Lịch sử toán học và logic toán

giáo án lịch sử toán học, bài giảng lịch sử toán, toán học ai cập, toán học sơ cấp, ba sự kiện quan trọng trong thế kỉ XIX, lịch sử và logic toán, nền toán học sơ cấp, quan hệ giữa toán ứng dụng và toán lý thuyết

Câu 1: Đặc điểm nền Toán học sơ cấp

Thời gian: Khoảng từ thế kỉ thứ VI TCN đến khoảng đầu thế kỉ thứ XVII

Các nền toán học tiêu biểu: Cổ Hy Lạp, Ấn Độ, Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,…

Nền toán học nổi trội : Toán học Hy Lạp

Các nền toán học tiêu biểu: Cổ Hy Lạp, Ấn Độ, Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,…

Nền toán học nổi trội : Toán học Hy Lạp

Các nhà toán học tiêu biểu: Thales, Pytago, Eudoxos, Eucild, Apollonius,… Nhà toán học vĩ đại nhất trong các nhà toàn học Hy lạp và mọi thời đại là Archimedes

Toán học thành một khoa học suy diễn Toán học trình bày có hệ thống, có lập luận

chặt chẽ, phương pháp tiên đề đã được phát hiện bởi Euclid

Đối tượng nghiên cứu chủ yếu là số và hình Phần lớn các kiến thức trong giai đoạn

này được giảng dạy ở trường phổ thông ngày nay

Một số tư tưởng toán học hiện đại như phép tính tích phân, tương quan hàm số,

phương pháp tọa độ đã được manh nha Toán học thời kì này tương ứng với trình độ

sản xuất thủ công

Câu 2: Quá trình hình thành số tự nhiên, các hệ

thống ghi số và tìm hiểu về số 0

- Thực tế xã hội nguyên thủy con người đã biết so sánh số lượng giữa

các đối tượng gần gũi như: đàn bò, thành viên trong các bộ lạc,

- Trong sinh hoạt hàng ngày, con người thường xuyên đụng chạm đến các nhu cầu so sánh như: phân chia số lượng cá bắt được, phân phát số

Một số hệ thống đếm

Hệ thống đếm người Ai Cập Hệ thống đếm ở Trung Đông

Một số hệ thống đếm

H th ng ghi s Hi L p cệ thống ghi số Hi Lạp cổ ống ghi số Hi Lạp cổ ống ghi số Hi Lạp cổ ạp cổ ổ Ch s Mayaữ số Maya ống ghi số Hi Lạp cổ

Hệ số đếm hiện đại

- Được phát triển từ các chữ số

Hinđu- Ả rập từ Ấn Độ đến châu Âu

hiện đại

- Giá trị của mỗi kí hiệu phụ thuộc

vào mối quan hệ vị trí với các kí

hiệu khác trong biểu diễn số.

Sự ra đời của số tự nhiên

Năm 1440, t i Châu Âu v i s phát minh ra ngh in thì m ạp cổ ới sự phát minh ra nghề in thì mười ự phát minh ra nghề in thì mười ề in thì mười ười i

ch s m i có hình d ng c đ nh cu i cùng ữ số Maya ống ghi số Hi Lạp cổ ới sự phát minh ra nghề in thì mười ạp cổ ống ghi số Hi Lạp cổ ịnh cuối cùng ống ghi số Hi Lạp cổ

Câu 3: Ba sự kiện quan trọng trong thế kỉ XIX

Sự kiện trong lĩnh vực giải tích

Sự kiện trong lĩnh vực hình học

- Sự kiện xảy ra đầu tiên trong ba sự kiện

- Khám phá ra một môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán khác với

hình học Euclid: hình học phi Euclid ( năm 1892)

- Ba nhà toán học Lobachevsky, Janos Bolyai và Carl Friedrich Gauss đã thay thế tuyên đề V của Euclid bởi tiên đề “ Từ một điểm nằm ngoài một đường

thẳng ta dựng được ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy” và như vậy một hình học mới ra đời

- Ý nghĩa sự ra đời của môn hình học phi Euclid:

+ Đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về tiên đề song song là liệu tiên đề

V của Euclid có độc lập hay không ( đã chứng minh độc lập với các tiên đề còn lại)

+ Là hình học giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn tại ở các thế kỉ

trước đó: chỉ có một thứ hình học tồn tại duy nhất là hình học Euclid

- Có thể sáng tạo theo hệ thống hình học khác nhau

Sự kiện trong lĩnh vực đại số học

- Sự kiện xảy ra thứ hai trong ba sự kiện.

- Sự sáng tạo ra một đại số không giao hoán vào năm 1843.

- Ở đầu thế kỉ XIX

+ Đại số được xem là mở rộng của số học.

+ Các nhà toán học Anh là những người đầu tiên chú ý đến sự tồn tại của cấu trúc đại số.

+ Tồn tai một thứ đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc đại

số thông thường của số học.

- Năm 1843, nhà toán học Rowan Hamilton qua nghiên cứu vật lý, đã phát hiện ra đại số quaternion trong đó luật giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa Như vậy người ta có thể xây dựng nhiều cấu trúc đại số khác nhau Đây chính là đại số trừu tượng.

- Các công trình đại số khác nhau đã phản ánh ý thức về sự khái quát hóa và trừu tượng hóa cao độ Đây là một đặc diểm của toán học hiện đại.

Sự kiện trong lĩnh vực giải tích

- Sự kiện xảy ra thứ ba trong ba sự kiện.

- Xảy ra trong lĩnh vực giải tích toán học là việc số học hóa giải tích.

- Năm 1821, nhà toán học Pháp Augustin – Luois Cauchy đã đạt một bước tiến khổng lồ khi thực hiện thành công gợi ý của D’ Alembert bằng cách phát triển

lý thiết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định bằng lý thuyết về giớ hạn

- Chương trình nổi tiếng “số học hóa giải tích” đã được Weierstrass và các học trò của ông hoàn thành tốt đẹp.

- Thế kỉ XX số tự nhiên được định nghĩa được theo lý thuyết tập hợp.

- Sau khi Georg Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp hầu như mọi ngành toán đều bị ảnh hưởng bởi lý thuyết này.

- Dưới sự ảnh hưởng của lý thuyết tập hợp các bộ môn toán học cổ điển đã

thống nhất đáng kể lại với nhau và nhiều môn toán đã được tạo ra.

Câu 4: Nêu thành tựu Toán học của Talet, Pytago,

Acsimet, Ơclit

- Khi trở về Hy lạp, ông đã thể hiện là người

có tài về nhiều mặt: triết học, toán học, thiên văn học,…

- Về mặt triết học : Mọi vật đều bắt nguồn từ nước

- Về mặt kỹ thuật : Ông thiết kế tượng đài, đền thờ, xây

dựng cầu cấu cống, tạo đồng hồ bằng thủy lực,…

- Về mặt toán học: Chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề Những kết quả cơ bản:

- Một đường tròn được phân đôi bởi một đường kính bất kỳ.

- Các góc ở đáy một tam giác cân là bằng nhau

- Một góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông

- Về mặt kinh doanh: là nhà đầu cơ đầu tiên của loài người

Thành tựu toán học Talet

Tiểu sử Pytago

- Pytago ( khoảng 560– 480 TCN)

- Trên hòn đảo Aege của Samos

- Tại miền nam nước Ý ông là lập trường phái Pytago nổi tiếng và trở thành viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát triển thành một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật

- Pytago phát hiện ra số vô tỉ

- Trường phái Pytago có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số đó

- Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác

vuông.

Bộ ba Pytago cơ bản: 3,4,5

- Pytago đã đua ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương,

tứ diện đều, thập nhị diện đều,…

- Một số định lý khác: định lý tổng ba góc của một tam giác, bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều.

- Sự phụ thuộc âm thanh vào chiều dài của dây Giả thuyết về dạng cầu của trái đất,…

Thành tựu toán học Pytago

- Archimedes (287 – 212 TCN)

- Sinh ra tại Syracuse (Hy Lạp), đảo Sicilia (nước Ý ngày nay), là con trai của nhà thiên văn học.

- Gia đình ông cho ông sang Alexandria để học sâu hơn

về toán học và thiên văn học

Tiểu sử

Archimedes

- Phát hiện ra cách biểu diễn một số bất kì và đưa ra cách tính số pi Tính được diện tích nhiều hình và thể tích bằng phương pháp đặt biệt là phép tính tích phân

- Đưa ra một số tiên đề và có tiên đề nổi tiếng gọi là tiên đề Archimedes

- Có những cống hiến trong cơ học và thủy học tỉnh Định luật đẩy của chất lỏng ( định luật Archimedes)

- Kỹ thuật đóng tàu biển Sáng chế ra các loại vũ khí độc đáo như máy phóng đá, cần cẩu móc nhận chìm tàu chiến,

…

Thành tựu toán học Archimedes

Tiểu sử Ơclit

- Ơclit ( khoảng năm 300 TCN)

- Người ta biết rất ít về đời sống của ông

- Dường như ông được đào tạo về toán học theo trường phái Platon ở Athens Ông là giáo sư toán học ở trường

ĐH Alexandria.

- Về những sai lầm trong toán học

- Về thiết diện cônic

- Quỹ tích bề mặt và một số tác phẩm về toán ứng dụng

- Bộ “cơ bản” gồm 13 quyển, 465 mệnh đề.

- Các tiên đề Ơclit

Thành tựu toán học Ơclit

Câu 5: Nhận định: “ Nếu khoa học tự nhiên muốn tìm

hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý

thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết trở về Hy Lạp”

- Do các toán học cổ đại và toán học hiện đại đều dựa trên nền toán học Hy Lạp để phát triển các lý thuyết khác trong toán học

cổ đại và hiện đại

- Ngoài toán học, một số lĩnh vực khác hiện nay cũng dựa trên các thành tựu của các nhà toán học trong thời kỳ toán học Hy Lạp như: Ơclit, Talet, Pytago và Archimedes.

- Hiện nay các kiến thức toán như: Tiên đề Ơclit, Talet, Pytago,

… đều được học ở phổ thông.

Anh (chị) hiểu như thế nào về mối quan hệ giữa toán học hiện đại với thực tiễn, giữa toán lý thuyết và toán ứng dụng?

Quan hệ giữa toán học hiện đại và thực tiễn

- Thực tiễn sản xuất và khoa học kĩ thuật đòi hỏi toán học hiện đại phải

gắn chặt với điều khiển học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: Khắc phục

sự phức tạp, khắc phục tính bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất Do đó thúc đẩy toán học hiện đại phát triển mạnh theo ba hướng lớn: Toán rời rạc, toán học ngẫu nhiên và các lí thuyết tối ưu hóa.

- Vị trí nổi bật của toán học trong cuộc cách mạng về xử lý thông tin về điều khiển làm cho học càng ngày càng xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và xã hội, càng ngày phương pháp toán học càng phát huy được hiệu lực

- Toán học đã góp phần quyết định vào sự ra đời của máy tính điện tử và điều khiển học.

- Toán học đã tiến lên một giai đoạn mới do nhu cầu của tự động hóa và

xâm nhập của quan điểm điều khiển học vào các ngành khoa học.

Quan hệ giữa toán lý thuyết và toán ứng dụng

- Có một thời người ta nghị rằng làm toán ứng dụng dễ hơn làm toán lí thuyết,vì làm toán lí thuyết phải nghĩ ra cái mới còn làm toán ứng dụng chỉ cần biết “ tiêu hóa” những điều đã biết.

- Người làm toán ứng dụng phải có khả năng tiếp nhận những công nghệ

mới( công nghệ phần mềm,điện tử,….) và phải hiểu về nhiều lĩnh vực khác nhau trong quá trình nghiên cứu ( xử lí hình ảnh,âm thanh, môi trường sinh thái,….) cũng có nghĩa là phải học thêm một ngành mới ngoài toán.

- Người làm toán lí thuyết chưa nhìn thấy những khó khăn đặc thù của công tác ứng dụng.

- Để làm lí thuyết, thông thường người ta chỉ cần biết về chuyên ngành hẹp mà mình nghiên cứu,còn làm toán ứng dụng thì phải có tầm hiểu biết đủ sâu về

chuyên ngành rộng.

- Làm toán ứng dụng cần phải có vốn thực tiễn.

- Từ toán lí thuyết đến toán ứng dụng là một quảng đường dài.

- Người làm toán lí thuyết cần nhận rõ nét đặc thù của công tác triển khai ứng dụng để có thể hỗ trợ cho no kiệp với trình độ chung của toán học nước nhà

- Những bất đồng ngôn ngữ giữa ứng dụng và lí thuyết.

Câu 7: Vì sao toán cổ Hy Lạp thuộc giai đoạn toán sơ

cấp mặc dầu những thành tựu toán học của

Archimecdes vượt xa thời đại hàng chục thế kỉ?

- Do các thành tựu của Archimedes đều ứng dụng trong thời cổ đại

- Do các nghiên cứu của ông không nổi tiếng trong thời cổ đại Đến năm 530 SCN, các nhà toán học mới biên soạn đầy đủ, số lượng bản sao rất ít Nên dẫn đến việc các công trình nghiên cứu chưa ai hiểu

rõ, mãi đến thế kỉ thứ XVII thì những nghiên cứu của ông mới được hiểu rõ

- Các sáng tạo của Archimedes đều dựa trên các vật liệu có sẵn

trong thời cổ đại

- Các sáng tạo của Archimedes là nguồn gốc cho các sáng tạo mới hiện nay