8202-30215-1-PB

Tài liệu tham kháo 1.

10(4) :41-48 T a p chi T in hoc và Diều khien hoc 12-1994

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU LẶP GlÁl PHƯƠNG TR ÌN H

TÍCH PHÂN K Ỳ Di FREDHOLM LOẢI III*

Lê Xuân Q uáng

Viẹn Cong nghệ thôn g tin

1 Đặt vấn ỡ ề

Hàng lo ạt bài t o á n đ à n h ồ i, k lm ỵ ê c h t á n , cơ học c h â t lỏng, c h ấ t khi v v đ ư ợ c

đ ư a về p h ư ơ n g t r i n h tich p h â n kỳ dị E re d h o lm loại III s a u (x e m [1], [2]):

A x ( t ) = t mx(t) + Ị h ' ( t , s ) x ( s ) , ! s = y ( t ) , ( - 1 < t < 1), (1)

trong đó m G N, K ( t , s ) v à y ự ) là các liàni cho t r ư ớ c llio à m ã n m ộ t sô đ iề u k iện t r ơ n

n h ấ t đ ịn h sẽ đ ư ợ c x á c địu li sau, còn X( t ) ỉà h à m plìãi tim

Trong n h ữ n g n ă m g ầ n đ â y đ ã có n h i ề u n h à t o á n học, cơ họ c v à kỳ t h u ậ t q u a n

t â m ng h iên c ứ u p h ư ơ n g t r i n h (1) t r o n g các k h ô n g gian lià m v à các ló‘p h à m s u y rộng khác n h a u C á c công t r i n h [3], [1] clà xây d ự n g (lư ợc lý i h u y ê t N o e t h c r cho p h ư ơ n g trin h (1) còn công t r i n h [9], [10], [11] đà, n g h iê n c ứ u các p h ư ơ n g p liá p g ầ n đ ú n g khác nha.u cho p h ư ơ n g t r i n h (1) n h ư : p h ư ơ n g p h ấ p hôi s u v t r ù n g lặ p L a g r a n g e ,

p h ư ơ n g p h á p m o m è n t, p h ư ơ n g p h á p m iề n con T u y v ậ y do t í n h k ỳ dị b ậ c cao c u à

p h ư ơ n g t r i n h (1) n ê n các p h ư ơ n g p h á p d ã uêu t r ê n clura đ á p ứ n g đ ư ợ c vêu c ầ u

t h ự c tiền C ụ t h ê là cho tốc đ ộ hôi t ụ t h ấ p d ẫ n đ ế n việc p h ả i giải h ệ đ ạ i t u y ê n b â c

k h á cao khi cầ.11 đ ộ ch in h x á c c ầ n tliiế t cu à n g h iệm

Mục đích c u â b ài b á o n à y là á.D d ụ n g sơ đ ồ chiếu lặ.p d ể n â n g cao tố c đ ộ hội tụ và

m ờ rộng đ iề u kiện hội t ụ n h ằ m k h ắ c p h ụ c n h ư ợ c đ i ể m c u ả các p h ư ơ n g p h á p t r ê n

2 Một vài kết quá bô’ trợ.

* B à i b á o íh rc rc h o à n t h à n h v ớ i s i r t à i t r ơ CUẢ c h ư ơ n g t r i n h n g h iê n c í r u c ơ b à n v ề k h o a l i o c t ư n h i ê n

T a k ý h iệu C ( m , 0 ) l à k l i ô u g g i a n tu y ế n tín h các h á m l i ê n t ụ c t r o n g k l i o à n g [-1 1]

v à có đ ạ o h à m T a y lo r f ịmU(ì) bậc m lạ i đ iế m t = 0 (x em [12], [13]) vói clm ẩn

l|./||c'(m,0) = ||A I\\ c + ^ | / ^ ( 0 ) | , (2)

/ = 0

tr o n g đ ó

l = ị)

T a ký h iệ u F(t) = ( Nf ) ( f ) 6 C [ - l , 1] v à h iếu F(0ì = lin.,^0 F(t).

Bô’ đề 1 [1 1]:

k = 0

t rong đ ó Fịt) = ( N f ) ( t ) còn «k = / { * } ( 0)/Ả-!.

Bổ đề 2 [11] :

K h ô n g g i a n C'(ro,0) v ớ i c ỉ ì i i ã n ( 2 ) l ù đ ầ y ( ì ù v à n h ú n g c h u â n t ắ c t i v n g C [ —1 1]

Ẽ„(t) = i n f II/ - 7„| | c( m

0)-BỔ để 3 [11]

B â y giờ t a xét lớp h à m hai biến 0(t,s) £ C [ - l , 1] X C(m,0) I í à m ß(t,s) liên t ụ c th e o

c a h ai b iên t và s, có đ ạ o h à m T a ylo r b â c ?)) th e o b iên i ta i s = 0

Bô’ để 4 [1 1]

V ới m ọ i h ò m 0{t,s) £ C’[ - l , l ] X C( ì i ì , 0) V (1 m ọ i sô t ự nhiên n > m s ẽ l ổ n tại h à m

t ị ' ( i , s , n ) £ c [ —1.1] X C( m, 0) ỉ à đ a t h ứ c t h e o bi t n t b ả c n i l ì ò a m ã n á c đ á n h g i á sav:

ụ ) \ { 6 - w , s ) \ < z h - i ư > ) , t , s G [—1,1],

{ n ) \ ( 9 - ỷ ) W ( t , 0 ) \ < ( m - l ) \ Ẹtn _ 1( 9) , k = 0 , m - l ,

ị ũ i ) \ N * ( O - ệ ) ( t , s ) \ < ẹ l - i ( 0 ) , k = T~^, trong đ ó p ị _ l (ỡ) = E ^ h ) + mf ; E ^ Ì Q i l h( 1 , s ) = ( N t e( t , s ) = ỡ ị i ] ự, Q) / i \ , ì = Õ ^ T

con E tn_-i{h) ìà x â p XI đ ê u tót n h ấ t cùa h à m h(t,s) theo biển ị bằng các (ĩa t h ứ c bậc

n — 1

I \y ln éu A's có ngliià là t o á n tù’ d ạ n g (3) (Ar = N m ) á p d ụ n g cho b iến s.

Bây giờ t r ê n k h ô n g g ian n ề n C'(m, 0) c h ú n g t a x â y d ự n g k h ô n g g ia n các h à m suy rộng V(m ,0) n h ư sau:

H àm r(i) G 0} khi và chỉ khi có d ạng:

»1-1

Ả' = 1

trong đ ó Z( i ) e C'[—1,1], là các h ằ n g số bất kỳ, còn (F p )í_i_1 là t o á n t ử x á c đ ịn h hàm SU}- rộng trên C(rn,U) t h e o q u y tắc:

(F P r l J ) = F p J f ( t ) r kclt, k = T¡rñ, (6)

còh các kv hiêu ” F P ” là t h à n h p h ầ n ch ín h c u ả tíc h p h â n A d a m ( x e m [14]) N ế u

ta đ ư a vào V'(n?,0) chuá’n:

fc=o

thì V(m, 0) t r ờ t h à n h k h ô n g g ian B a n a c b

Dinh lý 1 [s].yvê'ỉí các h ệ sô trong p h ư ơ n g trinh (1) thoả m ã n

A ' ( í , s ) G C ( m , 0 ) ( [ - l , l f ) ,

0{t,s) = ( N t K ) ( t s ) e C [ - ụ ] X C(m, 0),

J (Npi K)(t,s)ds £ C(>n,ũ), j = 1,71

yự) e C (m ,0 ) t h ỉ to á n t ừ A là t if a Fredhohn khả nghịch ánh xạ V (m ,0 ) -*■ C (m ,0 ).

3 Phương plìáp chiếu lặp với phép chiếu nội suy trùng lặp

De áp d ụ n g sơ đ ồ c h iê u lặ p ( x e m [17],[18]) cho 1")h ư ơ n g t r i n h (1) c h ú n g t a c ầ n tiến h à n h các b ư ớ c sau:

a - Xây d ự n g k h ô n g g ian x â p XỈA',, c A' = v ( m , 0)

b - X ây clựng p h é p ch iếu s = p„ : r(íìi,0) — x n

c - Ngiên c ứ u t i n h giải đ ư ợ c c u ả Ị)hương t r i n h x ấ p xỉ

d - N ghiên c ứ u t i n h hôi t u c u ả sơ đ o ch iếu lăp

a - T rư ớ c h ế t t a x â y d ự n g k h ô n g gian x â p x L y - n c u ả V(í7i ,0) n h ư sau

tro n g đó n là số t ự n h iê n b ấ t kỳ, C'k là các liằ n g số b â t kỳ x n là k h ô n g g ia n con

Tĩ + m chiều c u à k h ô n g g ia n X = V(n>, 0)

l a k ý h i ê n

■r n 11 A' ' II ■' £ A

t h i t a c ó l , ô ( l r s a u

BỔ đề 5 1 ớ / m o i x„ E A (lai iu'o'nt) :râp .n l ờ i n ỉ i â l I hừâ inàiì đ ă n g t i n h

(10)

I ’r o i i f j d o z < ! i r ọ ' r h i < I I I Ỉ / I I I l ! i ( 0 C Ỏ H / Ị l l ì ử c ( 5) c ò n E n ^ i l à x ấ p r ỉ đ ề u b ậ c 1 1 - 1. 1) - X â y d u l l « t o á n t u ( i i i r u n ô i s u y L a g r a n g e s u y r ô n g p n

l a ( l ị nl ) l i gl l i a l \ , là ( o á n l ũ c h i ế u l ' I í í 0) — - A' „ t h e o C ị u y t v ắ c s a u

(/-,„./')| í '}((t) = / R } (0), k = 0 rn — 1

t r o n g d ó l j là h r n ú t C h c l n s e v l o ạ i [

t j = cos(2j - l)n-/(2íỉ), j = 1,11

N ô n k ý h i ệ u s „ là t o á n t vi* c h i ế u nội s u y L a g r a n g e C [ - l , l ] — Hr,- I ( k h ô n g g i a n d a

t l u r c b â c It — ] ) llii t a c ó k(jt q u à s a u :

m — 1

Ả’ = u

B â y g i ờ c h i m » t a á p (lụn»; so' d ồ c h i ó u l a p c h o p l n r ơ n g trinh ( 1)

1 ừ p h a n u' r € V = \~(n>,[)) Lất k ỳ t a x â y d ự n g p h ầ n t ử g ầ n đ ú n g .E(fc) n h ư s a u :

tron«; đ ó t o á n tlĩ' 7' = / - .1 (í là t o á n hỉ' đ ồ n g n l ì â t t r o n g A") v à £ x n n g h i ả là

1 r,1/ ’ có t h ô 1 > i CM 1 d i ề u (hrới (l ạng

(11)

(13)

( M )

t lio â màn pluro'ng tr in h

tro n g đó

(16)

P h ư ơ n g t r in h (15) có t h ê v iết d ư ớ i clạng

Định lý 2 Già s ứ t oán tù' A klìà nghịch, p h ư ơ n g tri nh (10) có n g h i ệ m d u y n h â t

nhái đổng i h ời ta có đánh giá

trong đó \ v ik)(t) = 4 ỉ s ịk)(i).

Chứng minh C h ủ n g t a xét các p liư ơ n g t r i n h đ ú n g v à phưcrng t r i n h g ầ n đ ú n g sau:

Theo già t h i ế t c u à clịng lý và k ế t qu ã cuã đ ị n h lý 1 th i p h ư ơ n g t r i n h (19) C.Ó n g h iê m cluy nhất t r o n g k h ô n g g ian A', t o á n t ừ ,4 k h ả Iigliịch bị cliặn á n h x ạ A" Y = C ( m , 0)

N h ư vậy đ ê c h ứ n g m in h p lu rơ n g t r i n h (20) có n g h iệ m d u y n h ấ t t a chì c ầ n chì ra

r ằ n g 3A'n đ ê Ví) > A o thi

với U'^*1 e A’„ là k h ô n g g ian con cua A' có Vì + n chiều

Nếu ký hiệu y„ = H m+n l à k h ô n g g ian các đ a t h ứ c đ ạ i số b ậc < m + n — 1 th i rõ ràng Y n c Y - 0( 111, 0) v ậ y p h é p chiểu nội SUY L a g r a n g e p n t r o n g (20) là có n g h iả

M ặt khác l \ i k) c x n — L \ \ i kì = tm u ị kì là đ a t h ứ c (lại số n ê n P n L \ v k h) = L W (nk) Do

vậy V ỊV',(,fc) £ A'„ t a C.Ó

IIn-'*» - \ Y i k ) \ \ x = { £ ' „ _ ! ( ớ) + E n ^ ( N ỵ ) I n n } , (18)

4 i r (fr)( 0 = c li:)( 0 ,

A„1 !'<*>«) = p„A\ vỉ lk)ụ ) = p„£ík)ự).

(19)

(•2 0 )

Ta ký hiệu t o á n t ừ A = K + L t r o n g đ ó = t m W n ' \ t )

(21)

< d i E n - i ( N ( K \ V ^ k ] ) l nn < d ir Ị I_ 1( ớ ) | | l ^ )||A-,

(2-2)

Vi 6 là lớp h à m D in n i-L ip s c h itz th e o đ ị n h lý Dresson th i etn_ l (9)lnn —r 0 khi n —* oo

Đối với v ế p h ả i t a dề (làng đ á n h giá, ctirợc

6„ = Ị|ĩ(A' 1 - P n / k ) \\ = 0 { E „ ^ ( N £ ^ ) l n n } (24)

T o á n t ử T bi c h ă n v à

= y - x ' k - " + Tx <k- ì )

V ậ y t h e o t r u y c h ứ n g dề d à n g suy ra đ ư ợ c

0 { E rt- i ( N £ U' )l n n } = 0 { E n ( N y ) l n n } (25)

N h ư v ậ y

l i u , - 1) i r ' fc»||r = 0 ( r„ + é n )||vy^')||x„ (2 6)

T ừ (24) s u y ra t ồ n t ạ i Nn > 0 đ ể mọi n > N 0 11^4 - ^„IHI.41llv _ y < 1 v à đ á n h giá (18)

Đ ịn h ]ý đ ư ợ c c h ứ n g m in h

H ê q u á : N goài các 'giả t h i ế t c u ả đ ị n h ]ý 2 n ế u K{t,s) ( th e o b iế n í), y ( t ) e c (r)[ - l , l ]

và A'(r),;/(r) ¡E IIa ( Ha là k h ô n g gian H o ld e r ^'ó‘i chỉ số 0 < a < l) th i ta có đ á n h giá,

sau

I iệ q u à đ ư ợ c s u y r a t ừ đ ị n h D re sso n v à đ ẳ n g t h ứ c (13)

Đ inh lý 3 A ê u có giả t h i / t c u à đ ị nh lý 2 thi i ồ n tại sô i ự n h i ên Ni > No đ ể v ớ i m ọ i

n > h \ s ơ đô c hi ếu lập ( 13)-(15) hội tụ đồnt/ t h ờ i ta có đán h giá sau

qn = m i - A A - 1) P n S °( t )\ \ x ,

t rong đ ó x ũ) là x ảp x ì đ ầ u iiên còn

e l kHt ) = y( t ) - + T x l i \ t )

C h ứ n g m i n h T h e o g iả t h i ế t c u ả đ ị n h lý thi p h ư ơ n g t r i n h (1) có n g h iệ m d u y n h ấ t ,

n g h i ệ m c h in h x á c c u ả p h ư ơ n g t r i n h (1))

Ta có

l k u '+ 1 , ( Ọ | | x = \ \ y ( t ) - x i k - 1\ t ) + T x W ( t ) \ \ x

= \\y(t) - + T í* “ - 1 »(í) + ir,(/ '(<)) + T [ y ( t ) + T Q V ^ - V ự ) + H ^ ( / ) ] ) | | x

T h eo truy chửng thỉ

i|c-u -+1 , ( O I U - < < / S l k ‘0,( Ol l x = ï * l k ° )V ) l k - (30)

theo (28) ta có

T h e o b ổ đ ề 5 II(I - P„)£°(/)||a- —►0 khi n — 0

T h e o đ ị n h lý 2 11-4 - ,4n || — 0 khi n — oc v à các t o á n t ử T, A , A ã 1, A n bị c h ặ n n ê n

qn 0 k hi n —r oo v ậ v t ồ n tạ i N i sao cho với mọi n > N i , 0 < qn < 1

Đ ịnh lý đ ư ợ c c h ứ n g m in h

A h ân x é t : N ê u c h on n cà n g lớn th i qn càn g n h ỏ , p h é p lẳp hôi t ụ cà n g n h a n h song lúc b ấ y g iờ k h ô n g g ian A'„ có chiều lớn và d ể t i m \v^k) t h i p h ả i giài hệ đ ạ i t u j 'ế n lớn C h i ế n lư ợ c ờ đ â y là p h ả i t i m A’i v ừ a đ ù đê’ qn < 1 s a u cló t iế n h à n h lặp

Tài liệu tham kháo

1 K e y z K M k Xvaifel P F L ý t h u y ê t c h u y ể n dịch t u y ế n t in h M : T h ê gió’i, 1972

( tiế n g N ga)

2 B r i k h a r t lo v K h G , r ề p h ư ơ n g trình itch, p h â n loại III: T c ” T i n t ứ c ” , Viện

h ấ n lâ m k h o a h ọ c U z S S R - P h ầ n t o á n lý - 1970, N o 2, 18-23 ( ti ế n g N ga)

3 R a g o z in V X L R a x l a m b e c o v S.N , L ý t h u yế t No e t h e r cho p h ư ơ n g t rình tích,

4 R a g o z in V X & R a x la m b e c o v S N , L ý t h u yê t N oe t he r cho p h ư ơ n g tri nh tích

p h â n loại I I I trong k hông gian các h.àm Util tạc và các h à m s u y rộng, T h ô n g báo

tin t ứ c c u ả -c á c t r ư ờ n g đ ạ i học P h ầ n to á n 1979, N o 1, 61-69 ( tiế n g N ga)

5 R a g o z in V X Sc R a x la m b e c o v S.N., r ề lý t h u y ế t N o c t h e r cho p h ư ơ n g tri nh t i ch

•phàn loại III, T h ô n g b á o tin t ứ c c u à các t r ư ờ n g đ ại học P h ầ n t o á n 1986, No 4,

77-79 ( tiế n g N ga)

6 R a x l a m b e c o v S N , P h ư ơ n g trinh tích ph án t u yế n t inh loại / / / với các hệ s ố có

iln'iii hhônq hâr l)ât kì/ ImiH/ Ihôutị (¡¡an rar hàm s u y rông T b ô n g báo tiu t ú v cuã

(■¿|C trii'ô'n^ d ai hoc 1 11ầ 11 to á n 1ÍI8 6 No 1 L -11-14 ( tiê n g X ga)

7 Kaxlainlx-cov S.N L ý ' hui/ít phirn'iKj ỉ rình iicìi p h â n layểìì tinh loại I U t i v n g lớp

hàm SIIỊI rộnỊJ và các I h ô u q gi an khác L u ạ n á n plió t iê n SV, R a x to v -D o n u 1978.

1 1 Lĩ tr ( tiế n g N g a )

iS Ciahaxov N s ỉ ( lỷ f ỉ n i Ị j ê t pliico'iifj li inl) lịch phà n Fredholm loại I I I trong không gian các lìàììì s u y rộm/ I hông biío till tứ c cuà < ác tp ĩờ n ẹ ; đai lior P h a n t o á n

1!IS6 Xo I tr Õ8 (lirii'j, Xgii)

A n < ||r||{||/ - ^ - ' l l + IIOL4*1 - A A ^ P n ) eũ (t)\\x }

< im|{||.4 - ^ I II M ^ I M M I II I V I I IK / - p n)£°(í)|ỊA' (31)

9 G a b a x o v N s , Gi ời Ịjần đíuKị p h ư ơ n y ii'iiik i n h phâ n loai IIỈ, T h ô n g b á o t i n

t ứ c c u à các t n r ờ n g (tại hoc P h ầ n t o á n 19-SG, No (), 4-1-62 (tiếng Nga)

10 C a b a x o v N s , Giời (fan â ú n q p h ư ơ n g 1 l in h tích phân l oại l ĩ l , T h ô n g bá,o tạ i

hội nghị khoa, học liên b a n g N ga về các bai t o á n bien và p hư ơ ng t r i n h vi p h â n ,

K u v b u s v c 11)87, tr 39 ( tiế n g N ga)

1 1 G a b a x o v N s , Các p h ư ơ n g ph á p t r ự c til p giài p h ư ơ n g trinh tích phân loại III,

T h ô n g b á o till t ứ c c u à các t r ư ờ n g đ ạ i học P h ầ n to á n 1990, 15-23 ( tiế n g Nga,)

12 Prexclorf z , P h ư ơ n g t ri nh tích phâ n kỳ di với xivoì có không đi ể m h ữ u han,

N ghiên c ứ u to á n học K ish in ov , 1972, NO 1 116-1-3'2 (tiê n g Nga)

13 D u b i n V B , H i ệ u c h ì n h p h ư ơ n g trinh ì ích phân trong t rư ờ ng hợp đặc biệt T.c

G iải tic h t o á n h ọ c và ứ n g d ụ n g , I ỉa x t o v - D o n u , 1974, T 5, 45-51 ( tiế n g N g a )

14 A đ a m a r R , B à i to á n Cos i với p h ư ơ n g ỉri nh Hy jx rbol tuyen tinh đạo h à m r i ê n g ,

K h o a học IM 1978, 351 tr ( tiế n g -\Tga)

15 D a u g a v e t I.K N h ậ p Iiìôn lỷ t h u y ết x áp x ì h à m N h à x u â t b ả n L.G Y 1977 ( ti ế n g

N ga )

J6 E r m o l a e v L D., T i nh ■!■(!/) x ì cuã toán i ứ đa t h ứ c và giãi p h ư ơ n g t ri nh vi tích

p hâ n bằng ỉ oán i ừ nì / i n con L u ậ n án plỉó tiến 15 ỳ to á n lý K a z a n 1987^ 137 tr

( tiế n g N ga)

Lĩ L ush ka J A., Ph ươ nt ) pháp clìiéu lụp giai p h ư ơ n g trinh vi phàn và tich p hâ n.

K iev K h o a học 1980 (tiốn u N'j;a)

18 Lê X u â n Q u à n g P h ư ư n g I ' h á [ i c h ì ¿ 1 1 lap < ỉ i à i p h ư ơ n g trinh vi p h ản và tích, p h â n

ki (lị với nhâ n Hilbcri Iro-ng k hông CỊHIÌI L"> T c l i n học và đ iều k h iến h ọ c 1992

T V I I í , NO i

Abstract

Ite ra tiv e -p ro je c tio n m eth od s for solving th e Fredholm singular integral equation o f the

f ir s t kind

In i hi.fi paper lire i te r af ir t- p ro je c ti o n m e t h o d f o r solving the Fredholm s in g u l a r i n­ tégral equation o f the fir.sl hind

ns/HctivcJy.