BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG

BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNGBài 1: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ

BÀI TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

HD:

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a , b , c , d  9 , a  0 (0,25điểm)

Ta có: abcd  k 2

( a  1 )( b  3 )( c  5 )( d  3 )  m 2

2

k abcd  abcd  1353  m 2

(0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 )

(0,25điểm)

m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4

(0,25điểm)

Kết luận đúng abcd = 3136

Bài 2: Chứng minh rằng số n2 +2014 với n nguyên dương không là số chính phương

Hd:

Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2+2014 =k2 k2 – n2 = 2014

 (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n)  4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n 2 +4n + 2013 là một số chính phương

Bài 4: Tích của hai số lẻ liên tiếp cộng 1 là số chính phương.

Bài 5

a) Tìm các số nguyên x y , thỏa mãn 2 x2  3 xy  2 y2  7

b) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn:

6

a b b c c d d a

a b b c c d d a

    Chứng ming rằng: P abcd là một số chính

phương

với k, mN, 31  k  m  100

(0,25điểm)









hoặc hoặc

a b c d

0

0

 b c d d a    d a b b c     abc acd bd   2 b d2  0

( b d ac bd )( ) 0

Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương

b Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+

HD:

b,Từ bài toán trên ta có: x5-x  5 x5-x+2 chia 5 dư 2

 x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương nào có tận cùng là 2hoặc 7) Vậy:

x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x Z

Baif: c Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

HD:

Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ

HD:

) 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a

+ c  + a 