Tài liệu ôn thi HSG Tin học 7

Ta gọi cây khung này là cây khung ngắn nhất.. Bài toán tìm cây khung ngắn nhất là một bài toán gặp trong thực tế : Thí dụ : Xây dựng mạng dây điện thoại nối N thành phố sao cho 2 thành p

Phần 3 Cây - CÂy khung ngắn nhất

I / Định nghĩa :

Cây là đồ thị hữu hạn , vô hớng , liên thông , không có chu trình , có ít nhất 2

đỉnh

II / Tính chất :

1 - Định lý 1 :

Nếu H là cây có N đỉnh thì H có các tính chất sau đây :

a) Thêm vào H một cạnh nối 2 đỉnh bất kỳ không kề nhau , H sẽ xuất hiện chu trình b) Bớt đi 1 cạnh trong H thì H không liên thông

c) Giữa 2 đỉnh bất kỳ của H luôn tồn tại 1 đờng đi duy nhất ( vậy H là đồ thị đơn)

d) H có N-1 cạnh

2 - Định lý 2 :

Nêú đồ thị G liên thông có N đỉnh và N-1 cạnh thì G là cây

Vậy cây là đồ thị liên thông có chu số bằng 0 ( suy từ công thức Ơle )

3 - Ghi chú :

Từ 1 đồ thị có thể hình thành nhiều cây khác nhau ( gọi là các cây khung của đồ

thị ) Trong số các cây khung của đồ thị , có 1 cây đợc tạo ra một cách đơn giản nh sau :

nối 1 đỉnh với n-1 đỉnh còn lại !

Số cây khung của 1 đồ thị đầy đủ là N n-2 ( N số đỉnh )

Số cây khung của một đồ thị có hữu hạn đỉnh là một số hữu hạn ,nên luôn tìm đợc ít nhất

1 cây khung có tổng độ dài nhỏ nhất ( nguyên lý biên ) Ta gọi cây khung này là cây khung ngắn nhất

Bài toán tìm cây khung ngắn nhất là một bài toán gặp trong thực tế :

Thí dụ : Xây dựng mạng dây điện thoại nối N thành phố sao cho 2 thành phố bất kỳ liên

lạc đợc với nhau và tổng đờng dây điện ngắn nhất Đó là bài toán tìm cây khung ngắn nhất Ngợc lại : Xây dựng mạng dây điện thoại nối N thành phố sao cho 2 thành phố bất

kỳ liên lạc đợc với nhau và tổng độ tin cậy trên các đờng dây điện là lớn nhất Đó là bài toán tìm cây khung dài nhất

III / Thuật toán Prim tìm cây khung nhỏ nhất :

B

ớc 1 : Khởi trị - Lấy 1 đỉnh i tuỳ ý đa vào tập đỉnh của cây Khi đó tập đỉnh của cây là

Đ = {i } Tập cạnh của cây là C =  ( Tập rỗng )

B

ớc 2 : Gán nhãn - Với mỗi đỉnh k không thuộc Đ , ta gán cho nó nhãn k(i ,d ) trong đó

i là tên đỉnh thuộc Đ ,kề với k , gần k nhất , còn d là khoảng cách giữa i và k Nếu trong Đ không tìm đợc đỉnh i kề với k thì gán cho k nhãn k( 0 , )

B

ớc 3 : Kết nap - Chọn đỉnh k không thuộc tập Đ , có nhãn d nhỏ nhất , kết nạp k vào

Đ Vậy Đ = Đ + { k } Nhãn của k là k( i ,d ) thì kết nạp cạnh ( i , k ) vào tập cạnh C Vậy C = C + { cạnh ( i , k ) } Gọi đỉnh k vừa kết nạp là i0

Nếu số đỉnh của Đ bằng N thì kết thúc , còn không chuyển sang bớc 4

B

ớc 4 : Sửa nhãn - Với mọi đỉnh k cha thuộc Đ có nhãn là k( i, d ) mà k kề với i 0 - là

đỉnh vừa đợc kết nạp vào tập đỉnh ở bớc 3 - ta sửa lại nhãn của k theo nguyên tắc sau : Gọi độ dài cung (i0 ,k ) là e

Nếu d > e thì đỉnh k có nhãn mới là k( i 0 , e )

_

Procedure Prim(w,n,s)

{v(i)=1 nếu đỉnh i đợc nạp vào cây , v(i)=0 nếu đỉnh i cha đợc nạp vào mst } begin

for i:=1 to n do v(i) := 0

v(s) := 1 { đánh dấu đã nạp đỉnh s vào mst }

E :=  { ban đầu tập cạnh của mst là rỗng }

for i:=1 to n-1 do { lần lợt đặt n-1 cạnh vào mst }

begin

min :=  for j := 1 to n do

if v(j) =1 then { j là đỉnh thuộc mst }

for k:= 1 to n do

if v(k)=0 and w(j,k)<min then begin

luuk := k

e := (j,k) min := w(j,k) end

v(luuk) := 1

E := E U {e}

end

return(E)

end

Thí dụ :

_

i e=15 i0 Nhãn mới

k (i0,15) +) i0 : vừa kết nạp vào Đ , k : không thuộc Đ

i 0 (i0,10)

k (i,23)

File d÷ liÖu vµo : PRIM.INT

6

0 16 3 12 0 0

16 0 12 0 7 0

3 12 0 13 16 10

12 0 13 0 0 5

0 7 16 0 0 16

0 0 10 5 16 0

File d÷ liÖu ra : PRIM.OUT

( 1, 3)= 3 ( 3, 6)= 10 ( 6, 4)= 5 ( 3, 2)= 12 ( 2, 5)= 7

Tong gia tri cay khung ngan nhat la 37

Uses Crt;

Const Fi = 'prim.txt';

Fo = 'prim.out';

Max = 200;

Var A : Array[1 Max,1 Max] of Byte;

D : Array[1 Max] of Boolean;

C : Array[0 Max] of record x1,x2 : Byte; end;

Nh : Array[1 Max] of record truoc,giatri : Byte; end;

N,dd,socanh : Byte;

{canh : Integer;}

{ -}

Procedure DocF; Var f : Text; i,j : Byte; Begin Assign(f,fi); Reset(f); Readln(f,n); For i:=1 to n do Begin For j:=1 to n do read(f,a[i,j]); Readln(f); End; Close(f); End; { -}

Procedure Napdinh1; Begin Fillchar(d,sizeof(d),False); d[1] := True; dd := 1; End; { -}

_ 12

16 3 13 5

12 10

16

7 16

3 2

5

6

Function Min(xj : Byte): Byte;

Var xi,p,i : Byte;

Begin

xi := 0; p := 255;

For i:=1 to N do

If d[i] then

If (p>a[i,xj]) and (a[i,xj]>0) then

Begin

xi := i; p := a[i,xj];

End;

Min := xi;

End;

{ -}

Procedure Gannhan;

Var xi,xj : Byte;

Begin

For xj:=1 to N do

If not d[xj] then

Begin

xi := Min(xj);

If (xi>0) and (A[xi,xj]>0) then

Begin

nh[xj].truoc := xi;

nh[xj].giatri:= A[xi,xj];

End

Else

If xi=0 then

Begin

nh[xj].truoc := 0;

nh[xj].giatri:= 255;

End;

End;

End;

{ -}

Procedure Ketnapthem;

Var p,j,xj : Byte;

Begin

p := 255;

For j:=1 to n do

If not d[j] then

Begin

If (nh[j].giatri<p) then

Begin

xj := j;

p := nh[j].giatri;

End;

End;

d[xj] := True;

Inc(socanh);

c[socanh].x1 := nh[xj].truoc;

c[socanh].x2 := xj;

dd := xj;

End;

{ -}

Procedure Suanhan;

Var xj : Byte;

Begin

For xj:=1 to N do

If (not D[xj]) and (A[xj,dd]>0) then

Begin

_

If Nh[xj].giatri>A[xj,dd] then

Begin

Nh[xj].truoc := dd;

Nh[xj].giatri:= A[xj,dd];

End;

End;

End;

{ -}

Procedure Hiencanh;

Var i,p : Byte;f : Text;

Begin

Assign(f,fo);

Rewrite(f);p:=0;

For i:=1 to n-1 do

Begin

p := A[c[i].x1,c[i].x2]+p;

Write(f,'(',c[i].x1:2,',',c[i].x2:2,')=',A[c[i].x1,c[i].x2]:3,' ':3);

End;

Writeln(f);

Writeln(f,'Tong gia tri cay khung ngan nhat la ',p);

Close(f);

End;

{ -}

Procedure TT_Prim;

Var Ok : Boolean;

Begin

SoCanh := 0;

Fillchar(nh,sizeof(nh),0);

Napdinh1;

Gannhan;

Ok := False;

Repeat

Ketnapthem;

If Socanh=N-1 then Ok:= True

Else Suanhan;

Until Ok;

Hiencanh;

End;

{ -}

BEGIN

Clrscr;

DocF;

TT_Prim

END

Ch¬ng tr×nh viÕt thu gän :

uses crt;

const max = 100;

fi = 'prim.inp';

fo = 'prim.out';

type m1 = array[1 max,1 max] of integer;

m2 = array[1 max] of 0 1;

cung = record i,j : byte end;

th = array[1 max] of cung;

var w : m1;

d : m2;

e : th;

n,s : byte;

procedure docf;

var f : text;

_

i,j : byte;

begin

assign(f,fi);

reset(f);

read(f,n,s);

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do w[i,j] := 1000;

while not eof(f) do

begin

read(f,i,j,w[i,j]);

w[j,i] := w[i,j];

end;

close(f);

end;

procedure hienf;

var i,j : byte;

begin

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do write(w[i,j]:5);

writeln;

end;

end;

procedure prim;

var i,j,k,lk : byte;

c : cung;

min : integer;

begin

for i:=1 to n do d[i] := 0;

d[s] := 1;

fillchar(e,sizeof(e),0);

for i := 1 to n-1 do

begin

min := maxint;

for j:=1 to n do

if d[j] = 1 then

for k:=1 to n do

if (d[k]=0) and (w[j,k]<min) then

begin

lk := k;

min := w[j,k];

c.i := j;

c.j := k;

end;

e[i] := c;

d[lk] := 1;

end;

end;

procedure hiencay;

var i : byte;

begin

for i:=1 to n-1 do write(e[i].i,'-',e[i].j,' ');

end;

BEGIN

docf;

clrscr;

prim;

hiencay;

END

_

_