Các phép phân tích Fourier và biểu diễn phổ tín hiệu

BÀI 3 Các phép phân tích Fourier và biểu diễn phổ tín hiệu I.. Mục đích • Sử dụng MATLAB để quan sát hiện tượng Gibbs • Xác định phổ Fourier của tín hiệu liên tục • Mô phỏng các tín hi

BÀI 3 Các phép phân tích Fourier và biểu diễn phổ tín hiệu

I Mục đích

• Sử dụng MATLAB để quan sát hiện tượng Gibbs

• Xác định phổ Fourier của tín hiệu liên tục

• Mô phỏng các tín hiệu vào ra của mạch lọc RC và hệ thống điều chế/giải

điều chế tín hiệu với Simulink

II Nội dung

Bài 3.1 Hiện tượng Gibbs

Hãy chạy chương trình Matlab fs1.m để quan sát sự hội tụ của chuỗi Fourier của tín hiệu xung chữ nhật tuần hoàn và viết nhận xét vào phần chấm chấm dưới đây

Yêu cầu: CBHD phải copy file fs1.m (có nội dung như dưới đây) vào thư mục

work của MATLAB trước buổi TH Hướng dẫn SV chạy file này để quan sát đồ thị

nhận được và gợi ý để SV viết nhận xét vào báo cáo

% fs1.m : FOURIER SERIES - PERIODIC RECTANGULAR PULSE

SIGNAL

T = 2; % T = period

Tp = 1.5; % Tp = width of pulse

t = -T:0.005:T; % t = time axis

wo = 2*pi/T; % fundamental frequency

c0 = Tp/T; % from the formula for c(k)

x = c0*ones(size(t)); % DC component of x(t)

figure(1)

clf

for k = 1:105

figure(1)

subplot(2,1,1)

ck = Tp/T*sinc(k*wo*Tp/2/pi); % the formula for c(k)

xk = 2*ck*cos(k*wo*t);

plot(t,xk);

hold on

x = x + xk;

subplot(2,1,2)

hold off

plot(t,x)

xlabel('t')

title(['N = ',num2str(k)])

pause(0.2)

end

Nhận xét:

Chương trình này để biểu diễn chuỗi Fourier (bị chặn) của một sóng chữ nhật Đồ thị nhận được thể hiện N hài đầu tiên và tổng của các hài đó (N tăng dần từ 1 đến 105) Khi chúng ta thêm vào nhiều hài hơn, tổng này càng gần tiến tới sóng chữ nhật Tuy nhiên, các “đỉnh“ gần các điểm không liên tục của sóng chữ nhật không thể trở nên “phẳng“ hơn Hiện tượng này được gọi là hiện tượng Gibbs và nó xảy

ra khi một tín hiệu tuần hoàn có hữu hạn các điểm không liên tục trong một chu

kỳ

Bài 3 2 Tính chất lọc của mạch điện RC

Cho mạch điện RC như Hình 3.1 Biết hiệu điện thế của toàn

mạch v tin( ) và hiệu điện thế trên hai đầu của tụ điện vout( )t lần

lượt là tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống

Giả thiết RC =0.5 và tín hiệu vào v tin( )=10 sint+2 sin(30 ).t

Để mô phỏng các tín hiệu vào và ra của hệ, các em hãy xây

dựng sơ đồ Simulink như Hình 3.2

Hình 3.2 Sơ đồ Simulink cho Bài 3.2

Hãy khai báo tham số cho khối mô hình trạng thái (State-Space), các khối tạo sóng sin (Sine Wave), và chọn thời gian mô phỏng là 15 giây (xem hướng dẫn

cuối tài liệu) Sau đó hãy vẽ lại đồ thị tín hiệu vào và ra lên Hình 3.3

Yêu cầu: CBHD hướng dẫn SV xây dựng sơ đồ Simulink và khai báo tham số cho

các khối Sau đó yêu cầu SV chạy mô phỏng và nhận xét về tính chất lọc nhiễu cao tần của mạch RC Để SV tự giải thích vào báo cáo (chỉ gợi ý nếu cần thiết)

Hình 3.1

0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

Time

Input

Output

Hình 3.3 Tín hiệu vào và ra cho Bài 3.2

Từ lý thuyết chuỗi Fourier, hãy giải thích về dạng tín hiệu ra của mạch điện RC Mạch điện có tính chất lọc gì?

(Gợi ý: Hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu ra là: 1 10 , 30 , 1 1

∗

−

30 30

c− =c∗ )

in( ) 5 jt 5 jt j t j t

v t = − je + je− − je + je− Vậy tần số cơ bản ω0 =1 và các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu vào là:

1 5 ,

Lại có

0

2

2

o

G jk

jk

ω

ω

= + Vậy ta có chuỗi Fourier của tín hiệu ra là:

30 30 out( ) 1 jt 1 jt 30 j t 30 j t,

v t =c e +c e− − +c e +c− e− trong đó

j c

j

+

out

1 1

Nhận thấy tín hiệu nhiễu 2sin(30t) bị suy giảm khi đi qua mạch RC Do đó mạch

RC có tính chất của bộ lọc thông thấp

Bài 3.3 (Không sử dụng Matlab) Phổ Fourier của tín hiệu liên tục

Yêu cầu: CBHD để SV tự làm bài này, có thể gọi ý cho SV biểu thức phổ Fouier

của các tín hiệu, và gợi ý cho SV trả lời câu hỏi d)

Cho tín hiệu x t( )=10 cos t

a) Hãy vẽ phổ Fourier của x t( ) lên Hình 3.4a

Hình 3.4a Phổ Fourier của x t( )

Fourier của y t( ) lên Hình 3.4b

Y jω = X j ω− + X j ω+

Hình 3.4b Phổ Fourier của y t( )

z t = y t t = x t t hãy vẽ phổ Fourier của z t( ) lên

Hình 3.4c

Z jω =X jω + X j ω− + X j ω+

Hình 3.4c Phổ Fourier của z t( )

d) Hãy cho biết làm thế nào để thu được phổ Fourier X j( ω) từ phổ Fourier

Z jω

Trả lời: Để thu được phổ Fourier X j( ω) ta sử dụng một bộ lọc thông thấp

cho qua tất cả các tần số ω <1 và loại bỏ tất cả các tần số ω >59. Từ đó có thể

khôi phục được tín hiệu x t( ) ban đầu

X jω

-1

0

29 30 31

Y jω

59 60 -1

Z jω

Bài 3.4 Điều chế biên độ

Sơ đồ Simulink ở Hình 3.5 dưới đây minh họa một hệ thống điều chế/giải điều chế

lý tưởng

Hình 3.5 Sơ đồ Simulink cho bài 3.4

Các em hãy xây dựng sơ đồ Simulink như Hình 3.5 với các tham số của các khối

tạo sóng sin và khối thiết kế bộ lọc tương tự (Analog Filter Design) (xem hướng

dẫn cuối tài liệu)

Chọn thời gian mô phỏng là 10 giây, các em hãy vẽ lại đồ thị của các tín hiệu

( ), ( ), ( )

x t y t z t và tín hiệu ra của bộ lọc vào Hình 3.6

Yêu cầu: CBHD có thể nhắc lại lý thuyết phần này cho SV trong khi hướng dẫn

SV xây dựng sơ đồ Simulink (tham khảo bài giảng của Đỗ Tú Anh, Mục 3.3, phần Ứng dụng 1-Điều chế biên độ) Sau đó để SV tự giải thích vào báo cáo (chỉ gợi ý nếu cần thiết)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

time

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

time

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

time

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -15

-10 -5 0 5 10

time

Hình 3.6 Các tín hiệu cho Bài 3.4

Hãy giải thích về dạng sóng của các tín hiệu đó dựa trên đồ thị phổ Fourier của ( ), ( ), ( )

x t y t z t đã nhận được ở Bài 3.3

Trả lời: x(t) là tín hiệu mang thông tin có tần số ω=1 rad/s,

y(t) là tín hiệu có tần số ω =30 rad/s, nhưng có biên độ thay đổi theo dạng của x(t).

z(t) có chứa thành phần tần số ω=60 rad/s, và ω=1 rad/s,

Tín hiệu ra của bộ lọc chỉ chứa tần số ω=1 rad/s, tức là giống với tín hiệu x(t) ban đầu