- 1906 – 1978 - Một trong 2 nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20 TIME, 31/12/1999 - Nhà logic vĩ đại nhất kể từ sau Aristotle John von Newman, Herman Weyl - Định lý Bất toàn của
Trang 1Cognitive Science in the light of Gödel’s
Theorem Khoa học về nhận thức dưới ánh sáng của Định lý
Gödel
Viet Hung Pham, Dec 2018
1/ Kurt Gödel là ai?
- 1906 – 1978
- Một trong 2 nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20 (TIME, 31/12/1999)
- Nhà logic vĩ đại nhất kể từ sau Aristotle (John von Newman, Herman Weyl)
- Định lý Bất toàn của Gödel là khám phá toán học vĩ đại nhất thế kỷ 201 (Perry Marshall),
- Định lý Bất toàn của Gödel sánh ngang với Thuyết Tương đối của Einstein và Nguyên lý Bất định của Heisenberg (The New Yorker)2
- Gödel là “Nhà phát minh thực sự của ngôn ngữ lập trình và các cấu trúc dữ liệu”
(Douglas Hofstadter)3
- “Ông tổ của Lý thuyết Thông tin, và có lẽ là khuôn mặt chủ yếu trong lịch sử tư tưởng nhân loại ngày nay là Kurt Gödel” (George Gilder)4
- “Tôi đến viện nghiên cứu chỉ cốt để có đặc ân được đi bộ về nhà cùng với Gödel” (Albert Einstein)
2/ Nội dung của Định lý Gödel
- Định lý 1: Trong toán học tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ (undecidability)
- Định lý 2: Toán học không thể tự chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó (mọi hệ logic đều cần đến những tri thức bên ngoài hệ logic đó)
1 Gödel’s Incompleteness Theorem: The # 1 Mathematical Discovery of 20th Century, Perry Marshall
2 Waiting for Gödel, By Siobhan Roberts, The New Yorker, 29/06/2016 https://www.newyorker.com/tech/annals-of-technology/waiting-for-godel
3 Tài liệu chú thích 2
4 Wikiquote, Kurt Gödel https://en.wikiquote.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del George Gilder là nhà văn, nhà kinh tế Mỹ.
Trang 2- Tóm tắt: “Định lý Gödel nói rằng một lý thuyết toán học đủ mạnh, nếu phi mâu thuẫn thì không đầy đủ, và không tự chứng minh được tính phi mâu thuẫn của mình” (Phan Đình Diệu)5
- Mệnh đề tự quy chiếu (self-referential statements):
● “I am a Liar!” (Epimenides)
● “I know that I know nothing” (Socrates)
● “This statement cannot be proved” (Kurt Gödel)
- Định lý logic: Mọi hệ tự quy chiếu đều dẫn tới mâu thuẫn (Paradox)
- Mệnh đề Gödel chứng minh sự tồn tại của một mệnh đề toán học hoặc mâu thuẫn hoặc không thể chứng minh:
G = The statement G cannot be proved = ⁓(3r:3s: (P(r,s) V (s=g(sub (f2(y)))))))
3/ Hệ quả triết học của Định lý Gödel
- Mọi hệ logic đều bất toàn: “To explain everything is impossible” (Gödel)
- Trong mọi lĩnh vực của nhận thức, không tồn tại TOE (Theory of Everything)
- Nguyên lý bổ sung (Complementary Principle) của Niels Bohr có thể áp dụng cho khoa học nhận thức
- Mọi hệ logic đều cần đến những tri thức ở bên ngoài hệ logic đó (các tiên đề)
- Trực giác là ngọn đèn soi đường cho logic
- Không thể giải thích được nguyên nhân đầu tiên của mọi hệ logic: Mọi lý thuyết về nguồn gốc là bất khả thi
- Nhận thức chỉ có thể đạt tới chân lý cục bộ, không thể nhận thức chân lý toàn phần (Thầy Bói Xem Voi, Penrose Triangle, Impossible Structures)
- Computer là hệ logic bất toàn điển hình Sự cố Dừng (The Halting Problem) của Alan Turing
- Bộ não sẽ không bao giờ hiểu đầy đủ về bộ não Con người sẽ khong bao giờ hiểu đầy đủ
về chính mình Do đó con người sẽ không bao giờ chế tạo ra được trí thông minh nhân tạo bằng con người
- Ý thức sẽ không thể giải thích được bản chất của ý thức (Science can’t crack
Consciousness, Edward Witten, Scientific American 08/2016)
- Bản chất người nằm ở những nơi computer bất lực
4/ Tác động của Định lý Gödel đối với toán học
- 1880 Emil du Bois-Reymond: 7 thách đố với tuyên bố “Ignoramus, Ignorabimus!”
- 1900 David Hilbert: “Trong toán học không có ignorabimus!” Hãy xây dựng cho số học một hệ tiên đề đầy đủ, độc lập và phi mâu thuẫn (Bài toán số 2 trong 23 bài toán Hilbert, Hội nghị Toán học Quốc tế, Paris, 1900)
- Chương trình Hilbert và Giấc mơ Siêu toán học (metamathematics)
5 “GS Tạ Quang Bửu, con người và sự nghiệp”, NXB Đại học Quốc gia Hà-nội, 2000, bài “Một bài học khó”, Phan Đình Diệu
Trang 3- 1901 Nghịch lý Russell, Nếu R={x x x∈ }
, thì R R∈ ⇔ ∉R R
, một thảm hoạ logic
- 1930, Königsberg, Hilbert: “… không có ignorabimus, … không có bất kể cái gì là không biết trong khoa học tự nhiên Để chống lại cái ignorabimus ngu xuẩn đó, khẩu hiểu của chúng ta phải là: Chúng ta phải biết – Chúng ta sẽ biết!”6
- 1931, Kurt Gödel công bố Định lý Bất toàn, chứng minh Chương trình Hilbert là bất khả thi, Siêu toán học là không tưởng
- John von Newman thay đổi lập trường
- 1934, Hilbert, “Die Grundlagen der Mathematik” (Cơ sở của Toán học): “Toán học là một khoa học không có cái gì là tiền giả định”
- Albert Einstein: “I don’t believe in mathematics”
- Hilbert thất bại, nhưng là một “thất bại vinh quang!” (a glory failure) (Greg Chaitin)
- Chủ nghĩa hình thức (Formalism), Bourbaki và Toán học Mới (New Maths)
- Phan Đình Diệu (xem chú thích 4):
“Các cấu trúc Bourbaki, được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp và logic cổ điển, là nền tảng để phát triển toàn bộ toán học, đó là niềm tin ban đầu mà các bài giảng của GS
Tạ Quang Bửu đã góp phần xác lập trong nhận thức của tôi Nhưng rồi niềm tin đó sớm
bị lung lay Hồi đó, tuy hiếm tài liệu, nhưng ham tìm thì rồi cũng có Tôi say mê tìm các tài liệu “phê phán” toán học cổ điển và thích thú đọc những hướng nghiên cứu xây
dựng toán học theo các quan điểm logic, trực giác, kiến thiết… Cũng nhờ đó, tôi đã được hưởng cái nhọc nhằn thú vị khi cố đọc cho hiểu Định lý Gödel với đầy đủ chứng minh tinh tế của nó Có lần tôi mang những thắc mắc về quan niệm “đúng, sai” trong toán học hỏi ý kiến GS, thì tôi biết được là tuy GS thuyết giảng về Bourbaki, nhưng GS cũng biết
khá rành về các khuynh hướng khác, và GS nói với tôi về “cái đúng của toán học phải
tìm ngoài toán học” (xem chú thích 4)
“Đây là một định lý toán học, không những có ý nghĩa toán học mà còn có ý nghĩa sâu sắc về nhận thức luận vượt ra ngoài phạm vi toán học”
- “…giữa hai phạm trù của cái đúng và cái sai, còn có phạm trù của cái “không thể quyết định được Phạm trù này thường lại rất phong phú” (Hoàng Xuân Sính)7
- Những bài toán không quyết định được:
● Goldbach Conjecture
● Cantor’s Continuum Hypothesis, chứng minh bởi Gödel (1938) và Cohen (1963)
5/ Tác động của Định lý Gödel đối với vật lý
- Không có TOE của vật lý
“Gödel & The End of Physics”, Stephen Hawking
“The Elusive Theory of Everything”, Stephen Hawking & Leonard Mlodinov
6 https://en.wikiquote.org/wiki/David_Hilbert
7 “GS Tạ Quang Bửu, con người và sự nghiệp”, NXB Đại học Quốc gia Hà-nội, 2000, bài “Một người thầy lỗi lạc, Anh Tạ Quang Bửu”, của Hoàng Xuân Sính.
Trang 4“We are not angels, who see the universe from the outside Instead, we and our models, are both part of the universe we are describing Thus a physical theory, is self referencing, like in Gödel’s theorem”
- Hạt Higgs và lực thứ 5? Câu hỏi của GS Phạm Xuân Yêm
6/ Tác động của Định lý Gödel đối với sinh học
- Không thể chứng minh nguồn gốc sự sống:
Thất bại liên tiếp của các thí nghiệm nhằm chứng minh nguồn gốc sự sống
Nguồn mã DNA? Giải thưởng 5 triệu USD “Evolution 2.0”
- Lord Kelvin: “Tôi cần phải nói công khai rằng sự khởi đầu và sự duy trì sự sống trên trái đất hoàn toàn vượt quá phạm vi của mọi phỏng đoán hợp lý trong khoa học động lực Đóng góp duy nhất của khoa học động lực cho sinh học lý thuyết là sự phủ định tuyệt đối
về sự khởi đầu tự động hoặc sự duy trì tự động của sự sống”8
7/ Tư tưởng của Gödel 9
- 1) Từ năm 1925 tôi đã là một người theo chủ nghĩa hiện thực về toán học và về các quan niệm Tôi không bao giờ có quan điểm coi toán học chỉ là những cú pháp của từ ngữ Đúng ra quan điểm này, hiểu theo bất kỳ ý nghĩa lý trí nào, đều có thể bị bác bỏ bởi những định lý của tôi
- 2) Cái mà tôi gọi là thế giới quan thần học là tư tưởng cho rằng thế giới và mọi thứ trong
nó có ý nghĩa và có lẽ phải, và đặc biệt một ý nghĩa tốt đẹp và không thể nghi ngờ… Tư tưởng cho rằng mọi thứ trên thế giới có một ý nghĩa hoàn toàn tương tự như nguyên lý cho rằng mọi thứ đều có một nguyên nhân, mà tất cả mọi khoa học đều nằm trên đó
- 3) Bộ não là một chiếc máy tính được kết nối với một linh hồn
- 4) Tôi không nghĩ bộ não hình thành theo kiểu Darwin Thực ra, kiểu hình thành của Darwin có thể bác bỏ Cơ chế đơn giản không thể tạo ra bộ não
- 5) Tôn giáo cũng có thể được phát triển như một hệ thống triết học dựa trên một hệ tiên
đề
- 6) Một khi bạn hiểu chính bạn, bạn sẽ hiểu bản chất con người và bạn sẽ hiểu mọi thứ còn lại
- 7) Trực giác không phải là chứng minh; nó là điều ngược lại của chứng minh Chúng ta không phân tích trực giác để thấy một chứng minh, mà bằng trực giác chúng ta thấy một điều gì đó mà không có một chứng mình nào cả
- 8) Không thể giải thích mọi thứ được
- 9) Ý nghĩa của cuộc sống là ở sự phân biệt ước muốn với thực tế
- 10) Có những thế giới khác và những thực thế có lý trí thuộc loại khác và cao hơn
- 11) Thế giới chúng ta đang sống trong đó không phải là thế giới duy nhất mà chúng sẽ sống hoặc đã sống
8 https://viethungpham.com/2016/08/09/kelvin-rejected-darwinism-kelvin-bac-bo-hoc-thuyet-darwin/
9 Gödel Quotations http://kevincarmody.com/math/goedel.html
Wikiquote/Godel https://en.wikiquote.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
Trang 5- 12) Có một triết học và thần học khoa học (chính xác) để xử lý những khái niệm trừu tượng cao cấp nhất; và đây cũng là thành quả cao nhất của khoa học
- 13) Nếu quả thật là có những vấn đề toán học không thể quyết định được bởi tư duy của con người thì điều đó có nghĩa là lý trí của con người hoàn toàn bất hợp lý khi đặt ra những câu hỏi mà nó không thể trả lời, trong khi cứ khăng khăng cho rằng chỉ có lý lẽ mới có thể trả lời những câu hỏi đó
- 14) Freeman Dyson, nhà vật lý lý thuyết người Mỹ, nhận định: Định lý Gödel, trong khi phủ nhận khả năng tồn tại một thuật toán vạn năng để trả lời mọi câu hỏi, lại đưa ra một
sự bảo đảm rằng toán học sẽ không bao giờ chết… nhờ Gödel, sẽ luôn luôn có những câu hỏi tươi mới và những tư tưởng tươi mới để khám phá
- 15) Toán học quá lớn đối với nhận thức của con người hoặc nhận thức của con người lớn hơn một cỗ máy
- 16) Sẽ không phải lo ngại vì chiến tranh nguyên tử nếu các lĩnh vực khoa học nhân văn như lịch sử, khoa học về quyền hạn và nhà nước, triết học, tâm lý học, văn học, nghệ thuật,… phát triển như vật lý học
PVHg, 18/12/2018
Tài liệu tham khảo
Impression on Gödel’s Theorem / Ấn tượng về Định lý Gödel https://viethungpham.com/2017/10/31/impression-on-godels-theorem-an-tuong-ve-dinh-ly-godel/
Waiting for Gödel / Chờ đợi Gödel https://viethungpham.com/2017/11/08/waiting-for-godel-cho-doi-godel/
On The Undecidability / Về Cái Bất khả Quyết định https://viethungpham.com/2017/11/22/on-the-undecidability-ve-cai-bat-kha-quyet-dinh/https://viethungpham.com/2017/11/22/on-the-undecidability-ve-cai-bat-kha-quyet-dinh/
Gödel’s Incompleteness Theorem: The # 1 Mathematical Discovery of 20th Century / Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20 https://viethungpham.com/2018/06/11/the-most-interesting-lecture-of-godels-theorem-bai-giang-hay-nhat-ve-dinh-ly-godel/