http://ngoclinhson.violet.vn đại học quốc gia hà nội đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng đại học khoa học tự nhiên Hệ thpt chuyên năm 2005 Môn : Toán (Vòng 1) Thi gian l m b i: 150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Câu I Gii h phng trình =+ =++ .2 y x ,3 xy y x 22 Câu II Gii phng trình 11x2323x4x =+++ . Câu III Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 1740)yx(51xy34y17x 22 =++++ . Câu IV Cho hai đờng tròn (O), (O') nằm ngoài nhau có tâm tơng ứng là O và O'. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O') tại B. Một tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn cắt AB tại I, tiếp xúc với (O) tại C và (O') tại D. Biết rằng C nằm giữa I và D. 1) Hai đờng thẳng OC, O'B cắt nhau tại M. Chứng minh rằng OM > O'M. 2) Ký hiệu (S) là đờng tròn đi qua A, C, B và (S') là đờng tròn đi qua A, D, B. Đờng thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt (S') tại F khác D. Chứng minh rằng AF vuông góc với BE. Câu V Giả sử x, y, z là các số dơng thay đổi và thỏa mãn điều kiện 2222 z3yzxzxy =++ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . )yx(z1 z P 444 4 ++ = http://ngoclinhson.violet.vn đại học quốc gia hà nội đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng đại học khoa học tự nhiên hệ tHPT chuyên năm 2005 Môn: Toán (Vòng 1) Câu I Hệ đã cho tơng đơng với: = =+ =+ =++ 2P2S 3PS 2xy2)yx( 3xyyx 22 (*) với Pxy Syx = =+ Hệ (*) có các nghiệm là: .1yx 1P 2S == = = = = 7P 4S hệ này vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ đã cho là x = y = 1 . Câu II Phơng trình đã cho tơng đơng với: .1x 01x23 023x 0)1x23()23x( 0)1x232x23()43x43x( 0x2323x4x11 22 = = =+ =++ =+++++ =+ Câu III Phơng trình đã cho có dạng: .1740)]yx(3xy2y[17x 22 =++++ Chú ý rằng với số x nguyên, x có thể có dạng sau: = k17x r với r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Từ đó suy ra x 2 có các dạng tơng ứng sau: 2 http://ngoclinhson.violet.vn x 2 = 17k x 2 = 17k + 1 x 2 = 17k + 4 x 2 = 17k + 9 x 2 = 17k + 16 x 2 = 17k + 8 x 2 = 17k + 2 x 2 = 17k + 15 x 2 = 17k + 13 Nhận thấy rằng vế phải 1740 khi chia cho 17 có số d là 6. Trong khi đó vế trái khi chia cho 17 trong mọi trờng hợp đều không có số d là 6. Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên. Câu IV 1) Cách 1: Ta có OM // O'D (OM và O'D cùng vuông góc với CD) MOO' = OOD < IO'D = IO'M < OO'M OM > O'M. Cách 2: Gọi M' là giao điểm của OA và O'D. Ta xét hình bình hành MOM'O'. Ký hiệu S là diện tích hình bình hành đó, ta có )1( CD AB M'O OM OM.CDM'O.ABS === . Vì I thuộc đoạn AB, nên AB = AI + IB = AI + ID = AI + IC + CD > CD 3 http://ngoclinhson.violet.vn hay .)2(1 CD AB > Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm. 2) Cách 1: Tứ giác ACBE nội tiếp và IA = IC, nên IB = IE. Mặt khác ta có IB = ID, do đó IB = ID = IE và BED vuông tại B BD BE. (1) Tứ giác ADBF nội tiếp và IB = ID, nên IA = IF AF // BD. (2) Từ (1) và (2) suy ra AF BE. Cách 2: Ta có FAB = FDB = IDB = IBD = ABD AF // BD. (1) Vì IO' là phân giác BID và IO là phân giác DIA, nên IO IO'. Lại có AC IO, do vậy AC // IO'. Ta có ABE = ACE = BAC BE// AC // O'I (2) Từ (1) và (2) suy ra BD EB AF BE. In hình 1 và hình 2 trong Crel Draw 4 http://ngoclinhson.violet.vn Câu V Điều kiện đã cho có thể viết lại là: .3 z 1 .y z 1 .xxy 2 22 =++ Biểu thức P có dạng: . yx z 1 1 P 44 4 ++ = Đặt t z 1 = , ta thu đợc bài toán sau: với x, y, t > 0 thỏa mãn 3txytxy 222 =++ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . tyx 1 P 444 ++ = Ta có . 3 1 tyx 1 3tyx 12)txytxy(43)tyx(3 tx41xxt yt41tty xy41yyx 444 444 222444 2444 2444 2444 ++ ++ =+++++ +++ +++ +++ Vậy 3 1 P = đạt đợc khi x = y = z = 1 . 5 . http://ngoclinhson.violet.vn đại học quốc gia hà nội đề thi tuyển sinh lớp 10 Trờng đại học khoa học tự nhiên Hệ thpt chuyên năm 2 005 Môn : Toán (Vòng 1) Thi gian l. http://ngoclinhson.violet.vn đại học quốc gia hà nội đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng đại học khoa học tự nhiên hệ tHPT chuyên năm 2 005 Môn: Toán (Vòng 1) Câu I Hệ