm lớn: Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc

1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục

Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục

Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được hiểu là liên tục theo biến số

Nếu dựa vào hàm số, chúng ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:

- Tín hiệu tương tự

- Tín hiệu lượng tử hóa

*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm của tín hiệu liên tục là liên tục

*) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm của tín hiệu liên tục là rời rạc

Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8 bit, kết hợp 8 bit có 256 mức hay giá trị Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương cho mẫu Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dưới của dãy, bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dưới và cứ thế

Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa

1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc

Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu rời rạc

Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số

Nếu dựa vào biên độ, chúng ta cũng có thể phân loại tín hiệu rời rạc ra làm hai loại :

- Tín hiệu lấy mẫu

- Tín hiệu số

Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục

(không được lượng tử hóa)

Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc Như vậy tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và biên độ Còn tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ

Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu

và (b) là tín hiệu số

(a) (b)

Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số

n.T s

n.Ts

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)

Ta có sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):

Hình 1.4 Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu Trong đó:

- LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp)

- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)

- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)

- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu sô – tương tự)

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc

Tín hiệu rời rạc có hai loại :

- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)

- Tín hiệu số, ký hiệu là xs(nTs)

Ký hiệu chung : x(nTs)

DSP DAC

LPF Ya(t)

Xd(t) Yd(t)

x(n)

Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :

- Biểu diễn bằng biểu thức toán học

- Biểu diễn bằng đồ thị

- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử

1.2.1.1 Biểu diễn toán học

Biểu diễn toán học với N1 ≤ n≤ N2

x(n) =

0 với n < 0

Với: n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên, ta không xét)

Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó

-1

x(n)

n

1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số

Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như sau :

01

)

(

n Khi

n Khi n

k n Khi k

n

0

1

) (

Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)

1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị

Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n :

0 1

)(

n Khi

n Khi n

k n Khi k

n u

0

1)(

n Khi k

n

0

1)(

3 -1 1 2

∞ 0

1

u(n)

n

Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :

Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm

n

k N n k k

-1

1

2 1

n

6 5

-1

Ta thấy, với a > 1 thì hàm e(n) đồng biến, còn với 0 <a <1 thì hàm e(n) nghịch biến Nếu a <0 thì hàm e(n) là không đồng biến và cũng không nghịch biến

1.2.2.5 Dãy hình sin

Dãy hàm sin có dạng như sau :

( n)

n n

x

N sin 0sin

Dãy sin(ω0 n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn

với chu kỳ N Đồ thị của dãy sin(ω0 n) ở hình 1.11 dưới đây :

3 2

0,59

0,95

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)

Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :

x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn

Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)

Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4

Giải :

Dãy xp(n) cho trên hình 1.11

Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị

1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn

Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)

Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)

1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy

1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

∑−

=

=

1 0

2

)(

2)(

()

0 2 2

3

2 1

3 4 4

1 1

1 )

( 2

1 )

(

0

2 2

2 2

2

4

1 2

n n

u n

1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy

Công suất trung bình P x của tín hiệu số x(n) được tính như sau:

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

2

) (

1 N n

N N

x E P

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

∑

−

=+

=+

=

N

N n

x

N N

E

)()(

2 2 1

2

1 1

2 2

) ( )

(

1N n N N

x Lim Lim x n x n

N N

x E

=+

=

N

N n N

x N

N N

E

)()

(

2 2 1

2

1 1

=+

=

=+

=+

*4lim

41

411

*2

1lim

41

*2

1lim

)(1

*2

1lim

1

*2lim

1

2 1

1 1

N

N

N

N N

n

n N

N

N n N

x N

x

N N

n x N

N

E P

b Ta có: x2(n)=u(n−3)−u(n+3)+rect3(n)=rect6(n+3)+rect3(n)

Năng lượng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x2(n) là:

=+

+

=

=+

2 3 6

2 2 2

152

22111)()

3(

|)()

3(

|)

(

n

n n

x

n rect n

rect

n rect n

rect n

x

E

01

*2

15lim

1

*2

2lim

E x N

Vẽ x3(n) :

Hình 1.12 Đồ thị biểu diễn các tín hiệu x1(n), x2(n) và x3(n)

1.2.3.4.2 Phép nhân hai tín hiệu

Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng các phần tử có cùng trị số của biến độc lập

Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên

n

1 2 3

1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số

Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó

n x

n

y

0

5 3

4

2 1

) 2 (

*)Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy, khi tín hiệu x(n) bị trễ đi 2 mẫu trong miền thời

gian thì đồ thị của hàm y(n) = x(n-2) sẽ dịch chuyển sang phải 2 mẫu Tổng quát, ta

có khi tín hiệu bị trễ đi n0(n0>0) mẫu trong miền thời gian thì đồ thị của nó bị dịch sang phải n0 mẫu, nếu n0 < 0 thì đồ thị của nó lại dịch chuyển sang trái đi n0 mẫu

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến

1.3.1 Hệ thống tuyến tính

1.3.1.1 Định nghĩa

Ký hiệu hệ thống:

- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích)

- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng

1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống

Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra

Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n)
y(n)

Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :

1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính

Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng, tức là :

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)

Với mọi a,b là hằng số

Ví dụ : Kiểm tra tính chất tuyến tính của các hệ thống sau :

⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2(a.x1(n) +b.x2(n)) = a.2.x1(n) + b.2.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng) Vậy hệ thống là tuyến tính

b T[x(n)] = x2(n)

Ta có: T[a.x(n) + b.x(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2

= a2.x21(n) + b2.x22(n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)

≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

(không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính

≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (với a = 1, b = 1 chẳng hạn) (Không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống đã cho không phải là hệ thống tuyến tính

1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :

x( ) [δ( )] (vì x(k) độc lập với n) Đặt h(n-k) = hk(n) = T[δ(n−k)]

x( ) ( )Đáp ứng hk(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống Và hk(n) đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

1.3.2.1 Định nghĩa :

Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu các tác động vào, ra của nó

không thay đổi theo thời gian

Một hệ thống là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

- Hệ thống là tuyến tính

- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta được lối ra là y(n) thì với lối vào là x(n-k),

ta thu được lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)

Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là tuyến tính,bất biến theo n hay không ?

1.T[x(n)] = 2.x(n)

2 T[x(n)] = n.x(n) (với n∈z)

Giải :

1.T[x(n)] = 2.x(n)

- Kiểm tra tính chất tuyến tính:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng) ⇒Hệ thống là tuyến tính

- Kiểm tra tính chất bất biến:

- Kiểm tra tính chất tuyến tính:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)

⇒Hệ thống không phải là hệ thống bất biến

Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính nhưng không bất biến

x( ) ( )Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính Còn h(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Lúc này, h(n) sẽ không phụ thuộc vào k, tức

là nếu biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống

tuyến tính bất biến luôn là h(n) Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ

đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến

x( ) ( )= x(n)*h(n) (1) (1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’

* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định

nghĩa chỉ cho hệ thống này

Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có: x(n) = rect3(n) và

n h

0

2 0

2

1 )

) (

k

k n

k n k k

n k

n k

n

h

0

) 2 0

( 4 0

2 2

0 2

1 )

k

k

h = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1 + Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2

h (n)

3 ( ) 1 ( ).

2

3 ( ) (n + δ n− + δ n− + δ n−

x( ) ( )Đặt m = n – k ⇔k =n−m

Với k = -∞⇒m→ +∞

Với k = +∞ ⇒m→ −∞

⇒x(n) * h(n) = x(n m).h(m) h(m).x(n m) h(n) *x(n)

m m

y 1 x(n)

x( ) 1 ( ) ] 2 ( ) [

−

k

k n h k n h k

−

k

k n h k x k n h k

−

k n h k x k

n h k

Ví dụ: Giả sử, ta có hai hệ thống có đáp ứng xung lần lượt là h1(n) và h2(n) mắc nối tiếp với nhau với: h1(n) = u(n), h2(n) = rect4(n)

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống tổng quát

h n h n h n h

rect k

h

0

3 0

1 ) ( 4 2

− +

− +

=

− +

− +

− +

n u n

u n u n u

n h n

h n

h n h k n h n

h

k

0

3 4

2 3

1 2

0 1

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) (

) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )

0 1

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

1.3.3.1 Định nghĩa

Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở thời điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm là

n > n0 (ở tương lai)

Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :

Nếu : Kích thích x(n) = 0 với mọi n < k

Thì : Đáp ứng y(n) = 0 với mọi n < k

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

Định lý : Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả khi và chỉ khi

đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau :

) ( ).

( 1 )

( ).

( 1 )

( ).

( 1

n k n

k k

k n h k x k

n h k x k

n h k x

) ( ).

( 2 )

( ).

( 2 )

( ).

( 2

n k n

k k

k n h k x k

n h k x k

n h k x

−

−

0

1 0

) ( )].

( 2 ) ( 1 [ ) ( )]

( 2 ) ( 1 [

n k n

k

k n h k x k x k

n h k x k x

Vì x1(n) = x2(n) với mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 với mọi k < n0

Nên y(n) = y1(n) – y2(n) = ∑∞

=

−

− 0

2

[

n k

k n h k x k

Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 với mọi n < n0

Thì ta có : y(n) = y1(n) – y2(n) = 0 với mọi n < n0 (1.3)

Vì x1(k) ≠ x2(k) với mọi k ≥n0 nên (1.2) chỉ đúng với (1.3) nếu :

Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã được chứng minh

- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả

Vì đáp ứng xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) = h(n) * x(n) = 0 với mọi n < 0 Nếu chứng minh được x(n) = 0 với mọi n < 0, thì theo điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả

Vì h(k) = 0 với mọi k < 0 nên ta có :

( )

( ).

(

k k

k n x k h k

n x k

h (1.5)

Vì đã có y(n) = 0 với mọi n < 0, trong khi h(k) ≠0 với mọi k ≥0, nên (1.5) chỉ đúng nếu x(n - k) = 0 với mọi n < 0 và mọi k ≥ 0 (1.6)

Đặt m = n – k, khi đó với mọi n < 0 và k ≥ 0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể viết lại (1.6) dưới dạng : x(m) = 0 với mọi m < 0

Vì m cũng là số nguyên nên ta có thể đổi lại biến m thành n :

x(n) = 0 với mọi n < 0

Điều kiện đủ của định lý đã được chứng mịnh

Như vậy, định lý đã được chứng minh

Do h2(n) = 0 với mọi n < 0 Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến, nhân quả

1.3.3.3 Dãy nhân quả

Dãy x(n) được gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 với mọi n < 0

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân quả thì đầu ra được tính như sau :

k n x k h k

n h k

0

) ( ).

0

) ( ).

(

Ví dụ: cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:

n

0

0 2

1 )

x

n

0

0 2

) (

4 1 2 1

4 2

1 2

1 2 ) ( ).

( )

y

n n

n k

1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả

Một hệ thống được gọi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 với mọi n > 0

Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với mọi n > 0

Ví dụ : Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dưới đây:

(1) h1(n) = δ(n+ 1 ) +δ(n+ 2 ) +δ(n+ 3 )

( 2) h2(n) = δ(n− 2 ) +δ(n− 1 ) +δ(n)

Giải:

(1) h1(n) = 0 với mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả

(2) h2(n) = 0 với mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định

1.3.4.1 Định nghĩa

Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào giới hạn, ta có dãy ra giới hạn, nghĩa là :

|x(n)| < ∞ với mọi n thì |y(n)| < ∞ với mọi n

Ví dụ: Cho hai hệ thống : h1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ thống là x(n) = u(n) Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên

⇒|x(n)| < ∞ với mọi n (vì x(n) = 0 hoặc n = 1)

Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định nghĩa để kết luận

3 0

k k

k n x k

n x k

Như vậy : |y(n)| < ∞với mọi n

⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định

Với h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả chiều dài vô hạn

|

| ) ( 3

|

| ) (

|

n n

n

n u n

⇒ Hệ thống là không ổn định

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phương trình sai phân tuyến tính Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào hay mối quan hệ giữa dãy vào và dãy ra Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính:

- N: là bậc của phương trình sai phân

Phương trình sai phân tuyến tính được viết dưới dạng khác như sau:

Ví dụ: Cho hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính sau:

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

*) Cách giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Gồm 4 bước:

- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (là phương trình chỉ

Dựa vào điều kiện ban đầu ta sẽ tìm được Ak

+ Nếu có nghiệm bội

Giả sử α2 là nghiệm bội bậc l, các nghiệm khác là đơn (N - l)

⇒y0(n) = A1 α1n +(A20 α2n + A21 n.α2n + A22. n2 α2n +…+A2.(l -1) nl-1.α2n) + AN αNn

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình đầy đủ hai thành phần

Phương trình đầy đủ hai thành phần là phương trình ứng với đầu vào x(n) ≠0, có

dạng tổng quát như sau : ∑

Nghiệm riêng này, ta ký hiệu là yp(n)

Thông thường dạng của xp(n) được chọn giống dạng của x(n)

- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

Ký hiệu : y(n) = y0(n) + yp(n)

- Bước 4: Tìm các hệ số bằng cách dựa vào điều kiện ban đầu

*) Chú ý: Nếu tìm được yp(n) là một thành phần của y0(n) thì ta sẽ xử lý giống như trường hợp gặp nghiệm bội

Ví dụ 1: Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

y(n) = x(n) +2.y(n - 1)

với kích thích x(n) = u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 1

Giải:

- Bước 1: Phương trình thuần nhất có dạng: y(n) – 2.y(n-1) = 0 (1)

Chọn dạng y0(n) là αn (α≠0), thay vào phương trình (1) ta có:

αn – 2.αn-1 = 0

⇔αn-1(α - 2) = 0 ⇔ α = 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y(n) = A1.2n

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)

Ta sẽ cho yp(n) giống dạng x(n)

yp(n) = B.u(n) + C

Để tìm B, C ta thay y(n) = yp(n), x(n) = u(n) vào phương trình sai phân

B.u(n) + C = u(n) + 2.(B.u( n - 1 ) + C)

⇔B.u(n) + C = u(n) + 2.B.u(n - 1) +2.C (2)

Đồng nhất hai vế của phương trình (2) ta có:

B = 1

C = 2.B.u(n - 1) +2.C = -2.u(n - 1)

⇒yp(n) = u(n) - 2.u(n - 1)

- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát:

y(n) = y0(n) + yp(n) = A1.2n + u(n) - 2.u(n - 1)

- Bước 4: Tìm hằng số A1

Ta có: y(-1) = 1 ⇔A1.2-1 + u(-1) - 2.u(-2) = 1 ⇔A1 = 2

Vậy: y(n) = 2.2n + u(n) + 2.u(n - 1)

Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:

y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1) (1)

với điều kiện đầu: y(n) = 0 (n < 0), x(n) = 4n

Giải:

-Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình của phương trình thuần nhất y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = 0 (2)

Chọn dạng nghiệm của phương trình thuần nhất là: y0(n) = αn (α≠0)

Thay y0(n) = αn vàophương trình 2 ta được:

1

αα

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y0(n) = A1 + A2.2n -Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình có đầy đủ 2 thành phần yp(n) y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1)

Chọn dạng nghiệm của yp(n) có dạng giống x(n), tức là: y(n) = B.4n Thay y(n) = B.4n vào (1) ta được:

−

4

1 1 4 16

2 4

3 4

Đồng nhất hệ số ta được: B = 2

Nên nghiệm riêng của phương trình (1) là: y(n) = 2.4n

-Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát y(n) của phương trình (1)

=

−

= + +

=

−

0 16

2 4 )

2 (

0 4

2 2 )

1 (

2 1

2 1

A A y

A A y

1

A A

Vậy nghiệm của phương trình sai phân là:

−

=

n

n n

y

n n

0

0 4

2 2 2

3 4

1 ) (

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)

Là hệ thống mà lối ra của nó phụ thuộc vào lối vào ở hiện tại, quá khứ, và các lối ra ở quá khứ

y(n) = F[x(n); x(n - 1);…; x(n – M); y(n - 1);…; y(n - N))]

- Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn

- Ta luôn phải xét tính ổn định của hệ thống này

- Hệ thống còn có tên gọi là IIR (Infinite duration Impulse Response System – Hệ thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn )

h( ) ( )

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến

1.4.5.1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.14:

1.4.5.2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.15

1.4.5.3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín

hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.16

Hình 1.16 Ký hiệu một phần tử nhân với hằng số

Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là

tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a

1.4.5.4 Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một

mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.17

Hình 1.17 Ký hiệu phần tử trễ

Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng

bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi mạch số 4 bit hoặc 8 bit

Ví dụ: Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống có phương trình sai phân như sau:

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu

1.5.1 Tương quan chéo

Hàm tương quan chéo của hai dãy tín hiêu x(n), y(n) là một dãy được xác định như sau:

) ( ).

( )

( ).

(

m m

n m y m x n

m y m x

m x

0

2 0

2

1 )

(

m

m y m

x = x(0).y(0) + x(1)y(1) + x(2).y(2) = 1 + 1/2 + 0 =3/2

rxy(1) = ∑

=

− 2

0

) 1 ( ).

(

m

m y m

x = x(0).y(-1) + x(1).y(0) +x(2).y(1) = 0 + 1/2 + 0 = 1/2

rxy(2) = ∑

=

− 2

0

) 2 ( ).

(

m

m y m

x = x(0).y(-2) + x(1).y(-1) + x(2).y(0)

x( ) ( )

rxx(n) là hàm tự tương quan của dãy x(n)