sáng kiến kinh ngiệm

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tôi nhận thấykhi dạy phần này tôi thường gặp những khó khăn sau đây:  Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, h

mà còn đòi hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao Đặc biệt để giải bài toán tìmGTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học…thườngđược sử dụng Trong phạm vi nào đó, việc dự đoán GTLN và GTNN còn đồi hỏikinh nghiệm , lẫn sự thông minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh.Hơn nữa, bài toán tìm GTLN và GTNN là dạng bài toán hay gặp trong các kì thitốt nghiệp, ĐH và CĐ.

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tôi nhận thấykhi dạy phần này tôi thường gặp những khó khăn sau đây:

 Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học

toán thì cũng “ngại” giải bài toán này

 Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc

chứng minh và cả việc kết luận bài toán

 Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, khi áp dụng bất đẳng thức đề

gỉai bài toán tìm GTLN và GTNN lại còn gặp rất nhiều khó khăn hơn Đặcbiệt, trong tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên không

dễ dàng tiếp thu và giải được

Thực tế trên đã làm cho tôi trăn trở rất nhiều năm Phải làm sao cho học sinhhứng thú học tập khi gặp bài toán này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài toán tìmGTLN và GTNN khi áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì vậy , tôi quyết địnhchọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn gópmột phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào công tác giảng dạy bài toán tìm GTLN vàGTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài toán trêntrong các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ

B Phương pháp thực hiện.

Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tôi thấy học sinh khó tiếpcận bài toán và hay mắc phải một số sai lầm để đi đến kết luận bài toán Do đó khidạy phần này tôi cho học sinh làm thật tốt bài toán bất đẳng thức , nắm vững cơ sở

lý thuyết cơ bản của bài toán GTLN và GTNN , giải bài toán trong phạm viphương pháp 1, phương pháp 2 (được trình bày trong phần nội dung) để làm nền

tảng vào phương pháp 3 (được trình bày trong phần nội dung), đồng thời chỉ ranhững sai lầm mà học sinh hay mắc phải.

C Thời gian thực hiện.

Tiết 44 , tuần 18 Tiết 64, tuần 25 Mà chủ yếu thực hiện trong thời gian làmbài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao

D Tài liệu tham khảo:

• Sách giáo khoa 10 nâng cao

• Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Nguyễn Văn Nho

• Một số bài viết trên diễn đàn toán học

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

PHẦN II NỘI DUNG.

A Kiến thức cơ bản bất đẳng thức ( BĐT ) :

I Tính chất cơ bản

* Quy ước: A≥B ⇔ A−B≥ 0 hay A≤B⇔A−B≤ 0

II Các phép toán về bất đẳng thức:

1) Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều:

A > B > 0

C > D > 04) Bình phương một BĐT dương

III Một số BĐT quan trọng:

1) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

a) |A+B| ≤ A+B

“ = “ ⇔ A, B cùng dấu TQ: a1+a2+ … + an≤a1+ a2+…+ an

b) A-B≤A-B

“ = “ ⇔ A, B cùng dấu

2) Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số thuộc dương a1, a2,…, an ≥0 Ta có:

Cho 2n số thực tùy ý : a a1 , , , ; , , , 2 a b b n 1 2 b n

Dạng 1: (a1.b1+a2.b2+ … + anbn)2 ≤ (a12+a12+…+a12)(b12+b12+…+bn2)

n

1

1

2 1

≤ + + +

Thật vậy: áp dụng BĐT Côsi cho n số dương:

n

a a

a

1 , , 1 , 1 2

Ta có:

n n n

a a

a

1

1 1 1

1 1

1 2

1

≥ + + +

 n

n

a a a a a

a

n

1

1

2 1

≤ + + +

Thật vậy: AD BĐT Shwartz dạng 1, ta có:

a n

a a

2

2 1

2 2

2 b a b

2 2

≤

+

− + +b ab a b a

⇔ (a-b)2 ≥ 0 (đúng)Vậy

2 2

2

2 b a b

ca bc ab c b

a+ + ≥ + + (1)

a c ac

b c bc

a b c ab bc ac

+ ≥ + ≥

Cách 2:

2 2 2 2

1 2

2 2

⇔ a b c a b c

2 2

2 2

II Dùng các bất đẳng thức thường gặp (BDT C ơ si – BDT Shwartz).

⇔ c (4b - 1)2 + b(c-1)2 ≥ 0 (đúng)

 b + c ≥ 16abc (đpcm)

Cách 3 : Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c)

⇔ b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c) ⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥16bc (*)

Để CM (*) ta xuất phát từ (b + c)2 ≥ 4bc

Ta cĩ: (b + c)2 ≥ 4bc ⇔ (b + c)2(1 + 16bc)2 ≥ 4bc (1 +16bc)2 ≥(4bc)2

⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng) Suy ra: b + c ≥16abc (đpcm)

≥ + +

− +

b c

a) CMR: b + c ≥ 16abc (TLTCNC)

c) CM: ab + bc + ca ≥ 2abc

Suy ra: (1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥ 64 abc

b c a c c

c c

4 2 4 1

1 1

1 1 1 1

n a a

1 1

1 1 1 1

2 1

a a a n

a a a a a

a a n

2 + ≥ + 1 n+ n.

a a n

a na

T tö:ï ( )( 1 )

2 3 2

3 +a ≥ n+ 1 n+ a n a na

n n

≥ + +

4

2 ≤ +

+

a

b a

8 + ≥

⇒a b

b) Ta có ( )2 1 2 1 ( 2 2)

.( 2 ) 1 1 2

2 2

3 4 2

3

2 2

2

2

≤ +

+

⇒

≤ +

+

⇒

≤ +

+

⇒

a

b a a

b a b

a

b a

• CMR tồn tại x0 ∈ D sao cho A(x0) = C.

• Kết luận GTLN của A(x) là C tại x = x0

Để tìm GTNN của bt A(x) với x D∈ ta làm như sau:

• CMR ∀ ∈x D ta có A(x) ≥C (C là hằng số )

• CMR tồn tại x0 ∈ D sao cho A(x0) = C.

• Kết luận GTNN của A(x) là C tại x = x0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

1.PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP NHÓM – SO SÁNH

Để tiến hành giải bài toán tìm GTNN và GTLN Ta có thể dùng các phép

biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu về dạng như sau:

Tất nhiên là dấu bất đẳng thức xảy ra trong miền xác định của các biến số

Chú ý : Nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở các bất đẳng thức đó.

x y

2 2

x x y

+ +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1

Vậy Max y D =7 khi x = - 1.

Lời bình : Bài toán trên có nhiều cách giải khác nữa Nhưng trong phạm vi kiến

thức của học sinh lớp 10, bài toán trên ta có thể giải bằng phương pháp đại sốkhác Đó là phương pháp đưa về việc khảo sát tam thức bậc hai, sẽ được trìnhbày ở phần 2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

Bài 1. Cho x y, ∈ ¡ thõa điều kiện x + y = 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Vậy MinC = 2 khi x = y = 1

Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Tìm GTLN của :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy MaxA = 1 khi a = b = c = 1

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

2

PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM

THỨC BẬC HAI.

i) Xét phương trình bậc hai : Ax2 + Bx + C = 0 , A≠ 0.

• Nếu phương trình có nghiệm thì ∆ ≥ 0

và so sánh với giá trị y (miền giá trị) ở hai trường hợp trước khi đ đến kếtluận.

2 2

x x y

3

y x y

Vậy Maxy = 4 khi x = 1/2 và Miny = -1 khi x = -2

Ví dụ 3 :

Tìm GTNN và GTLN của:

2 2

Suy ra Maxf(x) = Max{ max ; miny y} =Max{ 3 , 1− =} 3.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2

Vậy Minf(x) = 0 khi 1 1

2

x= − ∨ =x và Maxf(x) = 3 khi x = 2

Lời bình: Theo tôi học sinh lớp 10 muốn làm tốt những bài toán tìm GTLN và GTNN thì học sinh phải nắm vững phương pháp 1 và 2 nêu trên Sau đó cho học sinh tiếp cận những bài toán tìm GTLN và GTNN áp dụng BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI và BU- NHI- A- CỐP- XKI có phần phức tạp hơn.

3 PHƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY và SHWARTZ.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

4

x x

=



⇔  = Vậy MaxA D = 6 tại 5

2 1

x x x

Lời bình : Bài tập này học sinh có thể vội vàng kết luận miny = -5 tại x = -1 Mà

thực ra không có giá trị của x để f(x) = -5

nhưng học sinh lại gặp sai lầm mà tôi đã chỉ ra để học sinh khắc phục khi làm bài

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO .

3

x= = = ±y z Vậy Max S = 1

Bài 3 (TLTCNC): Cho x, y, z > 0 thõa xyz = 1.

2 2

y

x x

Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3.

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

PHẦN III KẾT QUẢ.

Những kinh nghiệm này tôi đã đúc kết từ nhiều năm và đã vận dụng trongnăm học này Khi áp dụng phương pháp này cho học sinh , nhất là khi tôi chỉ ranhững sai lầm của học sinh , tôi thấy học sinh tiến bộ nhiều hơn trong việc trìnhbày và việc kết luận bài toán Đặc biệt , những học sinh trung bình trong lớp tựnhiên khắc phục được những sai lầm Tôi tin chắc rằng kết quả này sẽ khả quanhơn trong việc ôn thi ĐH và CĐ

Mặc dù trong quá trình biên soạn tôi đã cố gắng hết sức, nhưng không tránhnhững thiếu sót Do đó rất mong được sự trao đổi và đóng góp ý kiến chân tìnhcủa quý thấy cô để SKKN này được áp dụng rộng rãi hơn

Phước long, ngày 15 tháng 2 năm 2009.

Người thực hiện

Nguyễn Văn Việt

NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

Xếp loại: …………

NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT PHƯỚC LONG ………

………

………

………

………

………

………

………

Xếp loại: ………

NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Xếp loại:………