2 Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi.. 1,0 điểm Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.. Một nhóm gồm 15 học sinh cả nam và nữ tham g
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO BẮC NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian
giao đề)
Câu I (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình 2 4
5
x
x y
ìï = ïí
ï + = ïî
2) Rút gọn biểu thức 2 1 1 ,
x P
+ + với x > 0.
Câu II (2,0 điểm)
Cho phương trình x2- 2mx m+ 2- 1 0 1 ,= ( ) với m là tham số.
1) Giải phương trình ( )1 khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình( )1 , lập phương trình bậc hai nhận
1 2 1 1 2
x - mx +m x - và 3 2 2
2 2 2 2 2
x - mx +m x - là nghiệm.
Câu III (1,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây
Câu IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O kẻ hai tiếp tuyến MA MB, với đường tròn ( ,A B là hai tiếp điểm) Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A và )
B Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với
MB (D Î AB, E Î MA,F Î MB) Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng
1) Tứ giácADCE nội tiếp một đường tròn
2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng.
3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF· .
4) Đường thẳng IK song song với đường thẳngAB
Câu V (1,0 điểm)
1) Giải phương trình (x2- x+1) (x2+4x+ =1) 6 x2
2) Cho bốn số thực dương x y z t, , , thỏa mãn x y z t+ + + =2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA (x y z x y)( )
xyzt
…HẾT …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:
SBD:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Trang 2TẠO BẮC NINH
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Câu I (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình 2 4
5
x
x y
ìï = ïí
ï + = ïî
2) Rút gọn biểu thức 2 1 1 ,
x P
+ + với x > 0.
Giải
1) ìïïí2x y x=4 5Û ìïïíy x=23
ï + = ï =
2
P
x x
=
x
x x
+
Câu II (2,0 điểm)
Cho phương trình x2- 2mx m+ 2- 1 0 1 ,= ( ) với m là tham số.
1) Giải phương trình ( )1 khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình( )1 , lập phương trình bậc hai nhận
1 2 1 1 2
x - mx +m x - và 3 2 2
2 2 2 2 2
x - mx +m x - là nghiệm.
Giải
1) Với m =2 PT trở thành x2- 4x+ = 3 0
Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1;x=3
2) Ta có D =' m2- m2+ = > "1 1 0, m
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Từ giả thiết ta có x i2- 2mx i +m2- 1 0,= i =1;2
x - mx +m x - =x x - mx +m - + -x =x - i =
Áp dụng định lí Viét cho phương trình ( )1 ta có 2
1 2 2 ; 1 2 1
x +x = m x x =m
-Ta có
Vậy phương trình bậc hai nhận 3 2 2
x - mx +m x - 3 2 2
x - mx +m x - là nghiệm
là x2- (2m- 4)x+m2- 4m+ =3 0
Câu III (1,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây
Giải
Trang 3Gọi số HS nam của nhóm là x (xÎ ¥;0< <x 15 ,) số HS nữ là 15- x.
Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là 30 và số cây các bạn nữ trồng được là 36 nên
Mỗi HS nam trồng được 30
x cây,
Mỗi HS nữ trồng được 36
15 x- cây.
Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có
-( )
81 450 0
6 (t/ m)
x
x
é = ê
Û - + = Û ê =ê &
Vậy có 6 HS nam và 9 HS nữ
Câu IV (3,5 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O kẻ hai tiếp tuyến MA MB, với đường tròn ( ,A B là hai tiếp điểm) Lấy điểm C trên cung nhỏ AB (C không trùng với A và )
B Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với
MB (D Î AB, E Î MA,F Î MB) Gọi I là giao điểm của AC và DE , K là giao điểm của BC và DF Chứng minh rằng
1) Tứ giácADCE nội tiếp một đường tròn
2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng.
3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF· .
4) Đường thẳng IK song song với đường thẳngAB
Giải
1) Hình vẽ câu 1) đúng
Ta có ·AEC =ADC· =900Þ AEC· +ADC· =1800 do đó, tứ giác ADCE nội tiếp.
2) Chứng minh tương tự tứ giác BDCF nội tiếp
Do các tứ giácADCE BDCF, nội tiếp nên ¶B1=F Aµ µ1, 1=D¶1
Mà AM là tiếp tuyến của đường tròn ( )O nên µ1 1sđ¼ ¶1 ¶1 µ1
2
A = AC =B Þ D =F
Chứng minh tương tự ¶E1=D¶2 Do đó, DCDE ∽ DCFD( )g.g
3) Gọi Cx là tia đối của tia CD
Trang 4Do các tứ giácADCE BDCF, nội tiếp nên DAE· =ECx DBF· ,· =FCx·
Mà ·MAB =MBA· Þ ECx· =FCx· nên Cx là phân giác góc ECF· .
4) Theo chứng minh trên ¶A2=D B¶ ¶2, 1=D¶1
A +B +ACB = Þ D +D +ACB = Þ ICK +IDK =
Do đó, tứ giác CIKD nội tiếp Þ K¶1=D¶1 mà ¶D1=B¶1Þ IK AB//
Câu V (1,0 điểm)
1) Giải phương trình (x2- x+1) (x2+4x+ =1) 6 x2
2) Cho bốn số thực dương x y z t, , , thỏa mãn x y z t+ + + =2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA (x y z x y)( )
xyzt
Giải
1) Dễ thấy x = không là nghiệm của phương trình nên0
Û çç + - ÷çç + + ÷=
Đặt t x 1
x
5
t
t
é = ê
- + = Û + - = Û ê =-ê Với t 2 x 1 2 x2 2x 1 0 x 1
x
2
x
x
x
-ê = ê ê
ê = ê
2) Ta có
2
4A x y z t x y z x y
xyzt
= 4(x y z t x y z x y) ( )( )
xyzt
³
2
4(x y z x y) ( ) 4.4(x y z x y) ( )
2
16(x y) 16.4xy 64
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
4 1 2 1
x y
x y z t
x y z t
z
x y z
t
x y
ìïï
ï + + + = ï