Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.. Gọi F là điểm thuộc AD sao cho EF vuông góc với AD.. Đường thẳng CF cắt O tại điểm thứ hai là M.. BD và CF cắt nhau tại N.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ A
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán
Câu I (2,0 điểm)
1) Giải các phươnh trình:
a) x – 5 = 0
b) x2 – 4x +3 = 0
2) Giải hệ phương trình:
4 3
1 2
y x y x
Câu II (2điểm)
Cho biểu thức: 1 1 :2( 2 1 1)
x
x x x
x
x x x x
x x
1) Rút gọn A
2) Tìm các giá trị của x để A có giá trị nguyên
Câu III (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng(d): y = mx +1 và parabol(P): y = 2x2 1) Tìm m để (d) đi qua A(1;3)
2) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) Hãy tính giá trị của T = x1x2 + y1y2
Câu IV ( 3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Gọi F là điểm thuộc AD sao cho EF vuông góc với AD Đường thẳng CF cắt (O) tại điểm thứ hai là M BD và CF cắt nhau tại N CMR
1) Tứ giác CEFD nội tiếp
2) FA là tia phân giác của góc BFM
3) BD.NE = BE.ND
Câu V (1,0 điểm)
Cho a,b,c là 3 số thực dương thõa mãn: a2 + 2b2
3c2 CMR: a1b2 c3
ĐÁP ÁN
Câu I (HS tự giải)
Câu II
1) Ta có
1
1 )
1 (
2
1
2
1
) 1 ( 2 : 1 1
) 1 )(
1 (
) 1 ( 2 : ) 1 (
) 1 )(
1 ( )
1 (
) 1 )(
1
x
x x
x
x
x
x
x x
x x x
x x x
x
x x
x
x x x x
x
x x x
A
2) Ta có
1
2 1 1
2 1 1
1
x x
x x
x
A Để A có giá trị nguyên thì 2 chia hết cho (
1
x )
Suy ra x 1 là Ư(2) = 2 ; 1 ; 1 ; 2
Ta có bảng giá trị:
1
Trang 2x Không thõa
mãn
Vậy x = 4 hoặc x = 2 thì A m\nhận giá trị nguyên
Câu III
1) Thay x =1; y = 3 vào (d) ta được: m.1 +1 = 3 suy ra m = 2
2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x2 = mx + 1 2x2 –
mx - 1 = 0
Ta có a = 2, b = -m, c = -1 b2 4ac ( m) 2 4 2 ( 1 ) m2 8 0 m phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m nên (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phâ
biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) với mọi m Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
2
1
2
2 1
2 1
x x
m x x
Ta có T = x1.x2+ y1y2 Mà y1= 2x12 và y2 = 2x22 nên T = x1x2 + 2x2.2x22 =
2
1 4
1 4 2
1 )
2
1
(
4
2
1) Ta có ACD 90 0 ECD 90 0
Lại có EF AD EFD 90 0
Xét tứ giác EFDC có
0
180
ECD EFD
Suy ra tứ giác EFDC nội tiếp
2) Chứng minh tương tự: tứ giác AFBE nội tiếp
Suy ra: BFA BEA
Lại có BEA CED
Mặt khác CFD AFM
Suy ra: góc BFA = AFM suy ra FA là tia phân giác của góc BFM
3 Ta có góc BCA = BDA( cùng chằn cung AB) lại có góc BAD = ECF = ACM suy
ra BCA = ACM suy ra CA là tia phân giác của BCN suy ra ( 1 )
CN
BC EN
BE
Kéo dài các tia BC và DC ta có các tia Cx và Cy Do tứ giác ABCD nội tiếp suy ra góc Bcy = BAD, góc BCF = DEF, lại có DEF = BAD ( do tứ giác ABEF nội tiếp) suy ra góc DCF = Bcy mặt khác góc Bcy = DCx suy ra DCx = DCF nên CF là tia phân giác ngoài
CN
BC DN
BD hay BC
CN BD
DN
Từ (1) và (2) ta suy ra EN BE =DN BD BE.DN = BD.EN (đpcm)
Câu V
A
B
C
D
M
E
F
N
Trang 3Theo bài ra ta có: 2 3 22 3
2 2
2 2 2 2
c
b c
a c b
c
b x c
a
; suy ra: x2+2y2 3
Suy ra 3 x2+2y2 = x2+y2+y2 3 3 x2y4 x2y4 1 (1)
Đặt
3
1 2
6 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 6 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
6 4 2 6
y x y
y y y x x y
y y y x x y x b
c
a
c
P
Từ (1) và (2) suy ra: P 3 hay 2 3 1 2 3(đpcm)
c b a b
c a
c