BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊBÀI GIẢNG VẬT LÍ THỐNG KÊ

4 KSVL

Tμi liệu - Tham khảo

Chuơng 1 Các khái niệm cơ bản

Chuơng 2 Cơ sở VLTK cổ điển

à 1 Cơ học Hamilton với việc mô tả hệ nhiều hạt

Hệ (cơ học) cổ điển với f bậc tự do đợc mô tả bằng toạ độ suy rộng q i @tD và động lợng suy rộng p i @tD thoả mãn p/tr

chuyển động

H1.1L q°

i=∑H

°

i= -∑H

∑qi

trong đó H = HAq1, p1, ∫, q f , p f , tE là hàm Hamilton H=T+U (với T - động năng và U - thế năng tuơng tác

Mỗi điểm trong không gian pha 2 f chiều biểu diễn 1 tr/thái vi mô ủ tập hợp toạ độ x = 9q1, p1,∫, q f , p f = fl x@tD biểu

diễn chuyển động của hệ trong không gian pha ê hay quỹ đạo pha

G/s A = A@x, tD mô tả một đặc tính nào đó của hệ e các biến của không gian pha và cũng có thể e t "Aet:

H1.2L „ A

„ t =

∑A

∑t +‚ i=1

f ∑A

∑qi qi

∑pi p

°

i =∑A

∑t + ‚ i=1

f ∑A

∑qi

∑H

∑pi

-∑A

∑pi

∑H

∑qi

Gọi là ngoặc Poisson @A,HD

fl „ A

„ t =

∑A

∑t + @A, HD G/s H–t tờng minh ∑H

∑t = 0 ù „H

„t = 0 vì [H,H]ê0 fl E=H[ x[0] ] là một tích phân c/đ (không thay đổi trong q/tr c/đ ê bảo toàn) Tr/thái với 1 giá tri NL xác định nào đó sẽ giới hạn trên 1 siêu mặt 2f-1 chiều trong k/gian pha

à 2 Tập hợp TK Gibbs

Tập hợp TK Gibbs

Không thể x/đ 8p i HtL, q i HtL< một cách c/x fl tại t bất kỳ coi là 1 b/c ngẫu nhiên - có x/s xảy ra nhất định

Tập hợp {" b/cố} ê {" vi thái của hệ}ê{" điểm pha} -deft/hợp TK Gibbs (G)

Hμm phân bố TK vμ TB theo tập hợp TK

Do k/gian pha là liên tục fl x/d r[q,p] - mật độ x/s xuất hiện vi thái ê hàm phân bố TK TB TK của A:

(1.3) XA\=Ÿr[q,p].A[q,p].„q.„p

ý nghĩa: bằng cách nào đó !!? tìm đuợc dạng r[q,p] (1.3) fl XA\ (không cần TB theo t của A tức lμ không cần biết

p i HtL, q i HtL "i)

à 3 Tính chất của hμm phân bố TK - Định lý Liuouville

1/ Chuẩn hoá: Ÿ

" miên xờđ tập hợpTK

r[q,p].„q.„pê1 (toàn vẹn x/s)

2/ Phụ thuộc t - ĐL Liouville (do p = pHtL, q = qHtL fl r=r(t)), „r(t)/„t ê biến thiên r dọc theo quỹ đạo pha 8p i HtL, q i HtL<

H1.4L „ r

∑t =

∑ r

∑t +‚

i

∑ r

∑ p i

„ p i

„ t +

∑ r

∑q i

„ q i

„ t

pờtr Hamilton ∑ r

∑t +@r, HD

CM:!!!số "hạt pha" hệ N bảo toàn fl „r/„t=0 hay r=const ("hạt pha" - điểm pha hay vi thái mà hệ có thể $ trong đó, t - hạt pha c/đ trên các quỹ đạo pha tạo nên các "đờng dòng" liên tục)

p/tr liên tục cho mật độ x/s: " diểm pha -đồng x/s fl số "hạt fa" e thể tích pha V tại t bất kỳ:

N V = N Ÿ

V

r@qHtL, pHtLD „q.„ p

thể tich vi phân fa

; Ÿ

HVL

„q.„pê(V); với Vê{G} ủ N V ê N;

„ N V ờ„t ê N Ÿ

V

H∑ rờ∑tL

đờh riêng „q.„p ê sự biến thiên số hạt e V / (1đ.v t)

ê số hạt vợt qua biên của V /(1 đ.v.t)

ê - N Ÿ

S

Ir.v”M n „ s ê -N Ÿ

HVL

divIr.v”M „q.„ p

v”def-:„q1

„t , , „q N

„t , „p1

„t , , „p N

„t >

divIr.v”M ê ⁄ i 3 N H∑ rờ∑q i L.q° i+ r.H∑q° i ờ∑q iL+H∑ rờ∑ p i L.p° i+ r H∑ p° i ờ∑ p iL

do q ° = ∑Hờ∑p i ; p ° = -∑Hờ∑q i fl∑ q°

i ờ∑q iê∑2H ỡH∑ p ò Lê-∑ p i ∑q i °i ờ∑ p i

fl (1.5) ⁄i 3 N ∑q° i ờ∑q i +∑ p°

i ờ∑ p iê0

fl divIr.v”M ê⁄ i 3 N H∑ rờ∑q i L.q° i+H∑ rờ∑ p i L.p° iê[r,H]

fl „ N V ờ„t ê -N Ÿ

V

@r, HD„q.„p fl ∑r/∑tê-[r,H]

ủ„r/„tê ∑r/∑t+[r,H]ê0

Hàm phân bố x/s không thay đổi dọc theo quỹ đạo pha - Đ/L Loiuville hay p/tr Louiville

Dạng p/b thứ 2 ĐTC: ứng với "số hạt pha" xác định Thể tích pha bao bọc "số hạt pha" này không đổi theo thời gian

G/s bằng cách nào đó biết tập hợp n đ/k ban đầu x/đ (tơng ứng bộ n "hạt pha" 8p i Ht = 0L, q i Ht = 0L<) theo thời gian n - quỹ

đạo pha, tại mỗi t: bao bọc bởi một không gian pha DG(n)

CM: DGHnL = Ÿ

n HtL „ q.„ p ê Ÿ

n Ht=0L

„ q0.„ p0 hay „ DGHnLờ„t ê 0 chuyển biến 8pi HtL, q i HtL< fl 8p i Ht = 0L, q i Ht = 0L<:

DGHnL = Ÿ

n HtL „ q.„ pê Ÿ

n Ht=0L

D HtL „q0.„ p0 - D ma trận Jacobian;

D=

∑x1ở∑x1 ∑x1ở∑x2 ∑ x1ở∑x2 f0

∑x2ở∑x1 ∑x2ở∑x1 ∑x2ở∑x1

∑x2 fở∑x1 ∑x2 fở∑x1 ∑x2 fở∑x1

ê8di k<

với x=q, p; f - số bậc tự do

„ DGHnLờ„t ê Ÿ

n Ht=0L H∑ DHtLờ∑tL „q0.„ p0 fl cần CM ∑ D(t)/∑tê0

∑ D ờ∑t = ⁄ i,k H∑Dờ∑d i k L H∑d i k ờ∑tL ê ⁄ i,k H∑Dờ∑d i k L I∑x†i ở∑x kM

I∑x†i ở∑x kM = ⁄l H∑x†i ờ∑x l L I∑x l ở∑x kM ê ⁄l H∑x†i ờ∑x l L d l k

fl ∑ D ờ∑t = ⁄ i,l H∑x†i ờ∑x lL ⁄k H∑Dờ∑d™i kL d l k

D.di l

ê D⁄i

2 f H∑x†i ờ∑x iL

ê⁄i

f H∑q†i ờ∑q i + ∑ p†i ờ∑ p iL ửH1.5L0

TD:

Tuơng đuơng giữa 2 cách phát biểu: trong 1 vi phân thể tích "bao bọc" k hạt „ G k=Ôi f=1„ q i k „ p i k số hạt pha sẽ là

N.r A9q k , p k =, tE „G k số này phải không đổi nên nếu rA9qk , p k=E=const ủ„Gk=const dọc quỹ đạo pha

Hệ quả:

Tr/thái CBNĐ (tham số vĩ mô –t) XA\ – t ủH1.3L ∑r/∑tê0 (nghĩa là r@tD ê r@p i HtL, q i HtLD (chứ không phải r@p i HtL, q i HtL, tD )

ĐờL Louville

[r,H]ê0 fl r- tích phân ch/động

$ 7 tích phân c/đ: E, + , , (tính đồng nhất thời gian, không gian, đẳng hớng không gian) - xét c/đ hỗn loạn nhiệt ê khối tâm đứng yên + hệ không quay fl $! E - tích phân c/đ fl r[q,p]êr[H(q,p)]

ù đoán nhận dạng của r - phụ thuộc NL

Hệ vĩ mô ={fần vĩ mô} + NL tơng tác giữa các phần vĩ mô <<NL mỗi fần fl H @ H1+ H2+ =⁄i H i fl rHHL @ rH⁄ i H iL

tơng tác yếu fl coi gần đúng là độc lập TK fl x/s bằng tích các x/s r@HD = r@H1D.r@H2D r@HND fl lnHr@HDL ê ⁄ ilnHr@HiDL

$! 1 quan hệ hàm số thoả mãn 2 đ/k trên - hàm exponent

Số hạt không đổi + CBNĐ fl r@q, pD = :‰ -b H@q,pD - : - hệ số chuẩn hoá : Ÿ ‰-b.H@q,pD „ q.„ p ê 1 (b>0, "-" đ/k giới nội)

à 4 Giả thuyết chuẩn ergodic

Giả thuyết thay A tfi XA s\ " A vĩ mô trong TD camera và các frames G/s thời gian quay đủ lớn (số frames lớn N=t/Dt) ta

thu đợc 2 khuôn hình giống nhau (hệ trở về tr/thái ban đầu) Q/trình thuận nghịch do tơng tác đàn hồi ủcho camera quay

g g g g q y chiều ngợc đi qua " tr/th trung gian theo chiều ngợc Hệ kín số vi thái lớn nhng hữu hạn fl cơ sở cho việc thay thế 2 TB:

hệ với thời gian đủ lớn sớm hay muộ cũng đi qua " vi thái trong tập hợp TK

Boltzman fl giả thuyết Ergodic: với t đủ lớn TB theo t sẽ tiến tới TB thống kê

A t= lim

tỉả

1

t ‡ 0

t

A @qHtL, pHtLD „t = XA s\

" hệ thoả mãn đ/k trên - hệ ergodic; không thoả mãn - non-ergodic

Hệ kín XA s \ e duy nhất E fl A t=XAs \=A(E) hay XA\=Ÿr[q,p,E].A[q,p].„q.„p

Biện luận: TD về hệ ergodic & non-ergodic

1/ Nớc - chất lởng với tần số quan sát ~ 1 Hz, chất rắn 1012Hz

2/ phần lớn hệ thực có t (thời gian cho nghiệm đúng ergodic) nhỏ so với thời gian vĩ mô (rắn, lỏng, khí)

Thuỷ tinh (glass, spin slass ) t~ vài trăm năm ê non-ergodic Khó đạt tới tr/th CB mà chỉ là các tr/th chuyển tiêp (giả bền)

3/ polymer - t trong miền trung gian giữa 2 loại trên fl tuỳ thời gian đặc trng cho quan sát mà coi là E hay non-E

à 5 Các phân bố Gibbs cổ điển

Việc tính toán tham số vĩ mô (ĐL đo đợc) bằng TBTK theo toàn tập hợp Gibbs ("vi thái tuân theo ergodic), tơng ứng với 1

vĩ thái (đặc trng bộ tham số vĩ mô độc lập –t) với r=r(E)

Phụ thuộc đ/k bên ngoài của hệ fl Cách chọn bộ tham số vĩ mô độc lập khác nhau fl vĩ thái (tập hợp Gibbs) khác nhau

chính tắc vi mô (N,V,E) mô chính tắc (N,V,T) chính tắc lớn (T,V,m)

k/ trao đổi hạt: N=const N=const trao đổi hạt

k/trao đổi nhiệt trao đổi nhiệt T = TMT T = TMT

m=const

p/B Vi chính tắc

Hệ cô lập fl NL bảo toàn H[q,p]=E " 8q i , p i< - p/tr x/đ 1 bề mặt

" điểm fa (vi thái) đều e bề mặt và ngợc lại " điểm e bề mặt có thể vi thái

fl r[q,p]∫0 "vithái trên bề mặt và r[q,p]=const (–t ĐL Liouville)

toán học

dạng hàm d: r[q,p]=const.d[H[q,p]-E]

hàm d ∫ di j - kronecker:

d(x)=0 "x∫0 , d(0)=ả ; Ÿ

-ả

ả

dHxL „ x = 1; Ÿ

-ả

ả

dHx - x0L fHxL „ x = fHx0L

X/đ const=?

Hằng số const x/đ từ đ/k chuẩn hoá xs+const–q,p (fl chỉ e E):

1=const.Ÿd[H[q,p]-E]„q„p

H[q,p]=H p/tr x/đ một bề mặt fl G[H]= Ÿ

H @q,pD=H

„q„p - thể tích của phần k/gian (2N thể tích) nằm trong bề mặt H[q,p]=H

fl G[H] e H, –q,p (sau tích phân) - hàm đơn biến của H fl ‚G=W(H)‚H

- phần thể tích giới hạn bởi 2 bề mặt H và H+dH

q

p

H[q,p]=H

H[q,p]=H+dH

1 = const.Ÿ Ÿđ

2 f

d@H@q, pD - ED H„q „ pL f

f-1 ŸconstŸ d@H@q, pD - ED WHHL „ H=const.W(E)ê1

P/B chính tắc vi mô: r[q,p]=d[H[q,p]-E]/W(E)

p/B Chính tắc

Hệ có tiếp xúc bình nhiệt (có trao đổi NL dạng nhiệt)

Bình nhiệt LT ê bình nhiệt vô hạn (để T=const) fl H'>>H (bậc tự do f'>>f)

Lập hệ mới lớn hơn (={H,H'}; do chỉ có trao đổi nhiệt giữa H & H' fl (êcô lập fl E = H + H' + U H,H' =const (U H,H' -

tơng tác giữa H & H')

H'>>H H

Đánh giá U với H: U~-P.S (S- diện tích tiếp xúc H&H') fl U~S S ~ V2ờ3~N2ờ3<< N (với Nửả) fl U<<H (có thể bỏ qua tơng tác so với nộ năng)

( cô lập fl áp dụng vi chính tắc cho (

XA\= Ÿ

Hq,pL Ÿ

Hq',p'L

dHH'+H-EL

WHEL

r@q,p,q',p'D

A Hq, pL

đờl eHflchỉ e 8q,p<

„q„p„q'„p'

mục đích tìm r(q,p) sao cho XA\= Ÿ

Hq,pL

r(q,p).A(q,p)„q„p (không có bậc tự do f')

mục đích tìm r(q,p) sao cho XA\= Ÿ

Hq,pL

r(q,p).A(q,p)„q„p

so sánh fl r(q,p)= Ÿ

Hq',p'L

dHH'+ H -EL WHEL „ q' „ p'

„G'=W'HH'L „H'

ùW 'HE-HL

WHEL

??! không biết đợc dạng W' (e bình nhiệt) fl x/đ từ đ/k chuẩn hoá xs

H'>>H fl E>>H khai triển gần đúng: W 'HE - HL = ‰lnW'HE-HL @ ‰

lnW'HEL-H ‚lnW' âHELờ‚E

1ờq ê W 'HEL.‰ -Hờq 1/q - hằng số: –H (e - bình nhiệt) - modul của phân bố

P/B chính tắc: r@q, pD = W'HEL WHEL „-Hờq

œH

E=const

C„-Hờq X/đ C: ŸC‰-Hờq„Gê1

Đặt C = A.‰ Fờq flAŸ‰-Hờq„Gê‰-Fờq fl:Z =

def

AŸ ‰-Hờq tích phân TK

F =def-qlnZ NL tự do A- hằng số đa vào để đảm bảo quan hệ TK cổ điển & lợng tử

g q g

Z- còn gọi là hàm phân hoạch; đ/v hệ rời rạc (lợng tử) các mức NL gián đọan fl tổng TK

So sánh P/B vi chính tắc vμ chính tắc

vi chính tắc: XA\vct =ŸdHH-ELWHEL

â rvct

A „ G

WHHL „H

êA(E)

chính tắc: XA\ct =ŸrctHq, pL A „G

WHHL „H

êA(E)

W(H)ửdef ∑G/∑H: mật độ trạng thái NL - số tr/th NL/1đ.v.NL lân cận H

G thể tích pha ~ p i ; f - số bậc tự do (f>>1)

H~⁄i p i2~ p2 fl G ~ H fờ2 fl W ~ H fờ2-1 fl Hõ flWõ;

rHHL~‰ -Hờq fl Hõ flr(H)ọ;

fl r(H)W(H) đạt max (g/s tại H ê H0)

ρ(H)~e -H/ θ

Ω (H)

fl A‰Hy-HLờq+lnWHHL H =H0 max Y–H -H ờq + lnWHHL H =H0max

fl

∑ờ∑H H0ê0

1âờq

e W'

= „

„H @lnWHHLD H =H0

đ

e W

ê 1 q* - đ/k CB giữa hệ và bình nhiệt

fl XA\ct @ A HH0 L

P HEL

U

microcanonical canonical

A - đ/l bất kỳ nếu lấy A là H fl E @ H0 NL TB xấp xỉ NL có x/s lớn nhất (xem thêm Đ.T.C p.31)

p/B Chính tắc lớn

trờng hợp tổng quát nhất - hệ tiếp xúc với bình nhiệt LT (êtrao đổi nhiệt) + hệ không kín (có trao đổi hạt) Giới hạn - hệ chỉ gồm 1 loại hạt

N

Bình nhiệt LT fl T=const (bình>>hệ);

N' - số hạt của bình nhiệt N'>>N;

Bình+hệêHệ lớn cô lập fl N ' + N = N0êconst

TB TK của XA\êTB cộng theo " vi thái (" vi thái đẳng sx) ê 1

NA ⁄A i

"vi thai

+ +

+ +

+ +

+ +

Tảch riêng thành các tổng con (mỗi tổng con ứng với cùng một số hạt n) fl mỗi tổng con tơng ứng với một tập hợp Gibbs các vĩ thái có cùng số hạt + trao đổi nhiệt ê ttạp hợp chính tắc

XA\=⁄n N=0Ÿ rn HH, nL A „G n với rn HH, nL

e H, n 2 biên

= ‰lnB

W'IE-H,N 0-nM

WHEL F

Bình nhiệt rất lớn: N'>>N fl N0>> N; E>>H fl Khai triển gần đúng đến bậc nhất lnW 'HE - H, N0 - nL @

lnW 'HE, N0L - H ∑

∑ElnW 'HE, N0L

đặt là 1ờq H–H,nL

- n ∑

∑nlnW 'HE, nL N0

đặt là - mờq H–H,nL

fl rn = C n„ -HH-m nLờq với đ/k chuẩn hoá ⁄n NŸ rn‚ Gn∫ 1

Trờng hợp có nhiều loại hạt (r-loại) ta cũng xuất phát từ tổng TK trong biểu diễn TBTK chia thành r loại tổng con sao cho mỗĩ thừa số trong tổng ứng với 1 phân bố chính tắc với số hạt r-loại là 8n1, n2, , nr< là không đổi vá áp dụng phân bố chính tắc cho từng thừa số:

r9n1,n2, ,nr= = C 9n1,n2, ,nr=„ -IH-⁄kmk nkMởq ;

đ/k cchuẩn hoá: ⁄n1⁄n2 ⁄nr‡ r9n1,n2, ,nr=‚ Gr9n 1,n2, ,nr =∫ 1