cấu trúc dữ liệu nâng cao

Bài 1: Danh sách liên kết Bài 2: Một số phương pháp sắp xếp Bài 3: Hàm băm Bài 4: Cây, cây nhị phân, cây nhị phân tìm kiếm, cây cân bằng Bài 5: Cây đỏ đen Bài 6: Bcây, cây 234 Bài 7: Các đống nhị thức Bài 8: Các đống Fibonaci Bài 9: Các tập rời nhau Bài 10: Các thuật toán so khớp chuỗi Tài liệu tham khảo: 1) Data Structures, Algorithms, and ObjectOriented Programming. NXB McGraw Hill; Tác giả Gregory Heilleman 1996 2) Advanced Data Structures. NXB McGraw Hill 1990; Tác giả Thomas H. C., Charles E.L., and Ronald L.R. 3) Giáo trình thuật toán. NXB Thống kế 2002. Nhóm Ngọc Anh Thư dịch 4) Algorithms and Data Structures in C++; Tác giả Alan Parker

Bài 2: Một số phương pháp sắp xếp

I Thuật toán sắp xếp nhanh - Quick Sort

Ý tưởng:

Có dãy số: a1, a2, , an

Giải thuật QuickSort làm việc như sau:

Giải thuật phân hoạch dãy am, am+1, , an thành 2 dãy con:

Bước 1 : Chọn tùy ý một phần tử a[k] trong dãy là giá trị biên,

m<= k <=n:

x = a[k]; i = m; j = n;

Bước 2 : Phát hiện và hiệu chỉnh cặp phần tử a[i], a[j] nằm sai vịtrí:

Bước 2a : Trong khi (a[i]<x) i++;

Bước 2b : Trong khi (a[j]>x) j ;

Bước 2c : Nếu i<= j

// a[i]>= x; a[j]<=x mà a[j] đứng sau a[i]

Bước 1 : Phân hoạch dãy am … an thành các dãy con :

- Dãy con 1 : am aj <= x

- Dãy con 2 : aj+1 ai-1 = x

- Dãy con 1 : ai an >= xBước 2 :

Nếu ( m < j ) // dãy con 1 có nhiều hơn 1 phần tử

Phân hoạch dãy am aj

Nếu ( i < n ) // dãy con 3 có nhiều hơn 1 phần tử Phân hoạch dãy ai ar

Phân hoạch đoạn l =1, r = 3: x = A[2] = 2

hân hoạch đoạn l = 5, r = 8: x = A[6] = 6

hân hoạch đoạn l = 7, r = 8: x = A[7] = 6

Dừng

Cài đặt

Ðánh giá giải thuật

Hiệu qủa thực hiện của giải thuật QuickSort phụ thuộc vàoviệc chọn giá trị mốc

Trường hợp tốt nhất xảy ra nếu mỗi lần phân hoạch đều chọnđược phần tử median (phần tử lớn hơn (hay bằng) nửa số phần tử,

và nhỏ hơn (hay bằng) nửa số phần tử còn lại) làm mốc, khi đó dãyđược phân chia thành 2 phần bằng nhau và cần log2(n) bước phânhoạch thì sắp xếp xong

Nhưng nếu mỗi bước phân hoạch phần tử được chọn có giátrị cực đại (hay cực tiểu) là mốc, dãy sẽ bị phân chia thành 2 phầnkhông đều: một phần chỉ có 1 phần tử, phần còn lại gồm (n-1)phần tử, do vậy cần thực hiện n bước phân hoạch mới sắp xếpxong Ta có bảng tổng kết

Trường hợp Ðộ phức tạp Tốt nhất n*log(n) Xấu nhất n2

II Radix sort

Ý tưởng:

Khác với các thuật toán trước, Radix sort là một thuật toántiếp cận theo một hướng hoàn toàn khác Nếu như trong các thuậttoán khác, cơ sở để sắp xếp luôn là việc so sánh giá trị của 2 phần

tử thì Radix sort lại dựa trên nguyên tắc phân loại thư của bưuđiện

Ta biết rằng, để đưa một khối lượng thư lớn đến tay ngườinhận ở nhiều địa phương khác nhau, bưu điện thường tổ chức một

hệ thống phân loại thư phân cấp:

Trước tiên, các thư đến cùng một tỉnh, thành phố sẽ được sắpchung vào một lô để gửi đến tỉnh thành tương ứng

Bưu điện các tỉnh thành này lại thực hiện công việc tương tự.Các thư đến cùng một quận, huyện sẽ được xếp vào chung một lô

và gửi đến quận, huyện tương ứng Cứ như vậy, các bức thư sẽđược trao đến tay người nhận một cách có hệ thông mà công việcsằp xếp thư không quá nặng nhọc

Mô phỏng lại qui trình trên, để sắp xếp dãy a1, a2, , an, giảithuật Radix Sort thực hiện như sau:

Trước tiên, ta có thể giả sử mỗi phần tử ai trong dãy: a1,a2, , an là một số nguyên có tối đa m chữ số

Ta phân loại các phần tử lần lượt theo các chữ số hàng đơn

vị, hàng chục, hàng trăm, tương tự việc phân loại thư theo tỉnhthành, quận huyện, phường xã,

Các bước thực hiện thuật toán như sau:

Bước 1 : // k cho biết chữ số dùng để phân loại hiện hành

k = 0; // k = 0: hàng đơn vị; k = 1:hàng chục;

Bước 2 : //Tạo các lô chứa các loại phần tử khác nhau

Khởi tạo 10 lô B0, B1, , B9 rỗng;

Bước 3 :

For i = 1 n do

Ðặt ai vào lô Bt với t = chữ số thứ k của ai;

Bước 4 :

Nối B0, B1, , B9 lại (theo đúng trình tự) thành a

Bước 5 :

k = k+1;

Nếu k < m thì trở lại bước 2

Ngược lại: Dừng

Ví dụ

Cho dãy số a:

701 1725 999 9170 3252 4518 7009 1424 428 1239 8425 7013 Phân lô theo hàng đơn vị:

12 0701

11 1725

10 0999

9 9170

8 3252

7 4518

6 7009

5 1424

4 0428

3 1239 0999

2 8425 1725 4518 7009

1 7013 9170 0701 3252 7013 1424 8425 0428 1239

Các lô B dùng để phân loại

Phân lô theo hàng chục:

12 0999

11 7009

10 1239

9 4518

8 0428

7 1725

6 8425

5 1424

4 7013 0428

3 3252 1725

2 0701 7009 4518 8425

1 9170 0701 7013 1424 1239 3252 9170 0999

CS A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Phân lô theo hàng trăm: 12 0999

11 9170

10 3252

9 1239

8 0428

7 1725

6 8425

5 1424

3 7013 0428

2 7009 7013 3252 8425 1725

1 0701 7009 9170 1239 1424 4518 0701 0999 CS A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Phân lô theo hàng ngàn: 12 0999

11 1725

10 0701

9 4518

8 0428

7 8425

6 1424

5 3252

4 1239

3 9170 0999 1725

2 7013 0701 1424 7013

1 7009 0428 1239 3252 4518 7009 8425 9170 CS A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lấy các phần tử từ các lô B0, B1, , B9 nối lại thành a: 12 9170

11 8425

10 7013

9 7009

8 4518

7 3252

6 1725

5 1424

4 1239

3 0999

2 0701

1 0428

Ðánh giá giải thuật

Với một dãy n số, mỗi số có tối đa m chữ số, thuật toán thực hiện m lần các thao tác phân lô và ghép lô Trong thao tác phân lô, mỗi phần tử chỉ được xét đúng một lần, khi ghép cũng vậy Như vậy, chi phí cho việc thực hiện thuật toán hiển nhiên là O(2mn) = O(n)

NHẬN XÉT

Thuật toán không có trường hợp xấu nhất và tốt nhất Mọi dãy số đều được sắp với chi phí như nhau nếu chúng có cùng số phần tử

và các khóa có cùng chiều dài

Thuật toán cài đặt thuận tiện với các mảng có khóa sắp xếp là chuỗi (ký tự hay số) hơn là khóa số như trong ví dụ do tránh được chi phí lấy các chữ số của từng số

Tuy nhiên, số lượng lô nhiều (10 khi dùng số thập phân, 26 khi dùng chuỗi ký tự tiếng anh, ) nhưng tổng kích thước của tất cả các lô chỉ bằng dãy ban đầu nên ta không thể dùng mảng để biểu diễn B (B0->B9) Như vậy, phải dùng cấu trúc dữ liệu động để biểu diễn B => Radix sort rất thích hợp cho sắp xếp trên danh sách liên kết

Khi sắp các dãy không nhiều phần tử, thuật toán Radix sort

sẽ mất ưu thế so với các thuật toán khác

III Sắp xếp cây - Heap sort

1.Ý tưởng:

Nhận xét: Khi tìm phần tử nhỏ nhất ở bước i, phương phápsắp xếp chọn trực tiếp không tận dụng được các thông tin đã cóđược do các phép so sánh ở bước i-1

Vì lý do trên người ta tìm cách xây dựng một thuật toán sắpxếp có thể khắc phục nhược điểm này

Mấu chôt để giải quyết vấn đề vừa nêu là phải tìm ra đượcmột cấu trúc dữ liệu cho phép tích lũy các thông tin về sự so sánhgiá trị các phần tử trong qua trình sắp xếp

Giả sử dữ liệu cần sắp xếp là dãy số : 5 2 6 4 8 1 được bố trítheo quan hệ so sánh và tạo thành sơ đồ dạng cây như sau :

Trong đó một phần tử ở mức i chính là phần tử lớn trong cặpphần tử ở mức i+1, do đó phần tử ở mức 0 (nút gốc của cây) luôn

là phần tử lớn nhất của dãy

Nếu loại bỏ phần tử gốc ra khỏi cây (nghĩa là đưa phần tử lớnnhất về đúng vị trí), thì việc cập nhật cây chỉ xảy ra trên nhữngnhánh liên quan đến phần tử mới loại bỏ, còn các nhánh khác đượcbảo toàn, nghĩa là bước kế tiếp có thể sử dụng lại các kết quả sosánh ở bước hiện tại

Trong ví dụ trên ta có :

Loại bỏ 8 ra khỏi cây và thế vào các chỗ trống giá trị -∞ đểtiện việc cập nhật lại cây :

Tiến hành nhiều lần việc loại bỏ phần tử gốc của cây cho đếnkhi tất cả các phần tử của cây đều là -∞, khi đó xếp các phần tửtheo thứ tự loại bỏ trên cây sẽ có dãy đã sắp xếp Trên đây là ýtưởng của giải thuật sắp xếp cây

2 Cấu trúc dữ liệu Heap

Tuy nhiên, để cài đặt thuật toán này một cách hiệu quả, cầnphải tổ chức một cấu trúc lưu trữ dữ liệu có khả năng thể hiện đượcquan hệ của các phần tử trong cây với n ô nhớ thay vì 2n-1 nhưtrong ví dụ

Khái niệm heap và phương pháp sắp xếp Heapsort doJ.Williams đề xuất đã giải quyết được các khó khăn trên

Ðịnh nghĩa Heap:

Giả sử xét trường hợp sắp xếp tăng dần, khi đó Heap đượcđịnh nghĩa là một dãy các phần tử ap, a2 , , aq thoả các quan hệsau với mọi i thuộc [p, q]:

Tính chất 2 : Nếu ap , a2 , , aq là một heap thì phần tử a1(đầu heap) luôn là phần tử lớn nhất trong heap

Tính chất 3 : Mọi dãy ap , a2 , , aq, dãy con aj, aj+1,…, artạo thành một heap với j=(q div 2 +1)

Giải thuật Heapsort :

Giải thuật Heapsort trải qua 2 giai đoạn :

Giai đoạn 1 :Hiệu chỉnh dãy số ban đầu thành heap;

Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap:

Bước 1: Ðưa phần tử lớn nhất về vị trí đúng ở cuối dãy:

r = n; Hoánvị (a1 , ar );

Bước 2: Loại bỏ phần tử lớn nhất ra khỏi heap: r = r-1; Hiệu chỉnh phần còn lại của dãy từ a1 , a2 ar thành mộtheap

Bước 3: Nếu r>1 (heap còn phần tử ): Lặp lại Bước 2

Ngược lại : Dừng Dựa trên tính chất 3, ta có thể thực hiện giai đoạn 1 bằng

dần các phần tử an/2, an/2-1, , a1 ta sẽ nhân được heap theo mongmuốn

Ví dụ

Cho dãy số a:

12 2 8 5 1 6 4 15

Giai đoạn 1: hiệu chỉnh dãy ban đầu thành heap

Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap :

thực hiện tương tự cho r=5,4,3,2 ta được:

Cài đặt

Ðánh giá giải thuật

Trong giai đoạn sắp xếp ta cần thực hiện n-1 bước mỗi bướccần nhiều nhất là log2(n-1), log2(n-2), … 1 phép đổi chỗi

Như vậy độ phức tạp thuật toán Heap sort O(nlog2n)

Bài 3: BẢNG BĂM (HASH TABLE)

Phép băm được đề xuất và hiện thực trên máy tính từ nhữngnăm 50 của thế kỷ 20 Nó dựa trên ý tưởng: biến đổi giá trị khóathành một số (xử lý băm) và sử dụng số này để đánh chỉ cho bảng

Các khái niệm chính trên cấu trúc bảng băm:

· Phép băm hay hàm băm (hash function)

· Tập khoá của các phần tử trên bảng băm

· Tập địa chỉ trên bảng băm

· Phép toán thêm phần tử vào bảng băm

· Phép toán xoá một phần tử trên bảng băm

· Phép toán tìm kiếm trên bảng băm

Thông thường bảng băm được sử dụng khi cần xử lý các bàitoán có dữ liệu lớn và được lưu trữ ở bộ nhớ ngoài

1 PHÉP BĂM (Hash Function)

Định nghĩa:

Trong hầu hết các ứng dụng, khoá được dùng như mộtphương thức để truy xuất dữ liệu Hàm băm được dùng để ánh xạgiá trị khóa khoá vào một dãy các địa chỉ của bảng băm (hình 1)

Xử lý được các loại khóa có kiểu dữ liệu khác nhau

Hàm Băm sử dụng Phương pháp chia

Hàm Băm sử dụng Phương pháp nhân

Phép băm phổ quát (unisersal hashing)

Việc chọn hàm băm không tốt có thể dẫn đến xác suất đụng độ cao.Giải pháp:

- Lựa chọn hàm băm h ngẫu nhiên

- Khởi tạo một tập các hàm băm H phổ quát và từ đó h đượcchọn ngẫu nhiên

Cho H là một tập hợp hữu hạn các hàm băm: ánh xạ các khóa

k từ tập khóa U vào miền giá trị {0,1,2,…, m-1} Tập H là phổquát nếu với mọi  f  H và 2 khoá phân biệt k1,k2 ta có xác

a Mô tả dữ liệu

Tập khóa K Hàm băm Tập địa chỉ M

Giả sử

· K: tập các khoá (set of keys)

· M: tập các dịa chỉ (set of addresses)

· h(k): hàm băm dùng để ánh xạ một khoá k từ tập các khoá Kthành một địa chỉ tương ứng trong tập M

b Các phép toán trên bảng băm

· Khởi tạo (Initialize): Khỏi tạo bảng băm, cấp phát vùng nhớ hayqui định số phần tử (kích thước) của bảng băm

· Kiểm tra rỗng (Empty): kiểm tra bảng băm có rỗng hay không?

· Lấy kích thước của bảng băm (Size): Cho biết số phần tử hiện cótrong bảng băm

· Tìm kiếm (Search): Tìm kiếm một phần tử trong bảng băm theokhoá k chỉ định trước

· Thêm mới phần tử (Insert): Thêm một phần tử vào bảng băm Saukhi thêm số phần tử hiện có của bảng băm tăng thêm một đơn vị

· Loại bỏ (Remove): Loại bỏ một phần tử ra khỏi bảng băm, và sốphần tử sẽ giảm đi một

· Sao chép (Copy): Tạo một bảng băm mới tử một bảng băm cũ đãcó

· Xử lý các khóa trong bảng băm (Traverse): xử lý toàn bộ khóatrong bảng băm theo thứ tự địa chỉ từ nhỏ đến lớn.

*) Bảng băm với phương pháp kết nối hợp nhất: bảng bămnày được cài đặt bằng danh sách kề, mỗi phần tử có hai trường:trường key chứa khóa của phần tử và trường next chỉ phần tử kế bịxung đột Các phần tử bị xung đột được kết nối nhau qua trườngkết nối next

*) Bảng băm với phương pháp dò tuần tự: Khi thêm phần tửvào bảng băm nếu bị đụng độ thì sẽ dò địa chỉ kế tiếp… cho đếnkhi gặp địa chỉ trống đầu tiên thì thêm phần tử vào địa chỉ này

*) Bảng băm với phương pháp dò bậc hai: ví dụ khi thêmphần tử vào bảng băm này, nếu băm lần đầu bị xung đột thì sẽ dòđến địa chi mới, ở lần dò thứ i sẽ xét phần tử cách i2 cho đến khigặp địa chỉ trống đầu tiên thì thêm phần tử vào địa chỉ này

*) Bảng băm với phương pháp băm kép: bảng băm này dùnghai hàm băm khác nhau, băm lần đầu với hàm băm thứ nhất nếu bịxung đột thì xét địa chỉ khác bằng hàm băm thứ hai

Ưu điểm của các Bảng băm:

Bảng băm là một cấu trúc dung hòa giữa thời gian truy xuất

và dung lượng bộ nhớ:

- Nếu không có sự giới hạn về bộ nhớ thì chúng ta có thể xâydựng bảng băm với mỗi khóa ứng với một địa chỉ với mong muốnthời gian truy xuất tức thời

- Nếu dung lượng bộ nhớ có giới hạn thì tổ chức một số khóa

có cùng địa chỉ, khi đó tốc độ truy xuất sẽ giảm

Bảng băm dược ứng dụng nhiều trong thực tế, rất thích hợpkhi tổ chức dữ liệu có kích thước lớn và được lưu trữ ở bộ nhớngoài.

3 Các phương pháp tránh xảy ra đụng độ

2.4.1 Bảng băm với phương pháp kết nối trực tiếp (Direct chaining Method)

Bảng băm được cài đặt bằng các danh sách liên kết, các phần

tử trên bảng băm được “băm” thành M danh sách liên kết (từ danhsách 0 đến danh sách M–1) Các phần tử bị xung đột tại địa chỉ iđược kết nối trực tiếp với nhau qua danh sách liên kết i

Chẳng hạn, với M=10, các phần tử có hàng đơn vị là 9 sẽđược băm vào danh sách liên kết i = 9

Khi thêm một phần tử có khóa k vào bảng băm, hàm bămf(k) sẽ xác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1 ứng với danhsách liên kết i mà phần tử này sẽ được thêm vào

Khi tìm một phần tử có khóa k vào bảng băm, hàm băm f(k)cũng sẽ xác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1 ứng với danhsách liên kết i có thể chứa phần tử này Như vậy, việc tìm kiếmphần tử trên bảng băm sẽ được qui về bài toán tìm kiếm một phần

tử trên danh sách liên kết

Để minh họa ta xét bảng băm có cấu trúc như sau:

- Tập khóa K: tập số tự nhiên

- Tập địa chỉ M: gồm 10 địa chỉ (M={0, 1, …, 9}

- Hàm băm h(key) = key % 10

30, 50,60,11,21,31,…

Hình

băm với phương pháp kết nối trực tiếp

Hình trên minh họa bảng băm vừa mô tả Theo hình vẽ, bảngbăm đã "băm" phần tử trong tập khoá K theo 10 danh sách liên kếtkhác nhau, mỗi danh sách liên kết gọi là một bucket:

· Bucket 0 gồm những phần tử có khóa tận cùng bằng 0

· Bucket i(i=0 | … | 9) gồm những phần tử có khóa tận cùng bằng i

· Khi khởi động bảng băm, con trỏ đầu của các bucket là NULL

Theo cấu trúc này, với tác vụ insert, hàm băm h(k) sẽ đượcdùng để tính địa chỉ của khoá k, tức là xác định bucket chứa phần

tử và đặt phần tử cần chèn vào bucket này

Với tác vụ search, hàm băm sẽ được dùng để tính địa chỉ vàtìm phần tử trên bucket tương ứng

+ tim kiem khoa K tren danh sach bucket[i]

Cài đặt bảng băm dùng phương pháp kết nối trực tiếp :

a Khai báo cấu trúc bảng băm:

#define M 100 struct nodes{ int key;

struct nodes *next };

typedef struct nodes *NODEPTR; //khai bao kieu con trochi nut

/*khai bao mang bucket chua M con tro dau cua Mbucket

- Phép toán initbuckets: khởi tạo các bucket băng Null

- Phép toán emmptybucket(b): kiểm tra bucket b có bị rỗng không?

- Phép toán emmpty: Kiểm tra bảng băm có rỗng không?

- Phép toán insert: Thêm phần tử có khóa k vào bảng băm

- Phép toán remove: Xóa phần tử có khóa k trong bảng băm

- Phép toán clear: Xóa tất cả các phần tử trong bảng băm

- Phép toán traversebucket: Xử lý tất cả các phần tử trong bucket b

- Phép toán traverse: Xử lý tất cả các phần tử trong bảng băm

- Phép toán search: Tìm kiếm một phần tử trong bảng băm, nếukhông tìm thấy hàm này trả về hàm NULL, nếu tìm thấy hàm nàytrả về địa chỉ của phần tử có khóa k.

B1: Tìm danh sách liên kết có thể chứa khóa k

b = h(k); p = bucket[b];

B2: Tìm khóa k trong danh sách liên kết p

Nhận xét bảng băm dùng phương pháp kết nối trực tiếp:

Bảng băm dùng phương pháp kết nối trực tiếp sẽ "băm” nphần tử vào danh sách liên kết (M bucket)

Để tốc độ thực hiện các phép toán trên bảng hiệu quả thì cầnchọn hàm băm sao cho băm đều n phần tử của bảng băm cho Mbucket, lúc này trung bình mỗi bucket sẽ có n/M phần tử Chẳnghạn, phép toán search sẽ thực hiện việc tìm kiếm tuần tự trênbucket nên thời gian tìm kiếm lúc này có bậc 0(n/M) – nghĩa là,nhanh gấp M lần so với việc tìm kiếm trên một danh sách liên kết

có n phần tử

Nếu chọn M càng lớn thì tốc độ thực hiện các phép toán trênbảng băm càng nhanh, tuy nhiên lại càng dùng nhiều bộ nhớ Dovậy, cần điều chỉnh M để dung hòa giữa tốc độ truy xuất và dunglượng bộ nhớ

· Nếu chọn M=n thì năng xuất tương đương với truy xuất trênmảng (có bậc O(1)), tuy nhiên tốn nhiều bộ nhớ

2.4.2 Bảng băm với phương pháp kết nối hợp nhất

Mô tả:

- Cấu trúc dữ liệu: Tương tự như trong trường hợp cài đặt bằngphương pháp kết nối trực tiếp, bảng băm trong trường hợp nàyđược cài đặt bằng danh sách liên kết dùng mảng, có M phần tử.Các phần tử bị xung đột tại một địa chỉ được kết nối nhau qua mộtdanh sách liên kết Mỗi phần tử của bảng băm gồm hai trường:

· Trường key: chứa khóa của mỗi phần tử

· Trường next: con trỏ chỉ đến phần tử kế tiếp nếu có xungđột

- Khởi động: Khi khởi động, tất cả trường key của các phần tửtrong bảng băm được gán bởi giá trị NullKey, còn tất cả các trườngnext được gán –1.

- Thêm mới một phần tử: Khi thêm mới một phần tử có khóa keyvào bảng băm, hàm băm hkey) sẽ xác định địa chỉ i trong khoảng

từ 0 đến M-1

· Nếu chưa bị xung đột thì thêm phần tử mới vào địa chỉ này

· Nếu bị xung đột thì phần tử mới được cấp phát là phần tửtrống phía cuối mảng Cập nhật liên kết next sao cho các phần tử bịxung đột hình thành một danh sách liên kết

- Tìm kiếm: Khi tìm kiếm một phần tử có khóa key trong bảngbăm, hàm băm h(key) sẽ giúp giới hạn phạm vi tìm kiếm bằngcách xác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1, và việc tìmkiếm phần tử khóa có khoá key trong danh sách liên kết sẽ xuấtphát từ địa chỉ i

Để minh họa cho bảng băm với phương pháp kết nối hợp nhất, xét

Next

A

dd

Key

Next

0

NullKey

1

0

NullKey

1

1 ullKey 1 1

ullKey

1

-1M

-1

NullKey

1

int key; //khoa cua nut tren bang bam

int next; //con tro chi nut ke tiep khi co xung dot

} NODE;

NODE hashtable[M]; //Khai bao bang bam

Cài đặt bảng băm dùng phương pháp kết nối hợp nhất:

2.4.3 Bảng băm với phương pháp dò tuần tự

Mô tả:

- Cấu trúc dữ liệu: Bảng băm trong trường hợp này được cài đặtbằng danh sách kề có M phần tử, mỗi phần tử của bảng băm là mộtmẫu tin có một trường key để chứa khoá của phần tử Khi khởiđộng bảng băm thì tất cả trường key được gán NullKey;

- Khi thêm phần tử có khoá key vào bảng băm, hàm băm h(key) sẽxác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1:

· Nếu chưa bị xung đột thì thêm phần tử mới vào địa chỉ này

· Nếu bị xung đột thì hàm băm lại lần 1, hàm h1 sẽ xét địa chỉ

kế tiếp, nếu lại bị xung đột thì hàm băm thì hàm băm lại lần 2, hàmh2 sẽ xét địa chỉ kế tiếp nữa, …, và quá trình cứ thế cho đến khinào tìm được địa chỉ trống và thêm phần tử mới vào địa chỉ này

- Khi tìm một phần tử có khoá key trong bảng băm, hàm bămh(key) sẽ xác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1, tìm phần tửkhoá key trong bảng băm xuất phát từ địa chỉ i

Hàm băm lại lần i được biểu diễn bằng công thức sau:

f(key)=(f(key)+i) %M với f(key) là hàm băm chính của bảng băm

Lưu ý địa chỉ dò tìm kế tiếp là địa chỉ 0 nếu đã dò đến cuối bảng.

Giả sử, khảo sát bảng băm có cấu trúc như sau:

- Tập khóa K: tập số tự nhiên

- Tập địa chỉ M: gồm 10 địa chỉ (M={0, 1, …, 9}

- Hàm băm h(key) = key % 10

Hình thể hiện thêm các nut 32, 53, 22, 92, 17, 34, 24, 37, 56 vàobảng băm.

0 NULL 0 NULL 0 NULL 0 NULL 0 56

1 NULL 1 NULL 1 NULL 1 NULL 1 NULL

Khai báo cấu trúc bảng băm:

struct node hashtable[M]; //Khai bao bang bam co M nut

Cài đặt bảng băm dùng phương pháp dò tuyến tính:

2.4.4 Bảng băm với phương pháp dò bậc hai

Mô tả:

- Bảng băm trong trường hợp này được cài đặt bằng danh sách kề

có M phần tử, mỗi phần tử của bảng băm là một mẫu tin có mộttrường key để chứa khóa các phần tử

- Khi khởi động bảng băm thì tất cả trường key bị gán NULLKEY

Khi thêm phần tử có khóa key vào bảng băm, hàm băm h(key) sẽxác định địa chỉ i trong khoảng từ 0 đến M-1

· Nếu chưa bị xung đột thì thêm phần tử mới vào địa chỉ inày

· Nếu bị xung đột thì hàm băm lại lần 1 h1 sẽ xét địa chỉ cách

i là 12, nếu lại bị xung đột thì hàm băm lại lần 2 h2 sẽ xét địa chỉcách i 22 ,… , quá trình cứ thế cho đến khi nào tìm được trống vàthêm phần tử vào địa chỉ này

- Khi tìm kiếm một phần tử có khóa key trong bảng băm thì xétphần tử tại địa chỉ i=f(key), nếu chưa tìm thấy thì xét phần tử cách

i 12, 22, …, quá trình cứ thế cho đến khi tìm được khóa (trường hợptìm thấy) hoặc rơi vào địa chỉ trống (trường hợp không tìm thấy)

- Hàm băm lại lần thứ i được biểu diễn bằng công thức sau:

fi(key)=( f(key) + i2 ) % M

với f(key) là hàm băm chính của bảng băm

Nếu đã dò đến cuối bảng thì trở về dò lại từ đầu bảng

Bảng băm minh họa có cấu trúc như sau:

- Tập khóa K: tập số tự nhiên

- Tập địa chỉ M: gồm 10 địa chỉ (M={0, 1, …, 9}

- Hàm băm f(key) = key % 10

Khai báo cấu trúc bảng băm:

#define NULLKEY –1

#define M 101

/*

M la so nut co tren bang bam,du de chua cac nut nhap vao bangbam,chon M la so nguyen to

//Khai bao bang bam co M nut

struct node hashtable[M];

int N;

Cài đặt bảng băm dùng phương pháp dò bậc hai:

Hàm băm: Giả sử chúng ta chọn hàm băm dạng%: f(key)=key

for(i=0; i<M;i++) hashtable[i].key = NULLKEY;

N=0; //so nut hien co khoi dong bang 0

Bảng băm trong trường hợp này được cài đặt bằng danh sách

kề có M phần tử, mỗi phần tử của bảng băm là một mẫu tin có mộttrường key để lưu khoá các phần tử

- Khi khởi động bảng băm, tất cả trường key được gán NULLKEY

- Khi thêm phần tử có khoá key vào bảng băm, thì i=h1(key) vàj=h2(key) sẽ xác định địa chỉ i và j trong khoảng từ 0 đến M-1:

· Nếu chưa bị xung đột thì thêm phần tử mới tại địa chỉ i này

· Nếu bị xung đột thì hàm băm lại lần 1 h1 sẽ xét địa chỉ mớii+j, nếu lại bị xung đột thì hàm băm lại lần 2 h2 sẽ xét địa chỉ i+2j,

…, quá trình cứ thế cho đến khi nào tìm được địa chỉ trống và thêmphần tử vào địa chi này

- Khi tìm kiếm một phần tử có khoá key trong bảng băm, hàm bămi=h1(key) và j=h2(key) sẽ xác định địa chỉ i và j trong khoảng từ 0đến M-1 Xét phần tử tại địa chỉ i, nếu chưa tìm thấy thì xét tiếpphần tử i+j, i+2j, …, quá trình cứ thế cho đến khi nào tìm đượckhoá (trường hợp tìm thấy) hoặc bị rơi vào địa chỉ trống (trườnghợp không tìm thấy)

Bảng băm dùng hai hàm băm khác nhau, hàm băm lại củaphương pháp băm kép được tính theo hai giá trị: i (kết quả hàmbăm thứ nhất) và j (kết qủa hàm băm thứ hai) theo một công thứcbất kì Nếu đã dò đến cuối bảng thì trở về dò lại từ đầu bảng

Bảng băm minh họa có cấu trúc như sau:

{

int key;//khoa cua nut tren bang bam

struct node hashtable[M]; //khai bao bang bam co M nut

Bài 4:CÂY, CÂY NHỊ PHÂN, CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

1 Cấu trúc cây

1.1 Định nghĩa 1:

Cây là một tập hợp T các phần tử (nút trên cây) trong đó có 1nút đặc biệt T0 được gọi là gốc, các nút còn khác được chia thànhnhững tập rời nhau T1, T2 , , Tn theo quan hệ phân cấp trong đó

Ti cũng là một cây

Nút ở cấp i sẽ quản lý một số nút ở cấp i+1 Quan hệ nàyngười ta còn gọi là quan hệ cha-con

1.2 Một số khái niệm cơ bản

- Bậc của một nút: là số cây con của nút đó

- Bậc của một cây: là bậc lớn nhất của các nút trong cây Cây cóbậc n thì gọi là cây n-phân

- Chiều cao h của cây: mức lớn nhất của các nút lá

1.3 Một số ví dụ về đối tượng các cấu trúc dạng cây

- Sơ đồ tổ chức của một doanh nghiệp

- Sơ đồ tổ chức cây thư mục

2 CÂY NHỊ PHÂN

2.1 Định nghĩa

Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con

Cây nhị phân có thể ứng dụng trong nhiều bài toán thôngdụng Ví dụ dưới đây cho ta hình ảnh của một biểu thức toán học:

- Số nút ở mức I  2I-1

- Số nút ở mức lá  2h-1, với h là chiều cao của cây

- Chiều cao của cây h  log2N (N - số nút trên trong cây)

2.3 Biểu diễn cây nhị phân T

Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (nút) đượckết nối với nhau theo quan hệ “cha-con” với mỗi cha có tối đa 2con Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liênkết Ứng với một nút, ta dùng một biến động lưu trữ các thông tin:

+ Thông tin lưu trữ tại nút

+ Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ

+ Địa chỉ nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ

Khai báo như sau:

typedef struct tagTNODE

{

Data Key;//Data là kiểu dữ liệu ứng với thông tin lưu tại nút struct tagNODE *pLeft, *pRight;

}TNODE;

typedef TNODE *TREE;

2.4 Các thao tác trên cây nhị phân

Thăm các nút trên cây theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

void NLR(TREE Root) {

Thăm các nút trên cây theo thứ tự giữa (Left- Node-Right)

Thăm các nút trên cây theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

Ứng dụng tính toán giá trị của biểu thức

(3 + 1)3/(9 – 5 + 2) – (3(7 – 4) + 6) = –13

2.5 Biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân

Nhược điểm của các cấu trúc cây tổng quát là bậc của các núttrên cây có thể rất khác nhau  việc biểu diễn gặp nhiều khó khăn

và lãng phí Hơn nữa, việc xây dựng các thao tác trên cây tổng quátphức tạp hơn trên cây nhị phân nhiều

Vì vậy, nếu không quá cần thiết phải sử dụng cây tổng quát,người ta sẽ biến đổi cây tổng quát thành cây nhị phân

Ta có thể biến đổi một cây bất kỳ thành một cây nhị phântheo qui tắc sau:

- Giữ nút con trái nhất làm con trái

- Các nút con còn lại biển đổi thành nút con phải

VD: Giả sử có cây tổng quát như hình sau:

Cây nhị phân tương ứng sẽ như sau:

2.6 Một cách biểu diễn cây nhị phân khác

Đôi khi, trên cây nhị phân, người ta quan tâm đến cả quan hệchiều cha con Khi đó, cấu trúc cây nhị phân có thể định nghĩa lạinhư sau:

typedef struct tagTNode

DataType Key;

struct tagTNode* pRight;

}TNODE;

typedef TNODE *TREE;

3 CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

3.1 Định nghĩa:

Cây nhị phân tìm kiếm (CNPTK) là cây nhị phân trong đó tạimỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nútthuộc cây con trái và nhỏ hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây conphải

Dưới đây là một ví dụ về cây nhị phân tìm kiếm:

Nhờ ràng buộc về khóa trên CNPTK, việc tìm kiếm trở nên

có định hướng Hơn nữa, do cấu trúc cây việc tìm kiếm trở nênnhanh đáng kể Chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoảng log2N

Trong thực tế, khi xét đến cây nhị phân chủ yếu người ta xétCNPTK

3.2 Các thao tác trên cây

3.2.1 Thăm các nút trên cây

3.3.3 Thêm một phần tử x vào cây

Việc thêm một phần tử X vào cây phải bảo đảm điều kiệnràng buộc của CNPTK Ta có thể thêm vào nhiều vị trí khác nhautrên cây, nhưng nếu thêm vào một nút lá thì sẽ dễ nhất do ta có thểthực hiện quá trình tương tự thao tác tìm kiếm Khi chấm dứt quátrình tìm kiếm ta sẽ tìm được vị trí cần thêm

Hàm insert trả về giá trị –1, 0, 1 khi không đủ bộ nhớ, gặpnút cũ hay thành công:

{

if(T)

{