a Tìm tọa độ của D và E lần lượt là chân các phân giác trong và ngoài góc A b Viết phương trình của đường tròn nội tiếp ABC.. Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn nội tiếp AB
Trang 1ÔN TẬP ĐẦU NĂM
CÁC CÔNG THỨC TỌA ĐỘ CƠ BẢN
a b a b ab
b b a1b2 – a2b1=0 det( a r , b r ) = 0
II Cho điểm A( xA ; yA) , B( xB ; yB) , C(xC ; yC)
A B M
x kx x
k
y ky y
I
y
Trọng tâm G là giao điểm của 3 đường trung tuyến
G là trọng tâm của ABC:
Trực tâm H là giao điểm của 3 đường cao
H là trực tâm của ABC � � � �
�
uuur uuur uuur uuur . 0
AA BC
BA BC
Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có R = IA = IB = IC
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC � IA IB IC
1
Trang 22) Chứng minh 3 điểm A(2;1), B(1;3)
và C(2;5) là 3 đỉnh của 1 tam giác
3) Định m để 3 điểm M(9;m+1), N(2;3)
và P (5;2) thẳng hàng Kết quả:m=23
3 .4) Cho ABC vuông cân tại A, có B(2;1)
và C(4;3) Tìm tọa độ đỉnh A của ABC
Kết quả: A(2;3) hoặc A(4;1).
5) Cho ABC vuông cân tại A, có
8) Trên ( ) cho 4 điểm A(5;2), I, M và
B(1;5) sao cho AI=IM=MB Tìm tọa độ
của I và M Kết quả: I(3;3) và M(1;4).
9) Cho A(2;6), B(3;4) và C(5;0)
a) Tìm tọa độ của D và E lần lượt là
chân các phân giác trong và ngoài góc A
b) Viết phương trình của đường tròn nội
tiếp ABC Kết quả: D(2; 3
2), E(17;6)
và (x2)2+(y1)2=5
10) Cho A(2;3), B(1
4;0) và C(2;0)
Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của
đường tròn nội tiếp ABC
Kết quả: K(1 1;
2 2) và r =
1
2.11) Tính diện tích ABC biết A(1;2) , B(2;0) và C(3;4) Kết quả: 7 (đvdt).
12) Cho A(2;1), B(0;3) và C(4;2) Tìm tọa độ trực tâm H và chân đường cao AA’ của ABC
Kết quả : I(1
2;1) và R=IC =
5 5
2 14) Cho A(1;3) và B(3;1) Tìm tọa độ điểm C trên (): x2y+3=0 để ABC cântại đỉnh C Kết quả : C(3 6;
5 5)15) Cho (): x2y+1= 0 Tìm tọa độđiểm N đối xứng với M(2;1) qua ()
Kết quả : N(0;3)
16) Cho A(4;2), B(1;0), C(0;4) Tìm tọa
độ đỉnh D và tâm M của hình bình hànhABCD
Kết quả: D(5;6) và M(2;3)
17) Cho A(1; 7) , B(– 4;– 3) , C(4; 1) a) Cm A, B, C là 3 đỉnh một tam giácb) Tính góc A và diện tích của ABCc) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức :
f) Tìm điểm F Oy cách đều A và C
2
Trang 3Hồ Văn Hoàng
h) Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I
của đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh : G , H , I thẳng hàng
Ngang hoặc xiên (có hệ số góc k ): (d) : y – y0 = k(x – x0)
GÓC (với (d1) có vtpt n ; (duur1 2) có vtpt n ; kuur2 1 , k2 là hệ số góc của d1 , d2 )
* cos( �d d ) = 1; 2 uur uur
1 2cos n n = ,
uur uuruur uur1 2
k k
BÀI TẬP Tất cả các bài tập cho trong mặt phẳng(Oxy)
1) Tìm tọa độ VTCP , VTPT và một điểm trên đường thẳng có phương trình sau:
3
Trang 42) Viết PT tham số và PT tổng quát :
a d1 qua điểm A(1;-2) ; VTCPur (7;4); b d2 qua B(3; 0) ; VTPT urn ( 2;5)3) Cho A(4;5), B(6;1) và C(1;1) Viết
phương trình các đường trung tuyến
AM, CP, phân giác góc A và xác định
tọa độ trọng tâm G của ABC
Kết quả: AM: 10x13y+25=0;
CP: x+2y3=0 và G(1 5;
3 3)
4) Viết phương trình tham số, tổng quát
của đường thẳng đi qua A(3;2), B(-1;3)
5) Cho d: 3x+4y+5=0 viết phương trình
đường thẳng đi qua điểm M(1;2) và :
a) Song song d
Kết quả: 3x+4y11=0
b) Vuông góc d
Kết quả: 4x3y+2=0
6) Lập phương trình đường thẳng d đi
qua M(1;3) và chắn trên các trục toạ độ
những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau
Kết quả: x+y4=0 V xy+2=0
7) Lập phương trình d đi qua M(4;1) và
chắn trên các trục toạ độ thành một tam
giác vuông có diện tích bằng 1 đơn vị
Kết quả: x+2y2=0 V x+8y+4=0
8) Cho đường thẳng d:3x+4y–2=0 Lập
phương trình vuông góc với d và tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện
tích bằng 6 Kết quả: 4x3y12=0
9) Cho ABC Biết rằng các cạnh BC,
CA, AB theo thứ tự có các trung điểm là
M(1;2); N(3;4); P(5;1)
a) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam
giác ABC
b) Lập phương trình cạnh AB và tính
diện tích của ABC
c) Lập phương trình đường trung trực d
10) Cho A(5; – 2), B(3; 1) Viết PT tham
số , PT tổng quát của đường thẳng AB 11) Cho 3 điểm A(–2;1), B(6;–3); C(8; 4)
a Viết PT của đường thẳng AB Chứng
tỏ A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác
b Viết PT tổng quát của các đường caoAA’ , BB’ Suy ra tọa độ trực tâm H
c Viết PT tổng quát của đường trung tuyến AM và đường trung trực cạnh BC 12) ABC có A(1;1), B(–1;3), C(– 3;–1)
a Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) đi qua C và song song AB
b Viết PT tổng quát của đường thẳng
AC và tính diện tích của ABC13) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(–2;1) và phương trình đường thẳng
CD là 3x - 4y + 2 = 0 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB
4
Trang 5a.Tính các khoảng cách từ điểm M đến
các đường thẳng trên và các trục tọa độ
b.Tính góc của 2 đường thẳng trên
c.Tính các góc của d2 với các trục tọađộ
he� so�x a
he� so�y b
Tìm toạ độ tiếp điểm: giải hệ () & (C)
PT đường tròn (C) qua A,B,C:
Gọi PT đtròn: x2 + y2 2ax 2by + c = 0A�(C), B�(C), C�(C) tìm a,b,c
Cm: đường thẳng cắt đường tròn (C):
Tính d(I, ) , nếu d < R thì cắt (C)1) Lập phương trình của đường tròn (C)
trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với
():x2y+7=0 Kết quả:(x+1)2+(y2)2=4
5b)(C) có đường kính AB với A(1;1),
B(7;5) Kết quả:(x4)2+(y3)2=13
c) (C) qua A(1;2) và B(3;0) và có tâm I
():x+y+7=0 Kết quả:(x+3)2+(y+4)2=52
d) (C) có tâm I nằm trên ():x2y3=0,
bán kính R=5 và đi qua điểm A(4;3)
Kết quả:(x1)2+(y+1)2=25 hoặc (x9)2+
(y3)2=25
e) (C) qua A(2;4) ; B(5;5) ; C(6;2)
Kết quả:(x2)2+(y1)2=25
f) (C) tiếp xúc với ():2x+y3=0 tại
A(1;1) và có tâm I nằm trên d:x+y+7=0
Kết quả:(x10)2+(y10)2=100 hoặc (x2)2+(y2)2=4
i) (C) tiếp xúc với Ox, Oy và có tâm I nằm trên ():2xy4=0
Kết quả:(x4)2+(y4)2=16 hoặc (x4
3)
2+(y+4
3)
2=169j) (C) có tâm I nằm trên ():4x+3y2=0
và tiếp xúc với hai đường thẳng
5
Trang 6Hồ Văn Hoàng
d1:x+y+4=0, d2:7xy+4=0 Kết quả:
(x2)2+(y+2)2=8; (x+4)2+(y6)2=18
k) (C) đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với
d1:2x+y1=0, d2:2xy+2=0 Kết quả:
c/ 3x² + 3y² - 6x + 9y – 12 = 0
3 Cho (C):x²+y²+4x+4y–17 = 0 a/ Tìm tâm I & bán kính R
b/ Viết pt tiếp tuyến với (C) tại A(2; 1) c/ Viết pt tiếp tuyến với (C) qua B(2; 6) d/ Viết pt tiếp tuyến với (C) & đường thẳng (d): 4x + 3y + 2003 = 0
e/ Tìm điều kiện để đường thẳng (D): x + (m+1)y – m = 0 tiếp xúc (C)
I.Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mp với 1
điểm xác định duy nhất M’ của mp đó F(M)=M’ hay M’=F(M)
M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
F(H ) = H / Hình H/ là ảnh của hình H qua phép biến hình F
PTT theo vectơ 0 r
là phép đồng nhất
Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y), rv = (a; b)
Gọi M’(x’; y’) =Trv (M) Khi đó:
a x x
' '
Tính chất Phép tịnh tiến :
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
Biến 1 đường thẳng thành đt song song hoặc trùng với nó
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Ví dụ :
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho rv(2; 1) , điểm M = (3 ; 2) Tìm tọa độ
của các điểm A sao cho: a) A = T
Trang 7B G C A
D
C’ B’
13
* Lấy M( 1 ; 0) thuộc d Khi đó Trv (M) = M’ = ( 1 2 ;0 + 3) = ( 3 ; 3) d’
* Phương trình của đường thẳng d’ có dạng : 3x5y C 0 ( do d // d’)
Vậy ảnh của đường thẳng d là đường thẳng d’: 2x y 9 = 0.
3 Tìm ảnh của đường tròn (C): (x1)2 + (y+2)2 = 4 trong phép tịnh tiến T u� vớiu�=(2;3)
* Từ phương trình (C) suy ra I(1 ; 2 ), bán kính r = 2
* T�u(I) = I’ = (1 2 ; 2 + 3) = ( 1 ; 1) Theo tính chất của phép tịnh tiến thì (C) và (C’)
* Cho y = 0 � x = 3 suy ra A(3 ; 0) AOuuur = ( – 3 ; 0) Vậy: d’ : 3x – y = 0
Bài tập sách giáo khoa
1/ CMR A’= T vr(A) A =Tuuurv(A’)
Dựa vào định nghĩa ,tính chất 1 và biểu thức toạ độ
2/ Cho ABC có trọng tâm G Tìm ảnh của tam giác qua T AGuuuur Tìm D =T AGuuuur(A).
Trang 8Hồ Văn Hoàng
3/Trong mp Oxy cho vr= ( 1; 2), A(3; 5), B(1; 1); d: x 2y + 3 = 0.
a./ Tìm toạ độ A’ = T (A), B’ = r T (B).r
b/ Tìm toạ độ C sao cho A = T (C).r
4/Cho hai đường thẳng song a // b Chỉ rõ phép tịnh tiến biến a thành b
Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?
Lấy A a; B b Khi đó T ABuuur(a) = b Có vô số
2 T�m a�nh ca�c �ie�m ch� ra qua phe�p t�nh tie�n theo vect� u :
a) A( 1;1) , u = (3;1) b) B(2;1) , u = ( 3;2) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) KQ: A (2;3); B ( 1;3); C (2;1)
3 T�m a�nh A ,B la�n l���t cu�a �ie�m A(2;3), B(1;1) qua phe�p t�nh tie�n theo
vect� u = (3;1) T�nh �o� da�i AB , A B
5 ����ng tha�ng ca�t Ox ta�i A( 1;0) , ca�t Oy ta�i B(0;2) Ha�y vie�t ph��ng tr�nh
����ng tha�ng la� a�nh cu�a qua phe�p t�nh tie�n theo vect� u = (2; 1)
8
Trang 96 ����ng tha�ng ca�t Ox ta�i A(1;0) , ca�t Oy ta�i B(0;3) Ha�y vie�t ph��ng tr�nh
����ng tha�ng la� a�nh cu�a qua phe�p t�nh tie�n theo vect� u = ( 1; 2)
uuuuurg
u
( ) ( 1;1) Ma�t kha�c : ( ) �i qua A ,B
qua A (0; 2)
2 3 VTCP : A B = ( 1;3)
B T
u = (1; 3) r .u
x = x + 1 x = x 1Gia�i: Bie�u th��c toa� �o� cu�a phe�p t�nh tie�n la� :
10 Xa�c ��nh toa� �o� ca�c ��nh C va� D cu�a h�nh
b�nh ha�nh ABCDbie�t ��nh A( 2;0), ��nh B( 1;0) va� giao �ie�m ca�c ����ng che�o la� I(1;2)
Go�i C(x;y) co� : ( 1; 2), (3;2), (2; 1)
V� I la� trung �ie�m cu�a AC ne�n :
Trang 10r r u+vT
Ba�i ta�p t��ng t�� : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2)
11 Cho 2 ����ng tha�ng song song nhau d va� d Ha�y ch� ra mo�t phe�p t�nh tie�n
bie�n d tha�nh d Ho�i co� bao nhie�u phe�p t�nh ti
La�y �ie�m tuy� y� M d G�a s�� : M = T ( )
o� phe�p t�nh tie�n bie�n d tha�nh d
12 Cho 2 ����ng tro�n (I,R) va� (I ,R ) Ha�y ch� ra mo�t phe�p t�nh tie�n bie�n (I,R) tha�nh (I ,R ) Gia�i : La�y �ie�m M tuy� y� tre�n (I,R) G�a s�� : M =
�
�II
u
u
13 Cho �t : 6x + 2y 1= 0 T�m vect� u 0 �e� = T ( )
Gia�i : VTCP cu�a la� a = (2; 6) �e� : = T ( ) u cu�ng ph��ng a
14 Trong he� tru�c toa� �o� Oxy , cho 2 �ie�m A( 5;2) , C( 1;0)
Bie�t : = T ( ) , = T ( ) T�B A C B m u va� v �e� co� the� th��c hie�n phe�p bie�n �o�i A tha�nh C ?
15 Trong he� tru�c toa� �o� Oxy , cho 3 �ie�m K(1;2) , M(3; 1), (2; 3) va� 2 vect�
u = (2;3) ,v = ( 1;2) T�m a�nh cu�a K,M,N qua phe�p t�nh tie�n T T
N ro� i
10
Trang 114;4) , N (3;2)
16 Cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) G la� tro�ng ta�m ABC
va� phe�p t�nh tie�n theo vect� u 0 bie�n A tha�nh G T�m G = T ( )
HD : (C) co� ta�m I(1; 3), ba�n k�nh R = 2 ; (C ) co� ta�m I (5; 2), ba�n k�nh R = 2
Ta tha�y : R = R = 2 ne�n co� phe�p t�nh tie�n theo vect� u = (4;1) bie�n (C) tha�nh (C )
1 1 1
19 Cho ABC Go�i A ,B ,C la�n l���t la� trung �ie�m ca�c ca�nh BC,CA,AB
Go�i O ,O ,O va� I ,I ,I t��ng ��ng la� ca�c ta�m ����ng tro�n ngoa�i tie�p va� ca�c
ta�m ����ng tro�n no�i tie�p cu�a ba ta
1 2 3 1 2 3
m gia�c AB C , BC A , va� CA B Ch��ng minh ra�ng : O O O I I I
��� ��� ���uuur
11
Trang 12Ta co� : MD = va� MC = MD 3 MDC la� tam gia�c �e�u
MCD la� n��a tam gia�c �e�u DMC 90 va� MDA 30
Va�y : MDA MAD MAB 30 AMD la� tam gia�c ca�n ta�i M
1 Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn
đó Tìm quĩ tích trực tâm H của ABC
HD: Vẽ đường kính BB Xét phép tịnh tiến theo vruuuurB C Quĩ tích điểm H là đường tròn '
(O ) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó.
2 Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi Tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF vàDEF HD: Gọi H là trực tâm CEF, K là trực tâm DEF Xét phép tịnh tiến theo vectơ vruuurBA Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O) ảnh của (O) qua phép tịnh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với uuuur uuurAA'BA )
Chứng minh: �ACD BCM � HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ uuurAB
các cạnh AD và BC HD: Xét phép tịnh tiến theo vectơ uuurBA BC = 6, AD = 6 3
Trang 13d C’
B’
C
A’ B
’ A
Hồ Văn Hoàng
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục : Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y),
1/ Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm : A(0;3), B(-2;-1), C(5;1)
a) Tìm ảnh A’,B’, C’ của A,B,C qua phép đối xứng trục Ox
b) Gọi G là trọng tâm của ABC Tìm uuur
AB
T (G)= G’ c) Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng GA qua uuur
Ảnh các đường thẳng GA qua phép tịnh tiến trên theo uuurAB là đường thẳng G’B.
Ta có: G Buuuur' (1; 2)là véc tơ chỉ phương của G’B Vậy G’B: �
2/ Cho d:x – 5y +7 = 0 ; d’: 5x – y – 13 = 0 Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’
Đ(d) = d’ thì là đường phân giác của góc tạo bởi d và d’ Từ đó suy ra có phương trình :
a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox
b) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục là đường thẳng d
13
Trang 14B3 : Xác định tọa độ M” là ảnh của M qua phép đối xứng trục d sao cho M0 là
trung điểm của MM” Gọi M”(x ; y) ta có
32
Bài tập sách giáo khoa
1/ Tìm ảnh của A(1; 2), B(3; 1) & đường thẳng AB qua ĐOx= ?
Trang 155 Cho �ie�m M( 1;2) va� ����ng tha�ng (a) : x + 2y + 2 = 0 M = �( )?
HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , d a = H( 2;0), H la� trung �ie�m cu�a MM M ( 3; 2)
6 Cho �ie�m M( 4;1) va� ����ng tha�ng (a) : x + y =
Trang 1613 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) va� C(1;6) Kha�ng ��nh na�o sau �a�y sai ?
A ABC ca�n �� B B ABC co� 1 tru�c �o�i x��ng
C ABC � Ox( ABC) D Tro�ng ta�m : G = � G Oy( ) HD : Cho�n D
b) T�m a�nh cu�a �ie�m M(4; 1) qua � c) T�m a�nh : (
a a
A
2 (Ax + By + C) 4(2 3)
5A
ta co� :
2 (Ax + By + C) 2(2A
16 Trong mpOxy cho ����ng tha�ng ( ) : x 5y 7 = 0 va� ( ) : 5x y 13 = 0
T�m phe�p �o�i x��ng qua tru�c bie�n ( ) tha�nh ( )
Trang 171 Cho I(1;-1) và : 3x + 4y +1 =0 Tìm tọa độ I’ = Đ (I).
2 Cho I(3;-2) và : 3x - 2y +1 =0 Tìm tọa độ I’ = Đ (I)
3 Cho C):x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0, và : 3x - 2y +1 = 0 Viết ph trình (C’) = Đ ((C))
4 Cho A(2; 0) và : x - y +2 =0
a Tìm điểm đối xứng của O qua ;
b.Tìm M để đường gấp khúc OMA có độ dài ngắn nhất
5 Hãy tìm các đường thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + 4 = 0, và d’2 đối xứng với
d2: 3x + 4y - 1 = 0 qua đường thẳng có phương trình :: 2x - y + 1 = 0
6.Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(0; 4) và d2 đi qua B(5; 0) sao cho d1 và d2 tạovới nhau một góc nhận : 2x -2y + 1 = 0 làm đường phân giác
IV PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM.
Định nghĩa : ĐI(M)=M’ � uuuurIM' uuurIM ;
I gọi là tâm đối xứng
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục :
Trong mặt phẳng Oxy cho M(x;y),
2 Tương tự tính chất của phép tịnh tiến
Tâm đối xứng của một hình :
ĐI(H)= H thì I là tâm đối xứng của hình H Hình H là hình có tâm đối xứng
Ví dụ : Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy
1 Tìm tọa độ của M’ là ảnh của M(2;1) qua phép đối xứng tâm I(3; 1)
Trang 18y y y .Thay (x;y) vào (1):
(6x’1)2+(2y’1)2=4 (x’5)2+(y’1)2=4 Vậy M(x’;y’) (C’):(x5)2+(y1)2=4 Vậy (C’):(x5)2 + (y1)2 = 4 là ảnh của (C) qua phép đx tâm I(3;1)
Cách 2: Đường tròn (C):(x1)2+(y1)2=4 có tâm I0(1; 1) và bán kính R = 2
Qua phép đối xứng tâm I(3;1) đường tròn (C) có ảnh là đường tròn (C’) có tâm I0’(5;1) và bán kính R’=R=2 Vậy (C’):(x5)2 + (y 1)2 = 4
Bài tập sách giáo khoa
1/ Cho A(-1;3) và d:x 2y + 3 = 0 Tìm ảnh A’ & d’ của A và d qua ĐO Vẽ hình
Dùng biểu thức tọa độ có A’(1; 3)
Chọn B(0;3/2) và C(-3;0) suy ra B’(0;-3/2) và C’(3;0) có d’ B’C’: x – 2y3 =0
tìm 2 điểm B,C thuộc d rồi vẽ d
Tìm hai điểm B’ và C’ đối xứng của B, C qua O Nối B’C’ ta có d’
Tương tự cho A(1; 3) & d: x + 2y 3 = 0
2/ Tìm các hình có tâm đối xứng trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều? (KQ: Hình bình hành và lục giác đều)
3/ Tìm hình có vô số tâm đối xứng? (Đường thẳng & hình gồm 2 đường thẳng song song)