Cac dang toan hinh hoc lop 7

Các đường trong tam giác a Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm tam giác.. Ba đường phân giác cắt

- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180 0 , hai góc phụ nhau là hai góc có tổng bằng 90 0 , góc bẹt là góc

có số đo bằng 180 0 , góc tù là góc có số đo nằm trong khoảng từ 90 0 đến 180 0 , góc vuông = 90 0 , góc nhọn có

số đo nằm trong khoảng 0 0 đến 90 0

2 Đường trung trực của đoạn thẳng: Là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng.

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của

đoạn thẳng luôn cách đều hai đầu đoạn thẳng

M  d  MA = MB

3 Góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng:

- Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng sẽ tạo ra các cặp góc sole trong, sole ngoài, đồng vị, trong cùng phía

y

x'

O

3 Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì các cặp góc sole trong bằng nhau, các cặp góc sole ngoài bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía bù nhau.

5 Từ vuông góc đến song song:

GT Cho a ; b phân biệt ; a // b ; b // c

c

1 2 3 4

b a

6 Tổng 3 góc trong một tam giác: Trong một tam giác, tổng ba góc trong bằng

8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

*Trường hợp 1 : Hai cạnh góc vuông

- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

*Trường hợp 4 : Cạnh huyền và cạnh góc vuông

- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau

9 Tam giác cân

- Định nghĩa: ΔABCABC cân tại A  AB = AC

- Tính chất: ΔABC cân tại AABC cân tại A{B=^^ AB=AC C= 180−^A

2

10 Tam giác đều

- Định nghĩa: ΔABCABC đều  AB = BC = AC

- Tính chất: ΔABC cân tại AABC đều tại A  {AB=AC=BC B=^^ C=^A

đường trung trực cạnh đáy……

11 Tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:

12 Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.

14 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Đường xiên lớn hơn đường vuông góc, đường xiên nào lớn hơn

thì hình chiếu tương ứng lớn hơn và ngược lại.

GT A d  ;B,C  d AH ;   d   H

KL AH là ngắn nhất

Có AC > AB  HC > HB

AB = AM  HB = HM

15 Các đường trong tam giác

a) Đường cao: Là đường kẻ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm

gọi là trực tâm tam giác

b) Đường phân giác trong tam giác: Là đường chia góc trong tam giác thành 2 phần bằng nhau Ba đường phân

giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ( đường tròn tiếp xúc trong với 3 cạnh của tam giác) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác cách đều 3 cạnh tam giác

- Một điểm nằm trên đường phân giác của một góc luôn có khoảng cách tới hai cạnh bằng nhau

- Phân giác trong và phân giác ngoài của một góc vuông góc với nhau

- Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc đồng quy với đường phân giác trong của góc còn lại

d H

A

M

Tính chất: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó Nếu một điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nó nằm trên tia phân giác của góc đó.

c) Đường trung tuyến trong tam giác: Là đường kẻ từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến

đồng quy tại một điểm là trọng tâm tam giác

Nếu O là trọng tâm tam giác thì 2OE=OA; 2OD=OC; 2OF=OB

d)Đường trung trực trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó

Ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại 1 điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác)

- Một điểm bất kì nằm trên trung trực luôn cách đều hai đầu mút của đoạng thẳng

e) Đường trung bình trong tam giác: Là đường đi qua trung điểm của 2 cạnh bên tam giác Đường trung bình song

song và bằng một nửa cạnh đáy

CÁC CHÚ Ý ĐẶC BIỆT

- Trong tam giác cân, đường cao, đường trung tuyến, trung trực, phân giác của đỉnh cân là một.

- Trong tam giác đều, tất cả các đường từ một đỉnh là một.

- Trong tam giác vuông: đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền, cạnh đối diện với góc 30 0 cũng có độ lớn bằng nửa cạnh huyền.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HAY DÙNG TRONG HÌNH HỌC 7

1 Các phương pháp chứng minh định lý :

Muốn chứng minh định lý " Nếu A thì B " ( ký hiệu A ⇒ B) ta có thể dùng một trong những phương phápsau đây :

1 Chứng minh rằng từ A ta suy ra C rồi từ C ta suy ra B

Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh trực tiếp

2 Giả sử A ta suy ra ¯ B ( B ¯ có nội dung trái ngược với B ) ta dẫn đến một điều vô lý Vậy giả sử trên làsai, nghĩa là từ A suy ra B là đúng

Phương pháp này gọi là phương pháp: chứng minh phản chứng

2 Các phương pháp chứng minh hai góc là đối đỉnh :

Muốn chứng minh hai góc xOy và x'Oy' là hai góc đối đỉnh ta có thể dùng một trong những phương pháp sauđây :

1 Chứng minh rằng tia Ox là tia đối của tia Ox' ( hoặc Oy' ) và tia Oy là tia đối của tia Oy' ( hoặc Ox' ), tức làhai cạnh của một góc là tia đối của hai cạnh của góc kia ( định nghĩa )

2 Chứng minh rằng ∠ xOy = ∠ x'Oy' ; tia Ox và tia Ox' đối nhau còn hai tia Oy và tia Oy' nằm trên hainửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xx'

(hệ quả của định nghĩa )

3 Các phương pháp chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng

Muốn chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC ta có thể dùng một trong những phươngpháp sau đây:

1.Chứng minh rằng: AB + BC = AC và AB = BC (định nghĩa )

2.Chứng minh rằng: Điểm B nằm giữa hai điểm A, C và AB = AC (hệ quả của định nghĩa )

3.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC (hệ quả của định nghĩa ).

4.Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB, BC là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằngnhau

4 Các phương pháp chứng minh một đường thẳng là đường trực của một đoạn thẳng :

Muốn chứng minh rằng đường thẳng a là đường trung trực của đọan thẳng AB ta có thể dùng một trongnhững phương pháp sau đây :

1.Chứng minh rằng a vuông góc với AB tại trung điểm I của AB ( định nghĩa )

2 Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng a rồi chứng minh MA = MB

5 Các phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau:

Muốn chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh hai góc có cùng số đo

2.Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba,chứng minh hai góc cùng phụ với một góc ,chứng minh haigóc cùng bù với một góc

3.Chứng minh hai góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau

4.Chứng minh hai góc đó đối đỉnh

5.Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc

6.Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau

7.Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân

8.Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều

9.Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc

10.Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le)

6 Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau :

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo

2.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

3.Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

4.Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

5.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác đều, tam giácvuông, v.v

6.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng ,định nghĩa trungtuyến của tam giác,định nghĩa trung trực của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của một góc

7.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

8.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác trong tam giác,tínhchất giao điểm ba đường trung trực trong tam giác

9.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

7 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song :

Muốn chứng minh rằng a // b ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1 Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau : a 4 A 3

^A1= ^B1 hoặc ^A2= ^B2 ( dấu hiệu song song ) 1 2

2 Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau :

^A1= ^B3 hoặc ^A2= ^B4 hoặc ^A3= ^B1 hoặc ^A4= ^B2 b 2 1

(Dẫn tới dấu hiệu song song ) 3 B 4

3 Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau :

^A1+ ^B2=1800hoặc ^A2+ ^B4=1800 c

( Dẫn tới dấu hiệu song song )

4 Chứng minh hai góc sole ngoài bằng nhau

(Dẫn tới dấu hiệu song song )

5.Chứng minh hai góc ngoài cùng phía bù nhau

(Dẫn tới dấu hiệu song song ) c

6.Chứng minh a và b cùng vuông góc a

với một đường thẳng c nào đó

7.Chứng minh a và b cùng song song

với một đường thẳng c nào đó b

8 Để chứng minh a//b Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều vô lý ( chứng minh bằng phảnchứng )

8 Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc :

Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong những phương pháp sauđây :

1.Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông (định nghĩa ) 2.Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù

3.Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0 , ta chứng minh cho tam giác

có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 0

4.Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuônggóc với đường thẳng kia "

5.Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng.6.Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều

7.Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác

8.Chứng minh dựa vào định lí Pitago

9.Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung tuyến thuộc mộtcạnh bằng nửa cạnh ấy

9 Các phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông :

*Muốn chứng minh ∆ABC là tam giác cân ta có thể dùng một trong những phương pháp sau :

1.Chứng minh hai cạnh bằng nhau : AB = AC hoặc BA = BC hoặc CA = CB ( định nghĩa )

2.Chứng minh hai góc bằng nhau : B= ^C^ hoặc A= ^C^ hoặc B= ^A^ .

A A B

3.Chứng minh:Một đỉnh nằm trên đường trung trực của cạnh đối diện ( để dẫn tới định nghĩa )

4.Chứng minh : Đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh trùng với đường cao phát xuất từ đỉnh ấy (để dẫntới định nghĩa )

5 Chứng minh hai đường trung tuyến, hai đường cao…bằng nhau

*Muốn chứng minh ∆ABC là tam giác đều ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1.Chứng minh ba cạnh bằng nhau : AB = BC = CA ( định nghĩa )

2.Chứng minh ba góc bằng 600 : ^A= ^B=600 hoặc ^B= ^C=600 hoặc ^A= ^ C=600 .

3.Chứng minh : Tam giác ABC là tam giác cân có một góc bằng 60 0 (để dẫn tới định nghĩa )

*Muốn chứng minh ∆ABC là tam giác vuông ta có thể dùng một trong những phương pháp sau đây :

1 Chứng minh tam giác có 1 góc vuông

2.Dùng định lý Pytago đảo

3.Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”

11 Các phương pháp chứng minh đường vuông góc :

Muốn chứng minh AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng a ta có thể dùng một trong nhữngphương pháp sau đây:

1.Chứng minh : AH ¿ a (định nghĩa)

2.Lấy một điểm B tùy ý trên a Chứng minh AH < AB

(Dễ chứng minh AH ¿ a bằng phản chứng )

12 Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:

1.Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau x

Ta có ∠ BAx + ∠ xAC = 180 0

⇒ B, A, C thẳng hàng

B A C

2.Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng

3.Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng kia

A C B

AB = AC + CB

4.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng thứ ba

AB, AC cùng song song với a

hoặc BA, BC cùng song song với a ⇒ A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB cùng song song với a

5.Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh

Đường thẳng a đi qua A, nếu ta chứng minh được ^A1= ^ A2 thì ba điểm B, A, C thẳng hàng.

6.Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

AB, AC cùng vuông góc với a

hoặc BA, BC cùng vuông góc với a ⇒ A, B, C thẳng hàng

hoặc CA, CB cùng vuông góc với a

7.Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba

8.Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường cao, trong tam giác

a

13.Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:

Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta có thể dùng một trong những phương pháp sau:

1.Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao của hai đường thẳngtrên

2.Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng

3.Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường thẳng chứa các đường trung tuyến, cácđường phân giác, các đường trung trực, các đường cao của tam giác

14 Các phương pháp chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:

Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz

Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy

PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Cho hình vẽ, hãy tìm x.

Giải:

a, ^BAC=1000 ( đối đỉnh) nên ^BAC +^ DBA=1000+800=1800 mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía nên AC//BD ( dấu hiệu nhận biết)

Vì AC//BD nên ^ACD+^ CDB=1800(hai góc trong cùng phía) suy ra x= 180 0 -135 0 = 45 0

b, Tương tự: Chứng minh ME//NF rồi tìm x.( ĐS: x=90 0 )

Bài 2: Cho hình vẽ, hãy chứng minh AB//CD

HD: a, Từ O kẻ Ox song song với AB, Tính xOA rồi suy ra xOC, vì xOC+OCD=180 nên CD//Ox//AB

Bài 3: Cho hình vẽ biết a//b Hãy tính x?

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học

C

500x1450

Bài 4: Cho hình vẽ, đường thẳng nào song song với By? Vì sao?

HD: Gọi Bt là tia đối tia By, Tính góc ABt từ đó suy ra Ax//By//Cz

a) Nếu Cm//En thì C+ ^^ D+ ^E=3600

b) Nếu C+ ^^ D+ ^E=3600 thì Cm//En

HD: Kẻ Dx // Cm

Bài 7: Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

1300

HD: Gọi Om và On là hai tia phân giác của xOy và yOz, mOn=1

2.^xOy +1

2.^yOz=

1

2.( ^xOy+ ^ yOz) =90 0

Bài 8: Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù Tia Om là phân giác của góc xOy Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ xz chứa tia Oy, vẽ tia On sao cho: On vuông góc với Om Chứng minh rằng: Tia On là tia phân giác của góc yOz

HD: Dựa vào cách làm bài 7.

Bài 9: Cho đường thẳng xy, lấy điểm O thuộc xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ hai tia Oa, Ob sao cho

^

xOa=^ yOb<900 Vẽ tia Om vuông góc với xy Chứng minh rằng: tia Om là phân giác góc aOb

HD: Chứng minh Om nằm giữa aOb và bOm=^^ mOx dựa vào hai góc có tổng bằng 90 0

Bài 10: Cho góc xOy nhọn Từ điểm M trên cạnh Ox, dựng MN vuông góc với Oy tại N, dựng NP vuông góc với

Ox tại P, dựng PQ vuông góc với Oy tai Q, dựng QR vuông góc với Ox tại R Chứng minh rằng:

HD: a, Dựa vào tính chất từ vuông góc tới song song b, Dựa vào các góc sole trong, đồng vị.

Bài 11: Cho góc bẹt AOB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ 2 tia OM và OM sao cho ^AOM=^ BON =300

a) Hai góc AOM và BON có đối đỉnh không?

b) Vẽ tia OE sao cho tia OB là phân giác của góc NOE Hai góc AOM và BOE có đối đỉnh không? Vì sao?

Bài 12: Cho tam giác ABC có ^B=500 Trên tia đối của tia AB lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng không chứa C bờ AB

vẽ ^xOB=500

a) Chứng minh rằng: Ox//BC b) Qua A vẽ d//BC, Chứng minh rằng: ^ABC+^BAC+^ACB=1800

Bài 13: Cho tam giác ABC có ^A=2^B Tia phân giác của góc A cắt BC ở D Vẽ DE//AB, căt AC ở E Vẽ EF//AD, cắt

BC ở F Vẽ FG//DE, cắt AC ở D

a) Những góc đỉnh A, D, E, F nào bằng ^B

b) DE, EF, FG là phân giác của những góc nào? Vì sao?

Bài 14: Cho ^MON=1200 Vẽ OP và OQ nằm giữa hai tia OM và ON sao cho OP vuông góc với OM; OQ vuông góc

với ON

Bài 15: Cho ∆ ABC, phân giác BM (M∈AC) Vẽ MN // AB cắt BC tại N Phân giác góc MNC cắt MC ở P

a) CMR: ^MBC = ^BMN, BM // NP

b) Gọi NQ là phân giác của ^BNM, cắt AB ở Q CMR: NQ⊥ BM

Bài 14: Cho ^xOy = 1200 Lấy A ∈ Ox, B ∈ Oy Vẽ tia Am, An trong ^xOy sao cho ^xAm = 700, OBn^ = 1300 Chứng minh Am // Bn

Bài 16: Cho ^xOy và A ∈ Ox, B ∈ Oy Qua A dựng đường thẳng a ⊥ Ox Qua B dựng đường thẳng b ⊥ Oy Chứng minh rằng:

a) Nếu a cắt b thì ^xOy< 1800 b) Nếu a // b thì ^xOy = 1800 c) Nếu a ⊥ b thì ^xOy = 900

Bài 17: Cho ∆ ABC Trên cạnh AB lấy M, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, vẽ tia Mx sao cho ^AMx = ^B

a) CMR: Mx // BC và Mx cắt AC

b) Gọi D là giao điểm của Mx với AC Lấy N nằm giữa C và D Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm

B, vẽ tia Ny sao cho CNy^ = C^ CMR: Mx // Ny

Bài 18: Qua A ở ngoài đường thẳng a, vẽ 101 đường thẳng phân biệt CMR: có ít nhất 100 đường thẳng cắt a.

Bài 19: Cho ∆ ABC, phân giác AD, qua B kẻ đường thẳng d // AD.

a) Chứng tỏ: d cắt AC tại E b) CMR: ^ABE = ^AEB

c) Vẽ m qua A và vuông góc với AD, cắt BE tại F CMR: AF là phân giác của ^EAB và m⊥EB

Bài 20: Cho ∆ABC Vẽ phân giác ngoài tại A của ∆ABC Từ B kẻ d//AD.

a) CMR: d cắt AC tại E b) CMR: ^ABE= ^AEB

b) Từ B kẻ b⊥AD, từ A kẻ a // b CMR: b⊥d và a là phân giác góc BAC

Bài 21: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí sau :

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau

Bài 22: a) Hãy viết định lí nói về một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.

b) Vẽ hình minh họa, viết GT/KL bằng kí hiệu

Bài 23: Phát biểu định lí, viết GT, KL được diễn tả bởi

a) Hãy phát biểu định lí được diễn tả bởi hình vẽ sau

b) Viết giả thiết và kết luận của định lí đó bằng kí hiêu

c

b a

Bài 25: Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận của định lí: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.”

Bài 26 : Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Nếu hai đường thẳng cùng vuông goc với một

đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.”

Bài 27: Cho hình vẽ bên Biết hai đường thẳng a và b

song song với nhau và ^A1

1/ Hãy viết tên các cặp so le trong và các cặp góc

B A

B

A

D C

2) Tính số đo x của góc ABD

Bài 30: Vẽ hình theo trình tự sau:

a) Góc xOy có số đo 600 , điểm A nằm trong góc xOy

b) Đường thẳng m đi qua A và vuông góc với Ox

c) Đường thẳng n đi qua A và song song với Oy

Bài 31: Cho đoạn thẳng AB dài 12cm Hãy vẽ đường trung trực của đoạn thẳng ấy Nêu rõ cách vẽ Bài 32: Hình vẽ sau cho biết a//b

^A=40 ; ^ AOB=90,

Tính số đo của góc ^B1

1 B

A B

1 1

H.2 1300

A

B C

z C

x A

Bài 35: Cho hình vẽ Biết ^B1 = 400; C^2 = 400

a) Đường thẳng a có song song với đườngthẳng b không ?

c b

a A

? n

m 120°

B

A

D C

Bài 40: Cho hình vẽ bên Biết E là trung điểm của

AB ; ME vuông góc AB tại E và ME, MF lần lượt

là tia phân giác của ^AMB và ^AMC

1/ Vì sao EM là đường trung trực của đoạn thẳng

a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Trên đường thẳng

aa’ lấy điểm O Vẽ tia Ot sao cho góc aOt tù Trên

nửa mặt phẳng bờ aa’ không chứa tia Ot vẽ tia Ot’

sao cho góc a’Ot’ nhọn

b) Dựa vào hình vẽ cho biết góc aOt và a’Ot’ có phải

là cặp góc đối đỉnh không? Vì sao?

Bài 43 :

Cho 2 đường thẳng cắt nhau , trong 4 góc tạo hành có 1

góc có số đo bằng 50

a Hãy kể tên các cặp góc đối đỉnh

b Tính số đo của 3 góc còn lại

Bài 44 : cho hai đường thẳng MN&PQ

cắt nhau tạo thành PAQ330

330

a Tính số đo các góc còn lại

A M

N P

Q

b Vẽ Ot là tia phân giác của góc PAN

Hãy tính số đo của góc TOQ , &MOQ

Vẽ Ot’ là tia đối của tia Ot , Chứng tỏ Ot’ là tia phân giác của

góc MAQ

Bài 45 : Hai đường thẳng MN và PQ cắt nhau tạo thành 4 góc

trong đố tổng 3 trong 4 góc đó có số đo là 290 Tính số đo của

các góc đó

Bài 46 : Cho đường thẳng xy đi qua điểm O vẽ tia Oz sao

cho ^xOz=1350 Trên nủa mặt phẳng bờ không chứa tia

Oz vẽ tia Ot sao cho ^yOt =900 Gọi OV là tia phân giác

của ^xOt

a) Chứng tỏ rằng Oz và Ov là hai tia đối nhau

b) Các góc ^xOv & ^yOz có phải là hai góc đối đỉnh

không ? Vì sao

Bài 47 :Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ giao nhau tại O

sao cho góc xOy = 450 Tính số đo các góc còn lại trong

hình vẽ

Bài 48 :Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ giao nhau tại O

Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy; vẽ tia Ot’ là tia phân

giác của góca x’Oy’ Hãy chứng tỏ Ot’ là tia đối của tia

Ot

Bài 49 : Cho 3 đường thẳng phân biệt xx’; yy’; zz’ cắt

nhau tại O; Hình tạo thành có:

a) bao nhiêu tia chung gốc?

b) Bao nhiêu góc tạo bởi hai tia chung gốc?

c) Bao nhiêu góc bẹt?

d) Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?

Bài 50: Từ kết quả của bài tập số 9, hãy cho biết:Nếu n

đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm có bao nhiêu

góc bẹt? Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?

Bài 51 : Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong góc

tạo thành có một cặp góc đối đỉnh có tổng số đo bằng

0

130 tính số đo mỗi góc

Bài 52 : Vẽ hai đường thẳng cắt nhau trong đó các góc tạo

O M

N P

Q

thành có 1 góc có số đo là 90 , chứng tó rằng mỗi góc 0

còn lại có số đo đều bằng nhau

Bài 53 : Hãy thực hiện các công việc sau

a Vẽ góc xOy600

b Vẽ góc x’Oy’ là góc đối của xOy

c Vẽ tia Ot là tia phân giác của góc xOy

d Vẽ tia ot’ là tia đối của tia Ot

e viết tên 6 cặp góc đối đỉnh và tính số đo của mỗi

Bài 55 : Cho hìnhchữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và

BD giao nhau tại O Gọi tên các cặp góc đối đỉnh có trên

hình vẽ

Bài 56 :trên đường thẳng xy lấy điểm O Vẽ tia Ot sao cho

góc xOt bằng 300 Trên nửa mặt bờ xy không chứa Ot vẽ

tia Oz sao cho góc xOz = 1200 Vẽ tia Ot’ là tia phân giác

của góc yOz Chứng tỏ rằng góc xOt và góc yOt’ là hia

góc đối đỉnh

CHƯƠNG 2 BÀI TẬP HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Chú ý: Có 3 TH bằng nhau của tam giác, trong chương này để chứng minh hai cạnh, hai góc bằng nhau

ta thường đưa về hai tam giác bằng nhau, hoặc chứng minh qua cạnh, góc trung gian.

I BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Các câu sau đúng hay sai?

1 Tam giác có 2 góc bằng 45 là tam giác vuông cân.

2 Hai tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau thì cặp góc còn lại tương ứng cũng bằng nhau

3 Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì cặp cạnh tương ứng còn lại cũng bằng nhau

4 Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác bằng nhau

5 Tam giác cân có một góc bằng 60 là tam giác đều

6 Tam giác cân có 1 góc bằng 45 là tam giác vuông cân

7 Nếu tam giác có độ dài 3 cạnh là 3,4,5 thì tam giác đó là tam giác vuông

8 Hai tam giác đều thì bằng nhau

9 Góc ngoài của tam giác luôn lớn hơn mỗi góc trong của tam giác đó

10 Nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân này bằng cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau

11 Trong tam giác cân , đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đương trung trực của cạnh đáy

12 Tam giác ABC vuông A, M là trung điểm BC, nếu B=300, AM=6cm thì AC=6cm

13 Tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC, AB=2cm, AC=1cm thì AM=√5

2 .

14 Nếu hai tam giác cân có hai cặp cạnh bên bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau

15 Nếu cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân này bằng cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó bằng nhau

16 Nếu hai tam giác cân có trung góc ở đỉnh thì hai cạnh đáy song song nhau

17 Nếu hai cạnh và một góc của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và một góc của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

18 Nếu 3 tam giác cân ANM, BNM, CNM cùng trung cạnh đáy MN thì A,B,C thẳng hàng

19 Nếu hai tam giác vuông cân có một cặp cạnh góc vuông bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau

20 Trong tam giác cân các góc có thể là góc nhọn hoặc tù

II BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Cho tam giác ABC có ^A=40, AB = AC Gọi M là trung điểm của BC Tính các góc của tam giác AMB

và tam giác AMC

HD: DABC cân tại A

Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = AC D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC Biết AD = AE.

a Chứng minh ^EAB=^DAC

b Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là phân giác của ^DAE

c Giả sử ^DAE=60 Tính các góc còn lại của tam giác DAE.

HD: DDAE cân tại A

Bài 3 Cho DABC có AB = AC Kẻ AE là phân giác của góc ^BAC (E thuộc BC) Chứng minh rằng:

a DABE = DACE

b AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Bài 4 Cho DABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD của ^BAC ( D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE

= AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC Chứng minh rằng:

a DBDF = DEDC

b BF = EC

c F, D, E thẳng hàng

d AD  FC

Bài 5 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho

OA = OB ; OC = OD (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D)

a Chứng minh DOAD = DOBC

b So sánh 2 góc CAD^ và CBD^

Bài 6 Cho DABC vuông ở A TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a Chứng minh DABC = DABD

b Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M Chứng minh DMBD = D MBC

Bài 7 Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA =

OB Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì Chứng minh:

Bài 9 Cho DMNP , E, F là trung điểm MN và MP Vữ Q sao cho F là trung điểm EQ CM:

a NE=PQ b DNEP=DQPE c EF//=1/2NP

Bài 10 Cho DABC có góc A=900 Đường cao AH, trên BC lấy M sao cho CM=CA, trên AB lấy N sao cho AN=AH,

a Góc CAM=góc CMA b AM là phân giác BAH, c MN vuông AB

Bài 11 Cho DABC có A=1200, phân giác AD, kẻ DE vuông AB, AF vuông AC CM:

a DE=DF và góc EDF=600

b lấy K nằm giữa EB, I nằm giữa FC sao cho EK=FI CMR: DK=DI

c Từ C kẻ đường thẳng //AD cắt AB tại M tính các góc DAMC

d Tính AF cho AD=4cm

Bài 12 Cho DABC vuông A phân giác BE, kẻ EH vuông BC, AB giao HE tại K CMR:

a DABE=DHBE b BE là trung trực AH

c EK=EC d AH//KC

HD: a, DABE=DHBE (ch-gn) c, DHEC=DAEK (cgv-gnk) d, KC vuông BE

Bài 13 Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy A, Oy lấy B sao cho OA=OB, tại A kẻ đt vuông góc Ox cắt Oy tại D, tại B

kẻ đt vuông Oy cắt Ox tại C DA giao BC tại E

a CMR: OE là phân giác xOy

b EC=ED

c OE giao CD tại H, CMR: OE vuông CD

d Cho ^AOB=600, CD=18cm, tính OH?

HD: a, DOEB=DOEA(ch-cgv) suy ra DCEA=DDEB(cgv-gnk) suy ra DOEC=DOED

c,DOHC=DOHD(ch-gn) d, DOCD đều

Bài 14 Cho DABC vuông A AH vuông BC, HP vuông AB, kéo dài để PE=PH, kẻ HQ vuông AC kéo dài để

QF=QH CNR:

a DAPE=DAPH ; DAQH=DAQF

b A là trung điểm EF c BE//CF

Bài 15 Cho DABC có AB>AC, từ trung điểm M của BC vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc A, cắt phân

c CMF^ +^MFC = C^, ^EMB =180-^MEB -^B , cộng 2 vế đẳng thức trên, chú ý ^AFM = ^AEM

Bài 16 cho góc xAy, M thuộc Ax, N thuộc Ay sao cho AM=AN, At là phân giác xAy, lấy P thuộc At.

a CMR: DAMP=DANP

b kẻ PH vuông Ax, PK vuông Ay, chứng minh DMHP=DNKP

c lấy Q trong xAy, sao cho QM=QN, chứng minh A,P,Q thẳng hàng

HD: b NP=MP và góc ^KNP =^HMP (theo a) c DNAQ=MAQ nên AQ là phân giác MAN,

Bài 17 Cho DABC có AC>AB, trên CA lấy E sao cho CE=AB các đường trung trực của cạnh BE và AC cắt nhau tại

O CMR:

a DAOB=DCOE b OA là phân giác góc A

HD:a Gọi trung trực EB và AC là H và P, DEOH=DBOH; DAOP=DCOP nên OA=OC; OE=OB

b Góc OAP^= OCE^ mà OCE^= OAB^

Bài 18 Cho tam giác ABC có AB=AC, góc A<900, kẻ BD vuông AC, trên AB lấy E sao cho AE=AD CMR:

a ED//BC b CE vuông AB

HD:a DAED và DABC cân tại A nên góc B=gocE mà 2 góc này sole trong

b Chứng minh DBEC=DCDB suy ra E=D=90 0

Bài 19 Cho xOy=900, vẽ cung tròn tâm O bán kính tùy ý cắt Ox tại A, Oy tại B Từ 1 điểm C tùy ý trên cung AB kẻđường thẳng //AB cắt Ox tại A’, Oy tại B’ CMR: CA’2+CB’2 không đổi.

HD: Kẻ HC vuông OB, CP vuông OA, suy ra CA’ 2 +CB’ 2 =2HC 2 +2CP 2 =2CO 2 =2R 2

TAM GIÁC VUÔNG-CÂN-ĐỀU Chú ý: Có 4 TH bằng nhau của tam giác vuông, Trong tam giác cân hoặc đều đường cao là phân giác, trung trực… Trong tam giác vuông, trung tuyến bằng nửa cạnh huyền, cạnh đối diện góc 30 0 cũng

bằng nửa cạnh huyền.

Bài 1:

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC ( H BC ) Cho biết AB = 13cm; AH = 12cm; HC = 16cm Tính các

độ dài các cạnh AC; BC (HD: Dùng Pitago AC=20cm; BC=21cm)

c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?

d/ Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng AM,BH,CK đồng quy

HD: a DABD=DACE b DBDH=DCKE (ch-gn) c DOBC cân tại O vì ^B= ^ C d, Chỉ ra A,O,M thẳng hàng

c/ Gọi I là giao điểm BH và CK Chứng minh ^KAI=^ HAI

d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P Chứng minh AI  BC tại P

HD: b DAHB=DAKC c DKAI=DHAI d DABH=DACH

a/ Chứng minh: HB = HC và ^BAH =^ CAH.

b/ Tính độ dài AH

c/ Kẻ HD  AB ( D  AB ), Kẻ HE  AC (E  AC ) Chứng minh: êHDE là tam giác cân

HD: a, DABH=DACH b Pitago AH=3cm c DBHP=DCHE

c) AI là đường trung trực của BC

HD:b DEAI=DDAI c Gọi H là giao AI và BC, DABH=DACH

Cho êABC có góc A bằng 600 Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I

a) Cho biết CBA=2 ^^ ACB Tính số đo ^ACB

a) Chứng minh rằng: êABD = êEBD.

a) êADE là tam giác đều

b) êDEC là tam giác cân

Bài 16: Cho đoạn AB=7cm, trên AB lấy C sao cho AC=2cm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax và By cùng

vuông góc với AB Lấy D trên Ax, E trên By sao cho AD=10cm, BE=1cm

a) Tính CD, CE

b) Chứng minh CD vuông góc CE

HD: b Kẻ DH vuông By, suy ra ADHB là HCN, từ đó tính ED

Bài 17: Tam giác ABC có góc A tù, ^C = 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH, tính BH

(HD: HA=1/2AC=20cm Từ đó dung Pitago tính HB)

Bài 18: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC.

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D Trên tia đối của tia HA lấy một điểm E

sao cho HE = AD Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F Chứng minh rằng EB  EF

HD:AD=HE nên AH=DE, BF 2 =AB 2 +AF 2 =BH 2 +AH 2 +AD 2 +DF 2 ;

BF 2 =HB 2 +DE 2 +HE 2 +DF 2 =BH 2 +HE 2 +DE 2 +DF 2 =BE 2 +EF 2

Bài 21: Cho D ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.

a/ Chứng minh rằng D ABC cân

b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.

HD:a Kẻ MK vuông AB, MP vuông AC, suy ra MK=MP, vì dt(AMB)=dt(AMC) nên AC=AB

b BC=2BM

Bài 22: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau.

a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều

b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là

a √ 3

2 , tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.

HD: a Dùng công thức diện tích D ABC b Đặt MB=x, suy ra AB=2x

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, ^C = 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC Chứng minhrằng tam giác OBC cân

HD: Vẽ D đều BMC, góc OBM^=15 0 ; gọi H là trung điểm OB =>D HMB = D ABC, H = ^A ^ = 90 0

Bài 24: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 800 Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc OBC^ = 300; góc

^

OCB = 100 Chứng minh rằng D COA cân

HD: vẽ tam giác đều BCM, DOBC=DAMC(g.c.g) nên CO=CA

Bài 25: Cho D ABC cân tại A, Â = 1000 Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO^ =

300 Tính góc CAO^

HD:Vẽ tam giác đều BCM, góc CAO^= CMA^+^MCA

Bài 26: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 300 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx  BA Trên tia Bxlấy điểm N sao cho BN = BA Tính góc ^BCN

HD: kẻ By sao cho BC là phân giác ^NBy Lấy D sao cho BD = BA.

Bài 27: Cho DABC cân tại A, Â = 1000 Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC Tính góc CBD^.

HD: Dựng tam giác đều ADE ; ^BAE =40 0 ; DBAE=DABC (c.g.c) nên AB=BE=AC; DADB=DDEB(c.c.c) nên

b Tam giác AOB cân

HD: a, ^MOC =150 0 ; DBOC=DMOC nên OCB^= OCM^ mà OCB^= OCA^

Bài 29: Cho DABC cân tại A, Â = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc ^BAI = 500; trên cạnh AC lấy điểm Ksao cho góc ^ABK = 300 Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H Chứng minh rằng D HIK cân

Bài 30: Cho DABC vuông cân ở A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d (D, E 

d) Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi

HD: DADB=DCEA(ch-gn)

Bài 31: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao

cho góc ^EMF = 900.Chứng minh rằng AE= CF

Bài 33: Cho D ABC cân tại A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M sao cho

MA = MB Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN

Cho D ABC cân tại B (^B<90), vẽ AD  BC và CE  AB Gọi H là giao điểm của AD và CE

a) Chứng minh : D ABD = D CBE

b) Chứng minh: DBED cân

c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA Chứng minh ^ECA=^ DMC

d) Gọi N là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm B, H, N thẳng hàng

Bài 35: Cho ∆ ABC có C=60^ 0, ^ A=450, trên tia đối của BC lấy D sao cho BC=2DC Tính CDA^?

HD: Kẻ MB vuông AC, BC=2DC=2CM, DM=MB=MA Suy ra CDA^=45.

Bài 36: Cho DABC cân A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, trên tia đối BC lấy M sao cho MA=MC, trên tia đối AM lấy

N sao cho AN=BM

a ^AMC=^ BAC

b CM =CN

c Tìm điều kiện DABC để CM vuông CN.

HD: a ^AMC=^ BAC =1800−2 ^C , b DABC cân tại A có ^A=45

Bài 37: Cho DABC cân A có ^A<90 , kẻ BD vuông AC, CE vuông AB, BD giao CE tại K

a DBCE=DCBD

b DBEK=DCDK

c AK là phân giác góc BAC

d Ba điểm A,K,I thẳng hàng ( I là trung điểm BC)

Bài 38: Một cây tre cao 9m bị gãy ngang than, ngọn cây trạm đất cách gốc 3m Hỏi tử chỗ gãy tới gốc là bao nhiêu?

HD: x 2 +3 2 =(9-x) 2

Bài 40: trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(5;4), B(2;3), C(6;1) Tính các góc của DABC

HD: DABC vuông cân.

Bài 41: Cho DABC trung tuyến AM cũng là phân giác,

a Chứng minh DABC cân

b AB=37cm, AM=35cm, Tính BC?

HD: Vẽ MH vuông AB và MK vuông AC Thì DMHA=DMKA (ch-gn)

Bài 42: Cho DABC, đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3 phần bằng nhau

a CMR: DABC vuông

b CMR: DABM là tam giác đều?

HD: Vẽ MI vuông AC suy ra BH=MH=MI=1/2BM=1/2MC nên C=30^ 0

Bài 43: Cho DABC vuông tại A, trên BC lấy M,N sao cho BM=BA; CA=CN, Tính góc ^MAN?

HD:góc MAN=180-M1-N1=45.

Bài 44: Cho DABC nhọn có ^A=60, M và N là trung điểm AB,AC, đường cao BD

a DBMD và DAMD là tam giác gì?

b Trên tia AB lấy E sao cho AE=AN CMR: CE vuông AB

HD: a, MD=MA=MB=AB:2 b, DAEN đều nên EN=AC:2=NC, ^ENC=1200 nên CEN =30^ 0, suy ra

HD: a, Chỉ ra ^DAF=180 b, Kẻ AH vuông BC, DHAC=DF’CE gn) nên F’F=CH, DHBA =DD’DB gn) nên DD’=HB,

(ch-Bài 46: Cho DABC có góc B=2C, kẻ AH vuông BC, trên tia đối BA lấy BE=BH, EH cắt AC tại F, CMR:

FH=FA=FC

HD: DHEB ,DFHC, cân vì ^EHB=^ HBE=^ CBA :2 mà C=^B: 2^

DFHA cân vì ^FHA +^ FHC=900; ^ACH +^ CAH =900 mà ^FHC =^ACH

Bài 47: Cho DABC có BC=2AB, M là trung điểm BC, D là trung điểm BM, CMR: AC=2AD.

HD: Trên tia đối AD lấy DE=DA suy ra ME=MC(cùng =AB)

Có: AB//EM nên ^EMA+^ MAB=1800, CMA+^^ AMB=1800 mà ^MAB=^ AMB nên CMA^=^EMA

=>DAME=DAM nên AE=AC.

Bài 48: Cho DABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài DABC tam giác cân CBD(cân tại D) Gọi H là trung điểm BC.

Chứng minh rằng: CD2=DH2+AH2

HD: Gọi H là trung điểm BC thì AH=HC=HB(tính chất đường trung tuyến tam giác vuông)

Vì DCDB cân tại D nên DH vuông BC => CD 2 =DH 2 +CH 2 =DH 2 +AH 2

Bài 49: Cho DABC vuông cân tại A, d là đường thẳng bất kì qua A (không cắt đoạn BC) Từ B và C kẻ BD và CE

cùng vuông góc với d

a CMR: BD//CE

b DADB=DCEA

c BD+CE=DE

d Gọi M là trung điểm BC CMR: DDAM=DECM và DDME vuông cân

HD: b, DADB=DCEA(ch-gn) d, DDAM=DECM(c.g.c) do AM=MC, ^DAM=45+^ DAB ; ^ ECM =45+^ ECA ; ^DMA=^ EMC nên ^ DME=90

Bài 50: Cho DABC cân tại A có A<450 Qua M thuộc BC (MB<MC) kẻ MH//AB, MI//AC.CMR:

a DAIH=DMHI

b AI=HC

c Vẽ N sao cho HI là trung trực MN, CMR: NI=IB

d NH giao AB tại D, CMR: Chu vi DAHD không đổi khi M thay đổi

HD: a, DAIH=DMHI(g.c.g) b, AI=MH và DHMC cân H, c, IN=IM và DIMB cân I,

d, ND=DA nên Chu vi = AD+DH+HA=NH+HA=MH+HA=AC

Bài 51: Cho đoạn thẳng BC, trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx và Cy cắt nhau tại A sao cho CBx=2 ^^ BCy,

Kẻ AH vuông BC, trên tia đối Bx lấy E sao cho BE=BH, EH giao AC tại D CMR:

Bài 52: Cho điểm M nằm giữa B và A, trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ tam giác đều MAC và

MBD, AC cắt BD tại O, CMR:

a DAOB đều

b MC=OD và MD=OC

c DA=BC

d Gọi I và K là trung điểm AD và BC, chứng minh DMIK đều

e DA giao BC tại E, tính góc CEA?

HD: b, DMOD=DOMC (g.c.g) c, DODA=DACB (c.g.c) d, DIDM=DKBM(c.g.c) chú ý góc

^

KBM =^ IDM =^ DAO , e, CEA=180-ECA-EAC=180-(ECM+60)-(60-EAM)=60

Bài 53: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD vàACE

a, CMR: BE = CD

b, Gọi I là trung điểm B, K là trung điểm CE, M là trung điểm BC

CMR: Tam giác IMK vuông cân

HD:a, DADC=DABE (c.g.c) b, DC vuông BE và DC=BE, IM và MK là đường trung bình.

Bài 54: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM

= MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.Chứng minh: AE = BC

HD: AB cắt EI tại F, BA//DC nên DCAI=DFIA, => DAEF=DCBA

Bài 55: Cho tam giác ABC cân có AB=AC=5cm, BC= 8cm.Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC)

b, BH=4cm , áp dụng ĐL Pytago cho DABH để tính AH.

c, DBDH=DCEH(ch-gn) nên DH=HE.

d, HD=HE<HC

Bài 56: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH

a, Chứng minh DABH =DACH và AH là tia phân giác của góc BAC

c, Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG

d, Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F Chứng minh C, G, F thẳng hàng

HD:

a, DABH=DACH(ch-cgv) nên ^BAH =^ CAH (hai góc tương ứng).

b, Áp dụng định lí Pytago cho DABH.

c, Vì H là trung điểm BC, E là trung điểm AC nên AH,BE là hai đường trung tuyến của DABC, suy ra G là trọng tâm DABC nên HG=1/3.AH.

d,Vì H là trung điểm BC và HF//AC nên HF là đường trung bình =>F là trung điểm AB, mà G là trọng tâm DABC nên C,G,F thẳng hàng.

Bài 57: Cho tam giác ABC có CA= CB= 10cm, AB= 12cm Kẻ CI vuông góc với AB Kẻ IH vuông góc với AC, IK

a, Chứng minh IB= IC và tính độ dài CI

c, HK// AB

HD:

a,b, Tương tự bài 55,56.

c, DAHI=DBKI nên AH=BK => CH=CK =>DCHK cân nên HK//AB.

Bài 58: Cho DABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H Biết AB= 10cm, BH= 6cm

c trên BA lấy D, CA lấy E sao cho BD= CE.Chứng minh DHDE cân

d AH là trung trực của DE

HD:

c, DBDH=DCEH(c.g.c) nên DH=HE

Bài 60: Cho DABC cân tại A có góc A < 900 kẻ BH vuông góc với AC ,CK vuông góc với AC.Gọi O là giao điểm của

BH và CK

b DOBK =DOCK và DOBC cân

c trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy I sao cho IB=IC.Chứng minh 3 điểm A, O, I thẳng hàng

HD:

a, DABH=DACH.(ch-gn)

b, Theo a =>BK=HC và ^ KBO=^ HCO => DKOB=DHOC(cgv-gnk) nên OB=OC.

c, Gọi M là trung điểm BC , Vì DABC, DOBC, DIBC nên AM vuông BC, OM vuông BC, IM vuông BC suy ra O,I,M thẳng hàng.

Bài 61: Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB BD và CE cắt nhau tại H

c, DABC cân, DAED cân nên ED//BC

d, ^HCK =^ MCK , ^ACM=^ ACB+^ BCM =^ ACB +^ HCK =^ B+^ HCK =900

Bài 62: Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB BD và CE cắt nhau tại H

a AH là trung trực của BC

b Trên tia BD lấy K sao cho D là trung điểm của BK.So sánh góc ECB và góc DKC

HD:

a, Theo bài 61, DEHA=DDHA nên ^EAH =^ DAH

Bài 63: Cho ∆ABC cân tại A.vẽ trung tuyến AM Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E.kẻ MF vuông góc với AC tại

F

b AM là trung trực vủa EF

c Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường này cắt nhau tại D.Chứng minh A,M,D thẳng hàng

Bài 64: Cho ∆ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của AC.Trên tia đối MB lấy D sao cho DM= BM

c Trên tia đối CA lấy E sao cho CA= CE.Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE

Bài 65: Cho ∆ABC cân tại A (AB = AC ), M là trung điểm của BC Gọi D là điểm là điểm nằm giữa A và M Chứngminh rằng:

a AM là tia phân giác của góc A?

b êABD = êACD

c êBCD là tam giác cân ?

Bài 66: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD Kẻ DE vuông góc với BC (E ¿ BC) Gọi F là giao điểmcủa BA và ED Chứng minh rằng:

c Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC

Bài 68 :Cho ∆ ABC vuông tại A.Vẽ đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA

a C/m góc BAD = góc ADB

b C/m AD là phân giác của góc HAC

c Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC) C/m AK = AH

Bài 69 Cho tam giác ABC vuông tại A Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D Từ D kẻ DH vuông góc với BC tại H

và DH cắt AB tại K

a Chứng minh: AD = HD

b So sánh độ dài cạnh AD và DC

c Chứng minh tam giác KBC là tam giác cân

Bài 70:Cho Δ ABC vuông tại A, có BC = 10cm ,AC = 8cm Kẻ đường phân giác BI (IAC) , kẻ ID vuông góc với

a Tính AB

c Chứng minh BI là đường trung trực của AD

d Gọi E là giao điểm của BA và DI Chứng minh BI vuông góc với EC

Bài 71 : Cho DABC cân tại A (^A<900) Kẻ BDAC (DAC), CE AB (E AB), BD và CE cắt nhau tại H

a Chứng minh: BD = CE

c Chứng minh: AH là đường trung trực của BC

d Trên tia BD lấy điểm K sao cho D là trung điểm của BK So sánh: góc ECB và góc DKC

Bài 73 : Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AB,AC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M là trung điểm của DE

Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MB

c Kẻ phân giác AK của góc BAC Chứng minh AK // CF

HD:

b, EF=BD mà BD=EC nên EF=EC.

c, Kéo dài EF cắt AK tại G,

^

BAG=^ AGF (sole );mà ^ BAG=^ GAE nên ^ GAE=^ EGA=¿∆ AEG cân E=¿AG song song FC

Bài 74:Cho tam giác ABC vuông tại A, A BC = 600 Tia phân giác góc B cắt AC tại E Từ E vẽ EH ¿ BC ( H ¿

BC)

c HE cắt BA tại M, MC cắt BE tại N Chứng minh NM = NC

Bài 75 Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C=300 Tia phân giác góc B cắt BC tại E Từ E vẽ EH ¿ BC ( H ¿

BC)

a So sánh các cạnh của tam giác ABC

d Từ H kẻ HK song song với BE (K thuộc AC ) Chứng minh : AE=EK=KC

Bài 76 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE Kẻ EH vuông góc với BC (H  BC) Gọi K là giao điểm của AB và HE Chứng minh rằng:

a DABE = DHBE

b BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH

c Tam giác EKC cân

Bài 77 Cho ∆ABC cân tại A ( góc A nhọn ) Tia phân giác của góc A cắt BC tại I

a Chứng minh AI vuông góc BC

b Gọi D là trung điểm của AC, M là giao điểm của BD với AI Chứng minh rằng M là trọng tâm của tâm giác ABC

c Biết AB = AC = 5cm; BC = 6 cm Tính AM

Bài 78 Cho D ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của AC Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho DM = BM

a Chứng minh D BMC = D DMA Suy ra AD // BC

c Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE Chứng minh DC đi qua trung điểm I của BE

Bài 79 Cho tam giác ABC có AB < AC và tia phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE =AB

Bài 80 Cho góc xOy = 1200 Điểm A thuộc tia phân giác của góc đó Kẻ AB vuông góc với Ox (B ¿ Ox) ; AC vuông

a AB = AC

c Kẻ BE vuông góc với phần kéo dài của Oy tại E Cho OE = 3cm; Oc = 5cm Tính BC?

d Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?

Bài 81 Cho DABCcân có AB = AC = 5cm, BC = 8cm Kẻ AH vuông góc BC (HBC)

a Chứng minh: HB = HC

b Tính độ dài AH

d So sánh HD và HC

Bài 82: Cho DABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD = CE (D nằm giữa B và E)

Bài 83: Cho tam giác ABC có ^A = 900, AB = 8cm, AC = 6cm

a Tính BC

b Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB Chứng minh ∆BEC = ∆DEC

c Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC

Bài 84: Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 ; AC> AB Kẻ AH ¿ BC Trên DC lấy điểm D sao cho HD = HB Kẻ

CE vuông góc với AD kéo dài Chứng minh rằng:

a Tam giác BAD cân

b CE là phân giác của góc

c Gọi giao điểm của AH và CE là K Chứng minh: KD// AB

d Tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác AKC đều

Câu 85: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH  BC ( H  BC)

b Tính độ dài BH biết AH = 4 cm

c Kẻ HD  AB ( d  AB), kẻ EH  AC (E  AC) Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?

Câu 86: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC)

a Chứng minh : HB = HC và góc CAH = góc BAH

b.Tính độ dài AH ?

Bài 87 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE Gọi M là

giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng :

a BE = CD

c AM là tia phân giác của góc BAC

Bài 88 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE

a Chứng minh DE // BC

b Từ D kẻ DM vuông góc với BC , từ E kẻ EN vuông góc với BC Chứng minh DM = EN

c Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân

d Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I Chứng minh AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAC

Bài 89 Cho tam giác cân ABC có Â = 450 , AB = AC Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC ở M Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM Chứng minh rằng :

a A ^M C=A ^BC

c Tam giác MNC vuông cân tại C

Bài 90 Cho tam giác ABC vuông ở A có

AB

AC =

5

Bài 91 Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD

và BCE Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD Chứng minh rằng :

a AE = BD

c Tam giác MNC là tam giác đều.

Bài 92 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE Các

đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I Chứng minh :

c BG = GH

Bài 93 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh BC lấy điểm D Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE

Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M Từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N

a Chứng minh MD = NE

b MN cắt DE ở I Chứng minh I là trung điểm của DE

c) Từ C kẻ đường vuông góc với AC , từ B kẻ đường vuông góc với AN chúng cắt nhau tại O Chứng tỏ AO là đường trung trực của BC

Bài 94 Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối tia AC lấy điểm D sao cho DA=AC Chứng minh tam giác BCD

vuông

Bài 95 Cho tam giác ABC đều, Tia phân giác góc ABC cắt AC ở D, tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E Gọi O là

giao điểm của BD và CE.CMR:

a BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB

b OA= OB = OC

Bài 96 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AC = 20cm Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Biết BH= 9cm,

HC=16cm Tính AB và AH

Bài 97 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ AH vuông góc với BC tại H Biets AB = 10cm.AH=8cm, HC=15cm Tính chu vi

tam giác ABC

Bài 98 Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ AH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng: BH2+CH2+ 2AH2 = BC2

Bài 99 Cho tam giác ABC có AB=8cm, AC= 6cm, BC= 10cm Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1cm Tính độ

dài đoạn thẳng BD

Bài 100 Cho tam giác ABC vuông tại A Biết 3AB= 4AC và BC= 20cm Tính độ dào các cạnh AB và AC.

Bài 101 Cho tam giác ABC vuông tại A , Vẽ AH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng AH2 = BH.CH

Bài 102 Cho tam giác ABC có góc A= 300 Dựng bên ngoài tam giác ABC tam giác đều BCD Chứng minh rằng AD2

a Tam giác AED cân tại đỉnh A

b DE // BC

c BE= ED = DC

Bài 107 Cho tam giác ABC, phân giác AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở E, qua E kẻ đường

thẳng song song với BC cắt AB tại K Chứng minh:

a Tam giác AED cân

b Tam giác DEF đều,

Bài 110 Cho tam giác đều ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3 AB Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với

AB cắt AC tại E Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F

Chứng minh rằng:

a DF vuông góc với BC

b Tam giác DEF đều

Bài 111 Cho tam giác ABC có góc B= 500 Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia phân giác của góc B ở E

a Chứng minh tam giác AEB cân

b Tính góc BAE

Bài 112 Cho tam giác cân ABC( AB= AC) Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho AD = AE

Gọi M là trung điểm của BC.CMR:

a DE//BC

Bài 113 Cho DABC Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt

AB ở D, cắt AC ở E Chứng minh rằng: DE= BD + CE

Bài 114 Cho tam giác đều ABC Trên tia đối các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao cho AD= BE =

CF.chứng minh tam giác DEF đều

Bài 115 Cho tam giác ABC vuông cân ở A Trên đáy BC lấy hai điểm M, N sao cho BM= CN= AB

a chứng minh tam giác AMN cân

b tính góc MAN

Bài 116 Cho DABCcó góc A = 600 Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều AMB và ANC

a Chứng minh M,A, N thẳng hàng

b.BM= CN