a Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Tìm tất cả các điểm trên đồ thị C của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số.. Chứng minh rằng ADE∆ vuông và tìm
Trang 1ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2009
A PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= -x3 2x2- 7x- 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một tiếp
tuyến với đồ thị hàm số
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 cos 2 2
4
π
ç + = +÷
4log x−x log =2 3 log x
Câu III (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2 2 2
+ + = −
xy x y x y
2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009
Câu IV (1 điểm)
a) Cho tam giác đều ABC cạnh a ở trong mặt phẳng ( )α . Trên các đường thẳng vuông góc với ( )α kẻ từ B, C lấy các đoạn 2 2
2
a
BD= ,CE a= nằm cùng phía với ( )α . Chứng minh
rằng ADE∆ vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )α và (ADE )
b) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện cos A2 +2 2cos B+2 2cos C =3.
Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
B PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm)
a) Cho elíp( ) 2 2 1
E : + = và điểm M thuộc (E) Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (E) tại M và d cắt trục Ox, Oy tại A, B Tìm tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2 ≤ +x y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
P x= + y.
Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao
Câu Vb (2 điểm)
a) Cho biết các số phức z ,z đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng số phức 1 2 1 2
1 1 1
z z z
z z
+
= +
có phần ảo bằng 0
b) Cho x, y thỏa mãn x2 − +xy y2 ≤1. Chứng minh rằng
x xy y
.
x xy y
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2009 Câu I 2 điểm
b) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất
một tiếp tuyến với đồ thị hàm số
0 0 2 0 7 0 4
M x ; x − x − x − ∈ C ⇒ Phương trình đường thẳng d qua
0 0 2 0 7 0 4
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ sau có nghiệm
2
0,25
Thế k ở phương trình sau vào phương trình trước ta được
( )
0 2 0 2 0 2 0 0
f x
x x− x − x + x x− + x =
1444444444442444444444443
Để có một tiếp tuyến duy nhất thì f x( ) =0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép bằng x 0
0,25
Trường hợp 1: ( )2
0
3x 2 0
0
0
2
b x a
∆ =
− =
Vậy điểm cần tìm là 2 250
3; 27 .
0,25
Câu II 2 điểm
a) Giải phương trình 2sin 3 1 8sin 2 cos 2 2
4
π
ç + = +÷
• Điều kiện 3 0
4
π sin xæ ö÷ .
ç + ³÷
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được:
2 1 sin x6 1 8sin x2 8sin x2
-0,25
1 2 2
5
sin x sin x sin x sin x sin x
0,25
• Xét họ nghiệm
12
π
x= +kπ Kết hợp với điều kiện 3 0
4
π sin xæç + ³ç ö÷÷÷
çè ø ta suy
12
x= π + l π
0,25
Trang 3• Xét họ nghiệm 5
12
π
x= +mπ. Kết hợp với điều kiện 3 0
4
π sin xæ ö÷
ç + ³÷
çè ø ta suy
12
π
x= +( l+ )π.
• Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 5 2 1
x= π + l ; xπ = π +( l+ ) π
0,25
4log x−x log =2 3 log x
4log x−x log =2 3 log x ⇔4 4 log x−6log x =18 9 log x 0,25
• Đặt
2 2
t log x= ⇒ . − = . ⇔ − − = .
• Đặt
2 2
t
a
a
= ⇒ = − ⇒ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1
4
x= .
0,25
Câu III 2 điểm
( )
xy x y x y
+ + = −
• ( ) (1 ) ( 2 1) 0 0 ( ) ( )3
x y
x y
+ =
• Từ (3) và (2) ta có 0
x y
+ =
Hệ này vô nghiệm vì 0= + ≥ + =x y 1 0 1.
0,25
• Từ (4) và (2) ta có 2 1 0
x y
Giải hệ này ta được 5
2
x y
=
=
0,25
2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009
• Ta có (1 )n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n
x C C x C x C x− − C x
• Nhân hai vế với x ta được
x +x =C x C x+ +C x + + C x− +C x + 0,25
• Đạo hàm hai vế ta được
x nx x − C C x C x nC x− − n C x
• Cho x=1,n=2009, ta được
2009 2 2009 3 2009 2009 2009 2010 2009 2 2009 2
Câu IV 2 điểm
Trang 4Cho tam giác đều ABC cạnh a ở trong mặt phẳng ( )α . Trên các đường thẳng
vuông góc với ( )α kẻ từ B, C lấy các đoạn 2 2
2
a
BD= ,CE a= nằm cùng phía với ( )α Chứng minh rằng ADE∆ vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt
phẳng ( )α và (ADE )
Ta có
2
6 3
2
a
AE a= ; DE = . Do đó
AD +DE = AE ⇒ ∆ADE vuông tại D.
0.5
Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )α và (ADE là .) ϕ Ta có
2 3
1 4
ABC ADE
a S
.
b) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện
2 +2 2 +2 2 =3
cos A cos B cos C Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
Đặt M =cos A2 +2 2cos B+2 2cos C−3
Mà ∆ABC nhọn nên cos A cosA2 < và
sin cos − ≤sin , nên 0,25
2
M ≤ cos A+ sin − = − sin − ≤
Câu Va 2 điểm
a)
Cho elíp( ) 2 2 1
E : + = và điểm M thuộc (E) Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (E) tại M và d cắt trục Ox, Oy tại A, B Tìm tọa độ điểm M để diện tích
tam giác OAB nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại ( ) ( ) 0 0
x x y y
M x ; y ∈ E : + = .
Ta có
0,25
Do đó
OAB
Trang 5Ta có
2 2
6
0,25
Dấu bằng xảy ra
0 0
2 2
0 0
1
=
+ =
0,25
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2+y2 ≤ +x y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P x= +2y.
P x= + y=x− + y− + .
0.25
Mà theo bất đẳng thức Bunhicovsky, ta có
2 2
2
0.25
Do đó 3 10
2
P≤ + . Vậy 3 10
2
max
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi
x
y
0.25
Câu Vb 2 điểm
a)
Cho biết các số phức z ,z đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng số phức1 2
1 2
1 1 1
z z z
z z
+
=
+ có phần ảo bằng 0.
Vì z1 = ⇒ =1 z1 cosϕ1+i sin ϕ1 Vì z2 = ⇒1 z2 =cosϕ2+i sin ϕ2 0,25
Trang 6Ta có z1+ =z2 (cosϕ1+cosϕ2) (+i sinϕ1+sinϕ2)
2
0,25
Mặt khác 1+z z1 2 = +(1 cos(ϕ ϕ1+ 2) )+i sin(ϕ ϕ1+ 2)
2
0,25
1 2
1 2 2 2
cos
z
cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
b)
Cho x, y thỏa mãn x2− +xy y2≤1. Chứng minh rằng
x xy y
.
x xy y
Đặt
2x xy 4y
x xy y
=
− + Đặt
2 2
1
t t
t t
+ −
= ⇒ =
− +
Ta có (P−2)t2−(P+1) (t+ P+ =4) 0.
0,5
Trường hợp 1: P= ⇒ =2 t 2.
0,25
2 2 11 0
P
Suy ra điều phải chứng minh
0,25