Câu hỏi ôn tập Vật Lý Chất rắn

Năng lượng Fermi_ Vận tốc Fermi: Ở trạng thái cơ bản, hệ N điện tử chiếm các trạng thái với năng lượng thấp nhất =gt; mọitrạng thái bị chiếm nằm bên trong hình cầu bán kính k F . Năng lượng ở bề mặt hình cầunày là E F . Độ lớn của vecto sóng k F và năng lượng E F liên hệ bởi: E F = 2 k F 2 (2m) Tất cả các quỹ đạo bên trong hình cầu bán kính k F phải bằng tổng số điện tử N.Nhiệt dung của khí điện tử: Khi đun nóng vật liệu từ 0 0 K, chỉ các điện tử có năng lượng nằm trong khoảng k B T tínhtừ mức Fermi mới có thể bị kích thích nhiệt → các điện tử này nhận thêm năng lượng cóbậc k B T

CÂU HỎI ÔN TẬP CUỐI KÌ

Câu 1 : Nhiệt dung của mạng tinh thể:

a. Nhiệt dung C: là nhiệt lượng cần thiết ∆ Q làm cho chất rắn tăng ∆ T : C = ∆ Q ∆ T

Phần đóng góp của các phonon vào nhiệt dung của tinh thể đc gọi là nhiệt dung mạng Khi đấy, năng lượng của các phonon ở nhiệt độ T trong tinh thể chính là tổng năng lượng của các mode phonon ( q trong công thức dưới nhớ thêm dấu vecto “→” vào nhé!!!)

Với: + Gốc năng lượng đc chọn ở năng lượng = 0

+ Mode p = 1 … 3s ( với s là số nguyên tử / ô đơn vị )

+ ⟨n⃗q p⟩ : độ lấp đầy của các phonon có vecto sóng q và mode p ở trạng thái cân bằng ⃗

nhiệt.

b Nhiệt dung mạng:

Xét dao động tử trong 1 bể nhiệt:

 Xác suất tìm thấy dao động tử này ở trạng thái kích thích có năng lượng En đc cho bởi phân bố Boltzmann:

Trong đó, Po là hằng số đc xác định từ điều kiện chuẩn hóa

 Khi đó, ta nhận đc:

 Vậy số dao động tử trung bình ở trạng thái kích thích:

 Từ đó, ta nhận đc hàm phân bố Planck :

 Thế biểu thức này vào công thức E ở

câu a, ta đc: ( q trong công thức dưới nhớ thêm dấu vecto “→” vào nhé!!!).

[1]

 Để thuận tiện, ta thay thế tổng theo q⃗ bằng tích phân theo tham số → cần đưa vào khái niệm “mật độ các mode” ( hay “mật độ trạng thái” ) Dp(ω) là hàm biểu diễn số mode ( của giá trị s đã cho) trong dải tần số (ω ; ω+d (ω)¿.

 Khi đó, năng lượng E trong công thức [1] sẽ đc viết lại theo D p (ω) Bằng cách lấy đạo hàm của E theo nhiệt độ T, ta nhận đc nhiệt dung mạng:

Câu 2 : Trình bày về mật độ trạng thái trong các trường hợp 1 chiều và 3 chiều:

2.1 Trường hợp 1 chiều:

 Xét sóng dọc trong thanh dài Nghiệm đối với độ dịch chuyển của nguyên tử:

 Áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho độ dịch chuyển này:

 Để đầu bên phải thanh có cùng trạng thái dao động như đầu bên trái, ta hình dung thanh bị biến dạng thành hình tròn sao cho 2 đầu đc nối với nhau Nếu chiều dài thanh là L, chọn gốc tọa độ ở đầu trái, đk biên tuần hoàn sẽ là:

 Thay [2] vào [1] ta có : e iqL = 1 => q = n2 π /L, với n là số nguyên ( 0; ± 1;± 2; … )

=> mỗi giá trị q sẽ biểu diễn 1 mode dao động

 Khi vẽ các giá trị q dọc theo trục q, chúng tạo thành lưới 1 chiều cách đều nhau khoảng 2 π/L => nếu chiều dài thanh đủ lớn, khoảng cách giữa các điểm sẽ nhỏ và

các điểm này tạo thành lưới bán liên tục

 Giả sử chọn 1 đoạn dq trong ko gian q=> Số mode mà các giá trị q nằm trong khoảng này = 2 π L dq.

 Xét số mode trong dải tần số dω nằm giữa (ω ; ω + dω) => số mode đó chính là D(

ω¿dω= L

2 π dq

 Khi tính D(ω¿, ta phải xét các mode nằm ở phần q dương và q âm => việc này tương đương với phép nhân biểu thức trên cho 2:

D(ω¿=

L

2 π

1

d ω dq

2.2 Trường hợp 3 chiều:

Ta có nghiệm sóng: u⃗= ⃗A exp[ i(qxx + qyy + qzz)] với sự lan truyền sóng đc mô tả bởi q⃗= (qx ; qy;qz) mà hướng của nó chỉ hướng truyền sóng

Giả sử tinh thể là hình lập phương có cạnh L Khi xét đk biên, các giá của q⃗ phải thỏa:

Nếu ta vẽ các giá trị này trong ko gian q, ta nhận đc lưới lập phương 3 chiều => phần thể tích ứng với mỗi điểm thuộc ko gian q : (2 π/L) 3

Với mỗi điểm trên, ta xác đinh đc 1 mode => số mode nằm trong lớp vỏ cầu bán kính q →

q + dq :

D(ω¿dω=¿

Với V = L 3: thể tích tinh thể ; 4πq 2 dq : thể tích lớp vỏ.

Khi đó:

Lưu ý: biểu thức trên chỉ đúng với chất rắn đẳng hướng vì khi ấy,tần số dao động ω

ko phụ thuộc vào hướng q⃗.

Câu 3: Trình bày về mô hình Debye:

Xem Homework 5, câu 2a.

Câu 4: Trình bày về mô hình Einstein:

 Trong mô hình Einstein, mật độ trạng thái đc đặt gần đúng bằng hàm số δ ở tần số

Einstein ωE:

D(ω¿ = Nδ( ω−ωE)

Với N: số nguyên tử hay dao động tử

Hàm δ(x) = +∞ khi x = 0 => ∫

−∞

+∞

δ ( x )dx=1

0 khi x ≠ 0

 Khi đấy, năng lượng E khi viết theo D(ω¿ sẽ là:

Hệ số “3” trong công thức trên ứng với ba bậc tự do của dao

động tử

 Nhiệt dung đẳng tích:

 Nhận xét:

 Giới hạn nhiệt độ cao của mô hình Einstein cũng giống như mô hình Debye, tức là

CV = 3NkB ( Định luật Dulong - Petit )

 Ở nhiệt độ thấp, CV exp( -ℏω ωE/kT), khác với quy luật T3 bên mô hình Debye Lý do: ở nhiệt độ thấp, các phonon âm và mô hình D gần đúng tố hơn mô hình E Mô hình E thường đc dùng để làm gần đúng phần đóng góp của các phonon quang

Câu 5 : Định luật Fourier về truyền nhiệt:

 Khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa 2 điểm, nhiệt truyền từ chỗ nóng hơn đến chỗ lạnh hơn

 Mật độ dòng nhiệt j ( nhiệt lượng truyền qua 1 đơn vị diện tích trong 1 đơn vị thời gian)

tỉ lệ thuận với gradien nhiệt độ: j = −K dT

dx

Trong đó: + K: độ dẫn nhiệt

+ Dấu “ – “ cho biết chiều truyền nhiệt ngược với chiều gradien nhiệt độ

 Hình dung trong vật liệu có chất khí phonon chuyển độ hỗn loạn theo mọi phương tương ứng với mọi giá trị q trong vùng Brillouin Mật độ phonon ở đầu nóng lớn hơn ở đầu lạnh

Sử dụng lý thuyết động học khí, độ dẫn nhiệt: K = CV υℓ / 3

Trong đó:

+ CV : nhiệt dung ứng với 1 đơn vị thể tích

+ υ : vận tốc hạt phonon.

+ ℓ : quãng đường tự do trung bình của các phonon

 Khoảng cách trung bình giữa 2 biến cố tán xạ liên tục : ℓ = υτ , (τ : thời gian hồi phục).

 Thay K vào công thức mật độ j ta đc: j = 13C V υl(−dT

dx )

Câu 6 : Khí electron tự do của hệ một chiều Khái niệm mức năng lượng Fermi.

6.1/ Khí electron tự do của hệ một chiều:

 Giả sử điện tử có khối lượng m bị giới hạn trong phạm vi có độ dài L bởi hàng rào thế năng vô hạn

 Hàm sóng ψn(x) là nghiệm của pt Schrodinger: ^H ψn(x) = Enψn(x) [1]

Trong đó, ^H là toán tử Hamilnton ; E n là năng lượng của quỹ đạo electron.

 Điều kiện của hàm sóng : ψ (0)=ψ ( L)=0.

 Thay [2] vào [1], ta nhận đc trị riêng

 Các nghiệm này tương ứng với các sóng dừng với số nút khác nhau trong phạm vi giếng thế năng

 Xét tập hợp N điện tử hóa trị ở các trạng thái lượng tử này Theo nguyên lý loại trừ Pauli, mỗi trạng thái lượng tử của điện tử chỉ có thể bị chiếm nhiều nhất bởi 1 điện tử => trạng

thái điện tử trong chất rắn 1 chiều đc đặc trưng bởi 2 số lượng tử n và ms.

Trong đó, n đặc trưng cho quỹ đạo ψ n (x);

m s mô tả hình chiếu spin lên 1 trục => m s = ± 1/2

 Như vậy, mỗi quỹ đạo đc ký hiệu bởi số lượng tử n có thể chứa 2 điện tử: 1 điện tử

có spin hương lên và ngược lại

6.2 / Khái niệm năng lượng Fermi:

 Ký hiệu nF tương ứng với mức năng lượng cao nhất bị chiếm bởi các điện tử Tổng số

điện tử là N và giả sử N chẵn => N = 2 nF

 Năng lượng của mức bị chiếm cao nhất đc gọi là bl Fermi Ef ( chỉ đúng khi ở 00K) Đối với hệ 1 chiều gồm N điện tử:

 Khi ở nhiệt độ khác 0, sự phân bố các điện tử trên các mức năng lượng đc mô tả bởi hàm phân bố f(E), đc định nghĩa là xác suất để năng lượng E bị chiếm bởi các điện tử.

 Ở 00K, hàm f(E) = 1, E< Ef tức là mọi mức dưới Ef đều đc điền đầy và mọi mức

0, E > Ef trên Ef thì hoàn toàn trống

 Khi hệ bị nung nóng ( T > 00K), năng lượng nhiệt kích thích các điện tử, một số chuyển lên mức cao hơn Ef

Câu 8 : Khí điện tử tự do của hệ 3 chiều:

8.1/ Phương trình Schrodinger:

 Pt Schrodinger có dạng: ( r nhớ thêm dấu vecto “ →” vào nhé!!! )

 Nếu các điện tử bị “nhốt” trong hình lập phương có cạnh L, nghiệm của pt là sóng dừng

Với nx ,ny, nz là các số nguyên

dương

Ta đưa vào các điều

 Nghiệm của pt [1] thỏa các đk biên này có dạng: Ψn (´r) = Aexp(i´k ´r) với ´k là vecto sóng.

 Rút ra đc các biểu thức các

thành phần của ´k :

trị năng lượng của quỹ đạo vecto sóng´k :

 Các hàm sóng Ψn (´r) là các hàm riêng của các toán tử động lượng : ´p=−iℏω∇ có thể làm

tường minh bởi biểu thức : ´p Ψ k (´r) = −iℏω ∇ Ψ k (´r) = ℏω ´k Ψ k (´r)

 Từ trị riêng của động lượng là ℏω ´k , vận tốc của điện tử là: ´v = ´p / m =ℏω ´k /m.

8.2/ Năng lượng Fermi_ Vận tốc Fermi:

 Ở trạng thái cơ bản, hệ N điện tử chiếm các trạng thái với năng lượng thấp nhất => mọi trạng thái bị chiếm nằm bên trong hình cầu bán kính kF Năng lượng ở bề mặt hình cầu này là EF

 Độ lớn của vecto sóng kF và năng lượng EF liên hệ bởi: EF = ℏω 2 kF 2 / (2m)

 Tất cả các quỹ đạo bên trong hình cầu bán kính kF phải bằng tổng số điện tử N

 Tổng số trạng thái trong hình cầu trên:

với

 thể tích trong ko gian ´k bị chiếm bởi 2 trạng thái spin ứng với giá trị kx,ky,kz

là (2π / L ) 3

 Thể tích hình cầu V = 4 πkF 3 /3.

 Khi đó: => kF chỉ phụ thuộc vào mật độ điện tử

Năng lượng Fermi:



Vận tốc Fermi:

Câu 9: Hàm mật độ trạng thái:

 Từ biểu thức năng lượng Fermi, tổng số quỹ đạo có năng lượng nhỏ hơn E sẽ là:

N(E) = V

2 π2(2 mE

ℏω2 )

3 /2

 Hàm mật độ trạng thái là đạo hàm của E theo N: D(E) = 3N /( 2E)

 Vậy số trạng thái trong khoảng năng lượng bằng đơn vị ở mức Fermi D(EF ) là tổng số

điện tử dẫn chia cho năng lượng Fermi ( với độ chính xác bằng hệ số có bậc của đơn vị)

 Mật độ trạng thái đc chuẩn hóa sao thỏa: N = ∫

0

E F

D (E F)dE => biểu thức này cho ta tổng số

điện tử trong hệ

Câu 10: Nhiệt dung của khí điện tử:

 Khi đun nóng vật liệu từ 00K, chỉ các điện tử có năng lượng nằm trong khoảng k B T tính

từ mức Fermi mới có thể bị kích thích nhiệt → các điện tử này nhận thêm năng lượng có bậc k B T

 Nếu N là tổng số điện tử, chỉ phần có bậc bằng k T EB / F có thể bị kích thích nhiệt ở

nhiệt độ T Tổng động năng của các điện tử nhiệt này có bậc của U (Nk T E B / F) kB T Nhiệt dung điện tử C el=dU /dT ≈ N k B(k B T

E F )và tỉ lệ thuận với T phù hợp với các kết quả đo thực nghiệm

 Nhiệt dung điện tử :

 Ở nhiệt độ thấp k B T ≪ E F :

( )/

2

( 1) 1

F B

F B

F B









  

 Ở nhiệt độ cao EF >> kBT:

 Đối với khí điện tử tự do, dựa trên mật độ trạng thái D(E) = 3N /( 2E), ta nhận đc nhiệt dung Cel = π2

2 NkB( T/ TF ), với nhiệt độ Fermi TF = EF /kB.

 Trong thực tế,nhiệt dung ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Debye và nhiệt độ Fermi có thể được biểu diễn: C=Cel+Cph=αTT +β T3 , trong đó điện tử trội ở các nhiệt độ thấp => các hằng số αT và β có thể nhận đc từ số liệu thực nghiệm.

Câu 11 : Các luận điểm của mô hình Drude:

a) Các điện tử được xem như các hạt cổ điển trong phép gần đúng điện tử tự do

Khi không có trường điện tử ngoài, mỗi điện tử chuyển động thẳng đều ,bỏ qua các tương tác với các điện tử và ion

Ngược lại, mỗi điện tử chuyển động tuân theo các định luật Newton

b) Các điện tử chuyển động tự do giữa các lần va chạm với tâm tán xạ → Các va chạm là các

sự kiện tức thời làm thay đổi đột ngột vận tốc các điện tử

c) Xác suất xảy ra va chạm của các điện tử trong một đơn vị thời gian là 1¿τ ( τ là thời gian

hồi phục hay khoảng thời gian trung bình giữa 2 lần va chạm ) → Xác suất xảy ra va

chạm của điện tử dt là dt/τ

 Thời gian hồi phục τ không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của điện tử.

d) Các điện tử đạt trạng thái cân bằng với môi trường xung quanh chỉ thông qua va chạm

nhiệt Ngay sau mỗi va chạm, điện tử nhận vận tốc không liên hệ với vận tốc của nó trước khi va chạm và có tính định hướng ngẫu nhiên

Câu 12:Độ dẫn điện của kim loại, liên hệ giữa vec-tơ mật độ dòng điện và vận tốc trôi, định luật Ohm:

12.1 Độ dẫn điện của kim loại:

 Độ dẫn điện là hằng số tỉ lệ giữa mật độ dòng điện ⃗j và cường độ dòng điện trường ⃗E

 Mặt khác ta có mối liên hệ giữa mật độ dòng điện với vận tốc có hướng trung bình của các điện tử ⃗v (vận tốc trôi): ⃗j = - ne⃗v [2]

( trong đó, dấu (-) cho biết chiều chuyển động của các điện tử ngược chiều dòng điện )

12.2 Liên hệ:

Xét điện tử được gia tốc bởi điện trường ngoài

 Vận tốc trôi ⃗v có biểu thức ⃗v = -e⃗E τ /m => thế vào [2], ta đc: ⃗j = -ne2⃗E τ /m

 so sánh biểu thức này với [1], ta có biểu thức của độ dẫn điện :σ =n e2τ

m

 độ dẫn điện tỉ lệ thuận với mật độ điện tử và tỉ lệ nghịch với khối lượng của

nó Ngoài ra, độ dẫn điện còn tỉ lệ thuận với τ¿ càng lớn điện tử càng được gia tốc lâu

và có vận tốc trôi lớn)

Câu 13 : Giải thích độ dẫn điện của kim loại theo quan điểm lượng tử:

 Giữa 2 lần va chạm liên tiếp, các electron sẽ dịch chuyển 1 khoảng lớn hơn 20 lần so với khoảng cách giữa các nguyên tử=> Điều này lớn hơn so với dự đoán va chạm giữa các electron với các ion của mạng

=> Nghịch lý này có thể đc giải thích bởi thuyết lượng tử nếu xem các electron đc biểu diễn dưới dạng hàm sóng

 Cụ thể: khi sóng truyền qua mạng đối xứng tuần hoàn, nó sẽ tiếp tục đc truyền đi ko giới hạn bất kể sự tán xạ vì các nguyên tử vừa hấp thu năng lượng từ sóng, vừa bức xạ ngược lại, mặc dù phương lẫn cường độ của sóng truyền có thay đổi

 Như vậy, nếu các ion tạo thành mạng hoàn chỉnh => thời gian giữa 2 lần va chạm liên tiếp τ = ∞ => sự dẫn điện ko giới hạn.

 Độ dẫn điện của các kim loại biến thiên theo nhiệt độ Biểu diễn độ biến thiên này thông qua quan hệ giữa điện trở suất ρ với nhiệt độ trong mô hình Drude:

ρ=σ−1

= m

n e2τ

Câu 14 : Nguồn gốc của thời gian va chạm:

 Tính hữu hạn của độ dẫn điện có nguồn gốc từ sự không hoàn hảo trong tính tuần hoàn của mạng tinh thể Điều này xảy ra do:

 Dao động nhiệt của các ion

 Tạp chất hay các khuyết tập của mạng tinh thể

 Xác suất tổng để xảy ra va chạm của điện tử trong một đơn vị thời gian = tổng các xác suất tán xạ bởi phonon và bởi khuyết tật

 Do hai cơ chế này có thể được giả sử độc lập với nhau, ta có:

1

τ=

1

τ i+

1

τ ph [1]

( Trong đó: τ ilà do các khuyết tật ; τ p h do các phonon)

→sự tán xạ của các khuyết tật không phụ thuộc vào nhiệt độ, còn tán xạ của các phonon phụ thuộc vào nhiệt độ do số phonon tăng theo nhiệt độ

 Thế [1] vào ρ= m

n e2τ ta có ρ=ρ i+ρ ph= m

n e2τ i+

m

n e2τ ph

( Trong đó, số hạng ρ i không phụ thuộc vào nhiệt độ gọi là điện trở suất dư; số hạng

ρ ph phụ thuộc vào nhiệt độ gọi là điện trở suất mạng ).

 Ở nhiệt độ rất thấp, tán xạ bởi các phonon không đáng kể do biên độ dao động rất nhỏ

τ ph → ∞, ρ ph → 0=¿ρ=ρ i=const

 Khi nhiệt độ tăng,tán xạ bởi phonon trở nên đáng kể hơn và ρ ph tăng làm ρ tăng.Khi nhiệt

độ đủ lớn tán xạ ,tán xạ bởi phonon trội và tỉ lệ với ρ ph.

Việc tách ρ thành hai phần được gọi là quy tắc Mathiessen

Câu 15: Độ dẫn nhiệt và định luật Wiedemann-Franz

15.1 Độ dẫn nhiệt:

 Trong chất cách điện, nhiệt được mang hoàn toàn bởi các phonon, nhưng trong kim loại nhiệt được vận chuyển bởi điện tử và phonon, tương ứng với Ke và Kph

=> Độ dẫn nhiệt K = tổng của 2 phần: K = K e + K ph

 Trong phần lớn kim loại phần đóng góp của các điện tử lớn hơn nhiều phần đóng góp của phonon do mật độ điện tử lớn

 Từ K = Ceℓ v F ℓ/3 ( với Ceℓ: nhiệt dung e trong đơn vị thể tích; v: Vận tốc Fermi ; ℓ :

quãng đường tự do trung bình tại mức năng lượng Fermi ), ta đc:

K = 13(π22n

k B T

E F )v F l

 Với E F=1

2mv F

2

và l

v F=τ ,ta đơn giản phương trình trên thành K = π

2

n k B2τT

3 m

15.2 Định luật W-F:

 Từ biểu thức của độ dẫn điện σ =n e2τ

3 m ,ta tìm đc:

k

σ=

1

3(π k B

e )2T =¿ => Công thức Wiedemann-Franz

Hằng số tỉ lệ L được gọi là số Lorentz, không phụ thuộc vào kim loại và bằng 2,45.10-18 ( WΩ/ K2)

 Phát biểu định luật W-F: Tỉ số giữa độ dẫn điện và độ dẫn nhiệt tỉ lệ thuận với nhiệt độ

Câu 16: Cộng hưởng Cyclotron:

 Nếu kim loại được đặt trong từ trường ngoài,điện tử sẽ chịu tác dụng của lực Lorenz

F = - e[⃗E+¿)]

 Nếu từ trường hướng dọc theo trục z ta có các thành phần của công thức trên là

d V x

dt =−ωc V y ; d V y

dt =ωc V x vớiω c=eB

→Vậy từ trường làm cho các điện tử chuyển động ngược chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng vuông góc với trục

Xét sóng điện từ truyền qua sóng phẳng theo phương song song với ⃗B.

 Điện trường của sóng điện từ tác dụng lên các điện tử và một phần năng lượng sóng bị hấp thụ Độ hấp thụ lớn nhất khi tần số của sóng dừng bằng tần số Cyclotron => cộng hưởng Cycloron

 Cộng hưởng Cyclotron thường dùng để đo khối lượng các điện tử trong bán dẫn và trong kim loại

Câu 17: Hiệu ứng Hall

 Xét dòng điện có mật độ Jx chạy trong dây dẫn theo phương x và từ trường Bz ⊥ với

dây dẫn theo hướng phương z.Ta nhận thấy xuất hiện một điện trường mới ⊥ với Jx và Bz ,tức là hướng trên trục y Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall