Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 phần đại số

Mục đích: HS nắm đợc phơng pháp c/m chia hết trong phếp chia đa thức cho một số, đa thúc chia hết cho đa thức.. Rèn luyện kỷ năng vận dụng linh hoạt vào bài tập, bài tập nâng cao... Ph ơ

8 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2AC

(A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2AC + 2AC

Giáo án BDHSG Toán 8

II Vận dụng hằng đẳng thức vào bài tập

A.So sánh: A và B Hd

1/ A = 1989 1991 ; B = 19902 -v/d: hđt hiệu haibình phơng

2 2

y x

y x





(x >y > 0) - nhân cả tử và mẫu với x+y

2/ B = x3 - 1 với x = 11 (A - B)3

3/ C = x2 + 0,2x + 0,01 với x = 0,9 (A + B)2

4/ D = x2+2xy+y2- 4x – 4y + 1 với x+y = 3 - Bđ về luỹ thừa (x+y)

Giáo án BDHSG Toán 8

Thì a x b y vậy bđ để xét hiệu

2/ Nếu (a2 + b2 + c2)( x2+ y2+ z2) = (ax+by+cz)2 - Tơng tự bài a

Thì a x b y c z với x,y ,z0

3/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc +ac - v/d: hđt (a+b+c)2 Tính hiệu

c/mr: a = b = c suy ra (a-b)2+ c)2= 0

4/ Cho (a+b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2) - Tơng tự

c/mr: a = b = c

D.Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị biểu thức khác:

1/ Cho x + y = 2 ; x.y = 10 - V/d hđt : (A + B)2

Tính: a/ x2 + y2 ; b/ x3 + y3 - A3+B3 = (A + B)33AB(A+B)

c/ x4 + y4 ; d/ x5 + y5 - câu d v/d k.quả của a, b, c

2/ a Cho: x + y = 1

Tính : x3 + y3- 3xy - V/d hđt suy ra tính xy

b Cho: x - y = 1 - suy ra tính gtrị biểu thức

Tính : x3 - y3- 3xy

3/ Tổng 3 số a, b, c bằng 9 và tổng bình phơng

của chúng bằng 53 Tính : ab + bc + ac - V/d hđt : (A + B + C)2

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

= (a2+ a + 1 )(a6- a5 + a3- a2 +1)

Nếu tồn tại a mà f(a) = 0 thì f(x) = (x – a) Q(x)

- Lu ý: Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là: a  (a0)

2/ 4x4- 12x2 + 1 - Tách - 12x2 = 4x2 - 16x2 xuất hiện hđt: hiệu a2- b2

3/ x4+ 4y4 - Thêm bớt 4x2y2 xuất hiện hđt: (a+ b)2 và

2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

a/ A = x3 - 3x2 + 3x + 6 t¹i = 21 b/ B = x3 - 30x2 - 31x+ 1 víi x

= 31

3 Cho x + y + z = 0 Chøng minh x3+y3+z3 = 3zyz

4 C¸c sè sau b×nh ph¬ng cña sè nµo:

c/ x3- 6x2+ 16 = x3- 6x2+ 12x - 8 -12x + 24 = (x-2)3- 12(x-2) = (x-2)(x2+4x- 8)

d/ x3(x2- 7)2- 36x = x[x2(x4-14x+49x2) - 36] = x(x6-14x4+49x2-36)

= x[(x6-x4) - (13x4-13x2) + (36x2-36)]

= x[x4(x2-1) - 13x2(x2-1) + 36(x2-1)]

= x(x2-1)(x4-13x2+36) = x(x-1)(x+1)[x2(x2-9) -4(x2-9)] = x(x-1)(x+1)( x2-4) x2-9) = x(x-1)(x+1(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)

XÐt x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 + -3xyz

= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)

= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz) = 0.(x2+y2+z2xz) = 0

Suy ra x3+y3+z3 = 3zyz

4.(2 ®iÓm) a/ §Æt 9

n

Đ3 Tính chia hết, chia có d đối với đa thức

A Mục đích: HS nắm đợc phơng pháp c/m chia hết trong phếp chia

đa thức cho một số, đa thúc chia hết cho đa thức Biết tìm số d trongphép chia Rèn luyện kỷ năng vận dụng linh hoạt vào bài tập, bài tập nâng cao

B Nội dung:

I Đ/n: Với hai đa thức tuỳ ý A(x), B(x) (B(x)  0) Tồn tại duy nhất đa thức Q(x) và R(x) sao cho A(x) = B(x).Q(x) + R(x) (Bậc R(x) < bậc B(x) hoặc R = 0)

Xét mọi trờng hợp số d khi chia A cho m

Phân tích A thành m thừa số nguyên liên tiếp

- Với n lẻ thì (an+ bn)  (a+ b)

*) Các ví dụ:

Vd1: C/m đa thức: x2+ x - 2 chia hết cho x-1; x+2

Với x = 1 thì x2+ x - 2 = 12+ 1 - 2 = 0

2 Ph ơng pháp chứng minh đa thức chia hết cho đa thức:

P 2 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử là

3 Tìm điều kiện chia hết :

Vd: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B

A = n3+2n2- 3n + 2 ; B = n2- n

Ta có A = n3+2n2- 3n + 2 = n3 - n2 + 3n2 - 3n + 2 = n(n2- n) + 3(n2- n) - 2 = (n2- n)(n+3) - 2

Vậy 2100 chia cho 9 d 7

*) Đ/lý Bê Du: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x- a bằng giá trị f(x) tại x = a

Chứng minh: Do đa thức chia x - a bậc nhất nên số d trong phép chia f(x) cho x- a là một hằng số r

Ta có : f(x) = (x- a).Q(x) + r

Với x = a ta có : f(a) = 0.Q(x) +r = r Vậy f(a) = r (đpc/m)

Vd: Tìm số d khi chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 - 1

Hd: f(x) chia cho x- 3 thì d 7 suy ra f(x) = (x- 3).Q(x) + 7 (1)

f(x) chia cho x- 2 thì d 5 suy ra f(x) = (x- 2).Q(x) + 5 (2)

f(x) chia (x-2)(x-3) thì đợc thơng 3x còn d  f(x) = 3x.(x- 2)(x- 3) + ax+ b (3)

Với x = 3 thay vào (1) ta có 3a + b = 7 (4)

Với x = 2 thay vào (1) ta có 2a + b = 5 (5)

B Nội dung:

I Các kiến thức cần nhớ:

N A

C A

B A B A

B A B A

C A

.

D A

.

II Bài tập luyện tập:

1 Tìm đk để các phân tức sau đợc xác định:

a

15 2

3

2  



x x

x

c

3 2

1 5

Đáp số: a/ x -5 ; x 3 ; b/ x -1; x 1/2 ; c/ x

2 Tìm giá trị để phân thức bằng 0:

Giáo án BDHSG Toán 8

a

5 2

x x

x b

2 3

1

2

2 3

x x x

c

8 2

6 3 4 2 2

2

2 3 4 5

x x x x x

=

) 4 )(

2 (

) 1 )(

3 )(

x x

1

; 2

x x

x x

(vì x2+3 0) suy ra x = 1

3 Rút gọn phân thức:

a A =

999 1001 1001 1000

998 1002 1004

1000





đặt 1000 = x = (( 41)) (( 12)()( 12))

x

x x x

x

=

1

4 4

2 2

2 2

x x x

1

) 1 ( 4







x x

b B =

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

2 2

2

3 3

3

b a c a c b c b a

b a a c c b

Suy ra: B =

) )(

)(

(

) ( ) ( )

b a a c c b

b a a c c b

z y x

Vì x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 -3xyz

= (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z)

b

+

2 2

2



ac c

Hd: Tạo ra có abc và thay abc = 2 hoặc 2 = abc

M =

2



a ab

a

+

a ab abc

ab



abc c ac

c



 2 2

M =

2



a ab

a

+

a ab

a ab

)

z y x

(

) ( ) ( )

(

k c k b k

a

ck bk

Giáo án BDHSG Toán 8

= 22 22 22 22 2

)

(

) (

c b a

k

c b a k

a 

=

a

a c

b 

=

b

b c

a 

(1) Tính giá trị của biểu thức P = (1+

c

c b

a 

+ 2 =

a

a c

b 

+ 2 =

b

b c

a 

+ 2 

c

c b

a 

=

a

c b

a 

=

b

c b

a 

- Nếu a+b+c  0 suy ra a = b = c  P = 2.2.2 = 8

- Nếu a+b+c = 0 suy ra : a + b = - c

c b a

5 Tìm xz để phân thức có giá trị nguyên:

a/ A =

3

8 6

Hd: Tách phần nguyên, còn phần phân đa

về tử là hằng

b/ B =

1 2

1 8 3 2

2

2 3 4

x x x x

v/d t/c ớc để tìm x

Giáo án BDHSG Toán 8

c/ C =

2

2 6 2 3

2

2 3 4

Cộng vế theo vế  điều chứng minh

6.2/ Chứng minh với mọi n nguyên dơng thì:

a/ Phân số:

13 21 30

6 8 15

n n

Chứng minh x = y = z hoặc xyz= 1

Hd: Từ giã thiết suy ra x+1y = y +

x) - z)(z - y)(y - (x

z y

Nên (x-y)(y-z)(z-x)( x2y2z2 -1) = 0

Từ đó suy ra điều c/m

*) BT: 120  126 ( sptt8)

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày……tháng…… năm 201 - Tuần10 , Tiết:37 40

Đ5 dãy phân thức có quy luật

A Mục đích: Hs nắm đợc một số công thức tính tổng, tích áp dụng vào bài tập Rèn luyện kỷ năng tính toán kỷ năng vận dụng

2

1

+

8 5

1

+

11 8

b/ S2 =

7

1

5

+

13 7

6

+

13 7

6

+ + (6n 5)(66n1)) =

1 7

5



n n

1

+

5 4 3

2

+

4 3 2

2

+

5 4 3

2

+ + n(n12)(n2)] =

2

1

[

2 1

1

-

3 2

1

+

3 2

1

- 4 3

1

- (n1)(1n2)] = 4(n n(n1)(n3)2)

3 Tính tổng vận dụng công thức: 2 ( 1 ) 2

1 2





n n





n n n

= 2  2  2  2 

3

1 2

1 2

1 1





n

n n

*) BT: 128 135 (sptt8)

B Nội dung: Đề ra:

Câu 1: nN thì n2 + n + 6 không chia hết cho 5

Câu 2: Cho A =

16 16 8

4

16

2 3 4

a a

Vận dụng dấu hiệu không chia hết cho 5 xét tận cùng

Xét n2 + n = n(n+1) vì nN Do đó đây là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên có tận

4

16

2 3 4

a a

a

= ( 2 ) 2

) 2 )(

2 (

x) - z)(z - y)(y - (x

z y

y x

z y

x z

x z x z

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày……tháng…… năm 201 - Tiết:4552

Đ6 giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

của biểu thức chứabiến

A Mục đích:Hs nắm đợc phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

chứa biến Có kỷ vận dụng thành thạo vào giải toán dạng này

Nếu thoả mản 2 đk: +) A(x)  k (k là hằng số)

+)  x0 sao cho A(x0) = k

*) Ph ơng pháp: - Biến đổi A(x) = X2 + k  k (k là hằng số)

- Dấu ''='' xảy ra khi X = 0

- Kết luận: Vậy Min A(x) = k  X = 0

2/ Giá trị lớn nhất:

- Cho biểu thức A(x), ta nói k là giá trị lớn nhất của biểu thức A(x); kí hiệu Max A(x)

Nếu thoả mản 2 đk: +) A(x)  k (k là hằng số)

+)  x0 sao cho A(x0) = k

*) Ph ơng pháp: - Biến đổi A(x) = X2 + k  k (k là hằng số)

- Dấu ''='' xảy ra khi X = 0

- Kết luận: Vậy Max A(x) = k  X = 0

II Bài tập:

Dạng 1: A(x) là tam thức (đa thức)

BT1: Tìm Min của A, biết A = 4x2- 4x - 3 = (2x- 1)2 - 4  - 4

Dấu ''='' xảy ra khi 2x - 1 = 0  x = 1/2

3

0 3

2

x

x

x x

x x

x x

 x = 3

(v× Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x lµm cho A = 0)

4

3

khi x =

2 1

Vd2: T×m Min

N = 2

9 5 6



1 4

x   

= (2 21)2 3 22

x

x x

1 2

x

x x

suy ra x = 2 (t/m®k)VËy Min A = -3 khi x = 2

40

1

khi x = 10Vd3: T×m Min C = 2 2

) 1 2 (

3 6 4

®k: x 

2 1

Ta cã C = 2 2

) 1 2 (

3 6 4

= 2 2

) 1 2 (

1 ) 1 2 ( ) 1 4 4 (

x

= 2 2

) 1 2 (

1 ) 1 2 ( ) 1 2 (

= 1 -

1 2

DÊu "=" x¶y ra khi (y -

4

3

khi x =

2 3

Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

*) BT: 121  123; 301; 302 ( sptt8)

0 ) (

0 ) (

x h

x g

x f

x x

x

§k: x  3; x -1  x(x+1) + x(x-3) = 4x

 x2+ x + x2 - 3x = 4x

 2x2 - 2x - 4x = 0

DK x

x

x

3

0 0

3

0 2

y y y

y

§k: x 0; x  5  ( 55) 2 ( 55) 2( 5)(25 5)

y y

y

y y

y

y

 2(y+5)2 - (y-5)2 = y(y+25)

 2y2+20y+50 - y2+10y-25 = y2 + 25y

x x

a x

) )(

3 (

) )(

3 ( 2 ) )(

3 (

) 3 )(

3 ( ) )(

3

(

) )(

(

a x x

a x x a

x x

x x a x x

a x a

a

2

3

3 2

0

x khi x

x khi x

1 1

x khi x

x khi x

2/      

102

3 101

4 100

x

3

102 4

101 5

b

a    

1 1

1

1

4/          3

c

b a x b

a c x a

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày………tháng……….năm 201 - Tiết : 61  64

Đ8 phơng trình bậc cao

A Mục đích: H/s nắm đợc cách giải phơng trình bậc 2 trở lện Có kỷ năng giải biến đổi thành thạo pt bậc cao về dạng pt tích Rèn luyện kỷ năng phân tích thành nhân tử

Vậy pt có nghiệm x = 2; x = -3

7/ (x-4)(x-5)(x-x-6)(x-7) = 1680 (Tơng tự bt6)

8/ (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày……….tháng……… năm 200 - Tiết: 65 72

Đ9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình

A Mục đích: Hs nắm đợc cách giải bài toán bằng cách lập pt Có kỷ năng phân tích và giải toán linh hoạt dạng này

B Nội dung:

I Các b ớc giải: gián tiếp

- Chọn ẩn: trực tiếp (thờmg làm) ; điềukiện

Bớc 1: - Biểu thị số liệu cha biết qua ẩn và số liệu đã biết

- Tìm mối quan hệ giữa các đại lợng  phơng trình

Bớc 2: Giải phơng trình

Bớc 3: Nhận định kết quả (T/m đk) và trả lời

II Các dạng cơ bản:

1/ Toán về tìm số, quan hệ giữa các chữ số

- Tỉ số giữa hai sốầ và b là: a:b hay

- abc = 100a + 10b + c (a.b  N; 0 < a  9, 0 b9)

Vd: Tìm số có hai chữ số Biết rằng tổng hai chữ số đó bằng 12 Nếu

đổi hai chữ số cho nhau ta đợc số mới kém hơn phải tìm 18 đơn vị.2/ Toán công việc: (làm chung, làm riêng)

- Nếu toàn bộ công việc là a đơn vị thời gian, thì trong một đơn

3/ Toán chuyển động: Ba đại lợng tham gia: s = v.t  v =

Hd: Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô đi xuôi dòng

Khi đó vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng là: x - 6 (km/h)

Thời gian của ca nô ngợc dòng từ B A là :

12

36



x (giờ)Tổng thời gian cả đi lẩn về: (từ 7 giờ sáng đến 11 giờ 30 phút) là 4,5 giờ =

Hd: Qui về 1 đơn vị thời gian

1 giờ thì chảy đợc mấy phần của bể

? giờ thì chảy đầy 1bể

Bt2: Đầu năm học, một số H/s đợc mua một số sách vỡ và phải trả 72 nghìn đồng Nếu bớt đi 3 ngời thì mỗi ngời phải trả thêm 4 đồng Hỏi tổ có bao nhiêu ngời

Hd: Gọi số H/s của tố là x (x nguyên dơng)

Mỗi ngời phải trả là

x

72

(nghìn đồng)

Số H/s sau khi bớt còn lại : x - 3

Thì mỗi ngời phải trả

 (x-9)(x+6) = 0

 x- 9 = 0  x = 9 (T/mđk)

*) BT: 300 315 (sptt8)

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày…… tháng…… năm 201 - Tiết: 7380

Đ9 bất đẳngthức

A Mục đích: Hs nắm đợc k/n, t/c của bất đẳng thức, bất phơng

trình Vận dụng thành thạo t/c để c/m bất đẳng thức, giải và biện luận bất phơng trình

3/ a > b và c > d  a  c > b  d a > b thì an > bn (n

chẳn)

4/ a > b và nếu c > 0 thì ac > bc 8/ m > n > 0 và a > 1 thì am > an

nếu c < 0 thì ac < bc a = 0 hoặc 1 thì am = an

nếu c = 0 thì ac = bc 0 < a <

1 thì am < an

5/ a > b > 0 và c > d > 0  ac > bd

9/ Các hằng bất đẳng thức:

+) a2 0 (a) , dấu "=" xảy ra khi a = 0

+) a 0 (a) , dấu "=" xảy ra khi a = 0

+) Bđt Cô Si : (a + b)2  4ab dấu "=" xảy ra khi a = b

+) Bđt Bunhiacỗpki: (ax+by)2  (a2+b2)(x2+y2) dấu "=" xảy ra khi ax

= by

0 1 2

0 2

z y

y x

z y x

VËy c¸c sè cÇn t×m lµ x = 1, y = 2 , z = 1

Bt2: C/m: 22 22 22

a

c c

b b

b b

c





Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 8

Bt3: C/m (a + b + c)(

c b a

1 1 1



*) BT: 358 375 (sptt8)

0 ) (

0 ) (

0 ) (

x B

x A

x B

x A

0 ) (

0 ) (

0 ) (

x B

x A

x B

x A

3 Bpt ® a vÒ d¹ng bpt ph©n thøc:

B A((x x)) > 0  A(x) vµ B(x) cïng dÊu

B A((x x)) < 0  A(x) vµ B(x) tr¸i dÊu

*) Lu ý: - Khi nh©n hay chia hai vÕ cña bpt cïng víi mét sè ©m th× bpt

Đ1 phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

A Mục đích: Hs nắm đợc các phơng pháp chứng minh hai đờng thẳngvuông góc Rèn kỹ năng vận dụng linh hoạt vào bài tập

B Nội dung:

I Các ph ơng pháp:

1 ab tại 0 và = 900  a  b

Hoặc ABC có = 900  Â = 900 hay AC  AB

2 Vận dung T/c: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau

3 Vận dụng T/c: a// c và b  c thì a  b

4 Vận dụng địng lý Pi Ta Go (đảo)

Vd: ABC có AB2 + AC2 = BC2 suy ra ABC vuông tại A, hay AC  AB

5 Vận dụng T/c đờng cao, trực tâm của tamgiác, T/c đờng trung trực

6 Vận dụng T/c đờng trung tuyến, phân giác của tam giác cân, tam giác đều thì

củng là đờng cao

7 Vận dụng T/c trung tuyến ứng cạnh huyền

Vd: ABC có AM trung tuyến và AM = 1/2 BC  ABC vuông tại A, hay

ACAB

8 Vận dụng T/c của tứ giác đặc biệt:

- Hai đờng chéo của hình thoi, hình vuông thì vuông góc

- Hai cạnh kề của hình chữ nhật, hình vuông

9 C/m phản chứng

II Bài tập vận dụng:

Bt1: Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AD, BC kéo dài những đoạn thẳng sao cho

CE = DF = DC Trên DC kéo dài một đoạn sao cho CH = BC C/m AEFH.Hd: Vận dụng ph ơng pháp 1:

Bt3 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD kÎ BH AC, N vµ K lµ c¸c trung ®iÓm cña

Giáo án BDHSG Toán 8

Và từ đó có = để suy ra = 900

*) BT: 19 35 ( sptt8)

Giáo án BDHSG Toán 8

Ngày…… tháng…… năm 201 - Tiết:58

Đ2 phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song

A Mục đích: Hs nắm đợc các phơng pháp chứng minh hai đờng thẳngsong song Rèn kỹ năng vận dụng linh hoạt vào bài tập

6 T/c đờng trung bình của tam giác, hình thang

7 T/c các cạnh đối của hbh, hcn, h.thoi, h vuông

8 Tập hợp các điểm cách đều đờng thẳng cho trớc thì nằm trên ờng thẳng song song với đờng thẳng đó

9 Vận dụng định lý Ta Lét (đảo)

Vd:

) (

BC

MN AC

II Bài tập vận dụng:

Bt1: Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc AD Qua E kẻ đờng thẳng song song với CD

Cắt AC tại F Qua F kẻ đờng thẳng song song vơi BC cắt AB tại G

Chứng minh EG//BD

Vận dụng định lý Ta Lét: