Tính toán hệ thanh

Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các bước trong chương trước. Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng.

Chương 4

TÍNH TOÁN HỆ THANH

Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các

bước trong chương trước Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán

mà áp dụng

4.1 Hệ thanh giàn

Như đã biết giàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu lực kéo nén dọc trục (đúng tâm)

hay nói cách khác là chỉ chịu biến dạng dọc trục Để đưa ra cách tính của giàn trước hết

ta xét thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục

4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục

Xét phần tử thanh có hai đầu mút, trên thanh có tải trọng phân bố q(x)dọc trục Khi

đó thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục và mỗi đầu mút có một chuyển vị, phần tử thanh có

2 bậc tự do đó là chuyển vị u1 và u2 của nút đầu và cuối

Hàm chuyển vị xấp xỉ tại một vị trí bất kỳ của thanh u(x) có dạng:

x x

Suy ra:

[ ( )] { }α)

(x P x

u = ; [P(x)] [= 1 x]

Nếu cho x = 0 và x= l ta có 2 chuyển vị tại nút:

2 1

0 1α

Thay vào hàm chuyển vị được:

x A

x P

x dx

d N

Suy ra:

[ ]=⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤

l l

l

1 1

1 1

1 1 0

11

x dx

x p N P

l T

l

1)

0

l P dx l x l

x p

l T

Ve

i

Trong đó:

T - Độ biến thiên nhiệt độ

Sau khi xác định được chuyển vị của hệ ta xác định được chuyển vị nút của phần tử

trong hệ toạ độ cục bộ, nội lực trên phần tử được xác định như sau:

u

u l l FE

Hình 4-2 Phần tử giàn phẳng

Ma trận độ cứng của giàn phẳng được lập dựa trên ma trận độ cứng của thanh kéo

nén dọc trục Với phần tử giàn phẳng, tại một nút ta có 2 chuyển vị Khi đó phần tử sẽ có

v u v u

u e

Chính vì vậy ma trận độ cứng của giàn là ma trận kích thước 4 x 4, các thành phần

của nó được lấy từ ma trận độ cứng của phần tử chịu biến dạng dọc trục

11

0101

0000

0101

l EF

Mỗi phần tử giàn phẳng có một hệ toạ độ cục bộ riêng do đó cần có ma trận chuyển

X

α

Hình 4-3 Phần tử giàn phẳng trong hệ toạ độ tổng thể

Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ

y x

m m

l l

Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau:

lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y)

Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta

sẽ tính được các giá trị lx, ly

2 1

cos(y,X) = -sinα; cos(y,Y) = cosα

Vậy ma trận chuyển hệ toạ độ có dạng:

αα

cossin

sincos

0

4.1.3 Giàn không gian

Phần tử giàn không gian cũng chỉ chịu lực dọc trục, ma trận độ cứng của phần tử

giàn không gian dựa trên ma trận độ cứng của phần tử kéo nén dọc trục

000000

001001

000000

000000

001001

Hình 4-4 Phần tử giàn không gian

Việc xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ phức tạp hơn so với giàn phẳng Xét

một thanh nằm trong không gian có hệ tọa độ cục bộ xyz Trong đó trục x luôn hướng

theo trục phần tử, trục y, z tạo với trục x thành một tam diện thuận

y

P

A(X 1 , Y 1 , Z 1 ) B(X 2 , Y 2 , Z 2 )

Hình 4-5 Phần tử giàn không gian trong hệ toạ độ tổng thể

Dựa vào tọa độ của nút đầu và nút cuối phương trục x luôn xác định Người sử dụng

cần khai báo hướng của một trong hai trục còn lại thông thường là trục z, hướng của trục

y còn lại được xác định dựa vào 2 trục đã biết x, z Trục z được xác định bằng cách khai

báo thêm điểm p là điểm nằm trong mặt xy, do z vuông góc với mặt xp nên:

p x

zr = r× r

Hướng của y được xác định theo x và z: yr= zr×xr

Tích có hướng của 2 véctơ được định nghĩa như sau (cr ar br

×

= ):

Về mặt hình học véctơ cr có phương vuông góc với mặt phẳng được tạo bởi hai

véctơ ar và br, độ lớn của cr bằng diện tích của hình bình hành do ar và brtạo ra

a a

b b

b

br

thì véctơ cr được xác định như sau:

x z z x

y z z y

z y x

z y x

z y x

b a b a

b a b a

b a b a

b b b

a a a

k j i

c c

c c

rrr

Chiều dài phần tử được xác định theo công thức:

1 2

2 1 2

2 1

r

=,

v

v Y

r

=,cos ; ( )

v

v Z

r

=,cos

Dựa vào 3 véc tơ của hệ tọa độ cục bộ xr ,,yr zr ta có ma trận chuyển hệ trục tọa độ

z y x

z y x

n n n

m m m

l l l

Trong đó:

lx = cos(x,X); mx = cos(x,Y): nx = cos(x,Z)

ly = cos(y,X); my = cos(y,Y); ny = cos(y,Z)

lz = cos(z,X); mz = cos(z,Y); nz = cos(z,Z)

0

4.2 Khung phẳng không có kéo nén dọc trục

4.2.1 Ma trận độ cứng

Xét một phần tử khung phẳng không bị kéo nén dọc trục Khi đó phần tử khung có

4 bậc tự do, hàm chuyển vị theo phương thẳng đứng được chọn như sau:

3 4

2 3 2 1)

1

3 2 1

)

(

ααα

α

x x x x

=

=

4 3 2

1

2 2

4 3

) (

ααα

αα

αα

dx

dv x

Tại các nút chuyển vị có giá trị như sau:

1 0 1

1 =v =v(x) x= =α

q

2 0 2

3 4

2 3 2 1 2

3 4 3 2 2

dx

dv q

l x

ααα

=

=Viết dưới dạng ma trận:

2

3 2

0 0 1 0

0 0 0 1

αααα

l l

l l l q

2 2

1

1 2 1 2

1 3 2

0

0 0 0 1

l l l l

l l l l

2 2

3 2 1

1 2 1 2

1 3 2

0

0 0 0 1

1

l l l l

l l l l x x x A

P

3

3 2

2

l

x l

x

2

3 2

l

x l

x x

3

3 2

2

l

x l

x

3 2 4

l

x l

u =− ⋅θ =− , trong đó y là khoảng cách từ trục trung hòa đến một điểm nào đó trong

thanh Biến dạng dọc trục được xác định theo công thức:

2 2

dx

v d y dx

x l

l

x l l

x l

2 2

3

462

6

612612

264

6

6126

12

l l l

l

l l

l l l

l

l l

l

n

i

T Qi T

dx

dN Q

x N dx

x q N

M và xMi- giá trị của mômen tập trung và tọa độ điểm đặt;

n và m - số lực tập trung và mômen tập trung

4.2.2.1 Trường hợp lực phân bố đều:

232

231

2 0 0

2 0 0

0

2

3 2 3

3 2

2

2

3 2 3

3 2

2

0

4 3 2 1

l q

l q

l q

l q

dx

l

x l x l

x l

x

l

x l

x x

l

x l

x

q F F F F F

3 2

2

2

3 2 3

3 2

2

232

231

l

a l a l

a l

a

l

a l

a a

l

a l

{ } M

dx dN F

F F F F

T

a x

2 2

2 2 3

2 2

32

66

341

66

l

a l a l

a l a l

a l a l

a l

a

4.2.2.4 Phân bố dạng hình thang

Đặt giả thiết thanh chịu tác dụng của tải trọng phân bố hình thang trong khoảng a,b

(a<b) với giá trị lực phân bố tương ứng p1, p2 Khi đó giá trị tải trọng p tại tọa độ x bất kỳ

được biểu diển bằng hàm tải trọng:

a b

aq bq x a b

q q a x a b

q q q x

q

−

− +

1

Nếu đặt:

a b

q q C

−

−

= 2 1 ;

a b

aq bq D

dx x q x N

dx x q x N

dx x q x N

−

−+

−

−

−+

−

−+

−+

5 2

3 3 2 4 4 3 2 5

5 3

2 2 3

3 4

4 2 5

5 2

2 2 3

3 2 4 4 3 2 5

5 3

15

234

15

2

2

23

12

4

15

2

234

15

2

a b l

D a b l

D l

C a

b l C

a b l

D a b l

D l

C a

b l C

a b

D a b l

D C a

b l

D l

C a

b l C

a b D a b

C a b l

D a b l

D l

C a

b l C

cv Q Q

Q= +

M và Q - Mômen, lực cắt nội lực;

Mcv và Qcv- Mômen, lực cắt do chuyển vị gây ra;

Mq và Qq- Mômen, lực cắt do lực trên phần tử gây ra

v d EJ

2 2

''

1

126

l

x l

l

x l

N =− +

3 2

''

3

126

l

x l

l

x l

x l

l

x l l

x l

Q =− ⎢⎣⎡ 3 2 − 3 2⎥⎦⎤

6126

Hình 4-6 Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

Phần tử thanh có kéo nén dọc trục là tổ hợp của 2 loại phân tử: Khung + Kéo nén

[ ]

4

111

11

462

6

612612

264

6

6126

12

2 2

2 2

l

l l

l l l

l

l l

l

EJ

K c

Từ các chỉ số của các phân tử của 2 ma trận độ cứng trên ta thiết lập được ma trận

độ cứng của phần tử khung có kéo nén dọc trục:

1 2 3 4 5 6

[ ]

654321

460

260

6120

6120

000

0

260

460

6120

6120

000

0

2 2

2 2

2 2

2 2

l

l

Fl J

Fl

l l l

l

l l

J

Fl J

Fl

l

EJ

Ma trận chuyển hệ trục tọa độ được xác định dựa vào ma trận chuyển hệ trục toạ độ

của giàn phẳng có dạng sau:

0

0 '

y x

y x

m m

l l

Góc xoay khi chuyển hệ trục tọa độ thì không đổi

4.4 Khung phẳng có liên kết khớp

Để thành lập ma trận độ cứng của phần tử khung có liên kết hai đầu khác nhau ta

dựa vào hệ phương trình sau:

i i

j i i

l

EJ v

v l

EJ M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θθ

θθ+ +

−

=

+ +

6 12

2

2 3

i j

j i j

l

EJ v

v l

EJ M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θθ

θθ22

6

612

2

2 3

++

N, Q, M - nội lực tại đầu thanh

Dựa vào hệ phương trình này cũng có thể xây dựng được ma trận độ cứng của khung có hai đầu ngàm, trong trường hợp liên kết đầu thanh không phải là ngàm ta có các trường hợp sau:

−

=++

−

j i j i

j i j

i

j i j

i

v v l

v v

l

l

EJ v

v l

EJ

θθ

θθ

θθ

321

02

3

02

26

2 3

i i

j i i

M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

i j

j i j

l

EJ v

v l

EJ M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θ

θ33

33

2

2 3

2 2

3

330

030

330

030

000

0

000

000

330

030

000

0

l l l

l J

Fl J

Fl

l J

Fl J

−

=++

−

i i j j

j i j i

j i j

i

v v l

v v

l

l

EJ v

v l

EJ

θθ

θθ

θθ

321

023

022

i i

j i i

l

EJ v

v l

EJ M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θ

θ3 3

3 3

2

2 3

2 3

i j

j i j

M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

000

030

330

000

0

030

330

030

330

000

0

2 2

2

2 2

3

l J

Fl J

Fl

l l

l l

J

Fl J

( )

0

6 12

2 3

=

+ +

i i

j i i

M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θθ

0

612

2 3

i j

j i j

M

l

EJ v

v l

EJ Q

u u l

EF N

θθ

Dựa vào phương trình 3 và 6 suy ra:

000000

000

0

000000

000000

000

0

2 2

2 2

3

J

Fl J

Fl

J

Fl J

Fl

l

EJ

K e

4.4.4 Quy tảI trọng về nút khi có liên kết khớp

Để xác định véctơ tải trọng nút trong trường hợp này ta sử dụng phương trình cân bằng của một phân tử khung phẳng độc lập không kéo nén dọc trục với liên kết bất kỳ

j j i i

M Q M Q

P P P P

v v

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

4 3 2 1

2 2

2 3

2 3

2 2

2 3

2 3

46

26

612

612

26

46

612

612

θθ

Trong đó:

P1, P2, P3, P4 – là các lực quy về nút trong trường hợp ngàm hai đầu;

Qi, Mi, Qj, Mj – là các nội lực hai đầu có giá trị ngược chiều với phản lực, đây đồng thời cũng là lực quy về nút khi có các liên kết khớp

Trong từng trường hợp cụ thể ta luôn có 4 đại lượng đã biết và 4 đại lượng phải tìm trong 8 biến: 4 chuyển vị, 4 nội lực

4.4.4.1 Trường hợp đầu i có khớp

Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; θj =0

Thay vào hệ phương trình ta tìm được:

2 4

2 3 2

2 1

P P l

P P EJ lP l

P P

P P

P P l

P P

32

23

4

4 3

4 2

4 1

θ

4.4.4.3 Trường hợp đầu i, j có khớp

Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; Mj=0

Thay vào hệ phương trình ta tìm được:

l

P P P EJ

P P l l

P P P

62

2 4

4 2 3

2 4

4 2 1

Xoá bỏ các dòng có chỉ số chuyển vị là liên kết khớp

4.4.6 Xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn (có điều kiện biên)

Việc xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn được xác định theo các bước sau:

- Xoá các dòng có khớp và các chuyển vị không có điều kiện biên của hệ phương trình cân bằng;

- Xóa tiếp các cột có liên kết khớp và các chuyển vị bị chặn;

- Xác định các phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn

4.4.7 Xác định chuyển vị nút của phần tử

Chuyển vị nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể được lấy từ chuyển vị nút của

hệ, nếu có khớp thì chuyển vị tại khớp sẽ bằng 0;

Trong hệ tọa độ cục bộ chuyển vị tại khớp được xác định theo các chuyển vị khác của phần tử theo công thức sau:

Hình 4-7 Phần tử khung không gian

Xét một phần tử khung không gian, trên phần tử này có gắn một hệ tọa độ địa phương xyz Trục x nằm dọc theo phần tử, gốc của hệ tọa độ đặt tại nút đầu

Khi đó tại mỗi nút sẽ có 6 chuyển vị: 3 chuyển vị thẳng, 3 chuyển vị xoay Như vậy phần tử có 12 bậc tự do Gọi các chuyển vị của phần tử ứng với nút và thành phần chuyển

vị như sau:

q1 - chuyển vị thẳng theo x của nút đầu;

q2 - chuyển vị thẳng theo y của nút đầu;

q3 - chuyển vị thẳng theo z của nút đầu;

q4 - chuyển vị xoay theo x của nút đầu;

q5 - chuyển vị xoay theo y của nút đầu;

q6 - chuyển vị xoay theo z của nút đầu;

q7 - chuyển vị thẳng theo x của nút cuối;

q8 - chuyển vị thẳng theo y của nút cuối;

q9 - chuyển vị thẳng theo z của nút cuối;

q10 - chuyển vị xoay theo x của nút cuối;

q11 - chuyển vị xoay theo y của nút cuối;

q12 - chuyển vị xoay theo z của nút cuối;

Dựa vào các chuyển vị trên ta thấy phần tử khung không gian là tổng hợp của các

trạng thái làm việc sau:

- Biến dạng dọc trục;

- Biến dạng xoắn;

- Trạng thái khung trong mặt phẳng xy;

- Trạng thái khung trong mặt phẳng xz

Có thể viết như sau:

PT khung không gian = PT dọc trục + PT khung xy + PT khung xz+ PT xoắn

Đối với các phần tử chịu biến dạng dọc trục và khung trong mặt phẳng xy ta sửdụng

kết quả đã được đề cập ở các mục trước

Ta chỉ xét đến các phần tử chịu xoắn và phần tử khung trong mặt phẳng xz

Hình 4-8 Phần tử thanh chịu xoắn

Phần tử chịu xoắn chỉ có 2 chuyển vị xoay ở nút đầu và nút cuối tương ứng với chỉ

số chuyển vị của khung không gian là q4 và q10 Do chịu lực xoắn thuần túy nên phân tử

chỉ có 2 bậc tự do, góc xoắn tại một vị trí bất kỳ được xấp xỉ như sau:

x

l - Chiều dài phần tử

Theo sức bền vật liệu, đối với một thanh tròn thì tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt

r

r - khoảng cách từ trục phần tử đến điểm đang xét;

[ ]D =G - môdul đàn hồi trượt của vật liệu

Ma trận độ cứng của phần tử chịu xoắn có dạng:

V

l

F

T e

1 1 1

11

l

GJ

Jx- Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang

Trong trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật a x b thì Jx = cab3, trong đó c là hệ

Do các trục x, y, z tạo thành góc tam diện thuận nên khi so sánh chuyển vị của

khung xy và khung xz ta thấy chiều của chuyển vị xoay ngược nhau, chiều của chuyển vị

thẳng vẫn giữ nguyên Như vậy ma trận độ cứng của phần tử khung xz có thể dựa trên ma

trận của khung xy và đổi dấu mọt số số hạng, kết quả ta có:

q3 q5 q9 q11

[ ]

11 9 5 3

2 2

2 2

3

4626

6126

12

2646

6126

12

q q q q

l l l l

l l

l l l l

l l

2 0 0

2 0 0

11 9 5 3

l q

l q

l q

l q

F F F F

3 2

2

2

3 2 3

3 2

2

11 9 5 3

2 3 2

2

3 1

l

a l a l

a l

a

l

a l

a a

l

a l

a

Q F

F F F

2 2 2 2 3

2 2

11 9 5 3

3 2

6 6

3 4 1

6 6

l

a l a l

a l a l

a l a l

a l a

M F

F F F

Phần tử khung không gian là phần tử chịu tác dụng cả 4 trạng thái làm việc độc lập nhau do đó ma trận độ cứng của nó được thành lập bằng cách sắp xếp 4 ma trận độ cứng của 4 loại phần tử:

11

11

- Phần tử khung phẳng xy:

q2 q6 q8 q12

[ ]

12 8 6 2

2 2

2 2

3

462

6

612612

264

6

6126

12

q q q q

l l l

l

l l

l l l

l

l l

2 2

2 2

3

4626

6126

12

2646

6126

12

q q q q

l l l l

l l

l l l l

l l

Ma trận độ cứng của phần tử không gian

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

GJ l

GJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EF l

EF

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

GJ l

GJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EJ l

EJ l

EJ l

EJ

l

EF l

EF

K

z z

z z

y y

y y

x x

y y

y y

z z

z z

z z

z z

y y

y z

x x

y y

z y

z z

z z

e

40

00

60

20

00

60

0

40

60

00

20

60

0

00

00

00

00

00

0

60

120

00

60

120

0

60

00

120

60

00

120

00

00

00

00

00

20

00

60

40

00

60

0

20

60

00

400

0

00

00

00

00

00

0

60

120

00

0

120

0

60

00

120

60

00

120

00

00

00

00

00

2 2

2 2

2 3

2 3

2 3

2 3

2 2

2 2

2 3

2 3

2 3

2 3

4.5.5 Ma trận chuyển hệ trục tọa độ:

Hệ trục tọa độ cục bộ của phần tử khung không gian được xác định giống như đối

với phần tử giàn không gian Ma trận chuyển hệ trục tọa độ có dạng:

z y x

z y x

n n n

m m m

l l l

T '

Các đại lượng l,m,n lần lượt là các cosin chỉ phương của các trục x, y, z của hệ trục

tọa độ cục bộ, được xác định giống phần giàn không gian Khi đó ma trận chuyển hệ trục

tọa độ của phần tử không gian sẽ là:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥

000

00

0

000

000

T T T

T

Ma trận này có kích thước 12 x 12

4.5.6 Nội lực của phần tử khung không gian

Nội lực của khung không gian được tính độc lập cho 4 trạng thái làm việc:

- Chịu biến dạng dọc trục;

- Chịu xoắn dọc trục;

- Trạng thái khung trong mặt phẳng xy;

- Trạng thái khung trong mặt phẳng xz

Nội lực của khung không gian được tính cho trường hợp chuyển vị nút và do tải

trọng trên phần tử:

Nội lực = Nội lực CV + Nội lực P

Trong đó:

Nội lựcCV - nội lực do chuyển vị;

Nội lựcP - nội lực do tải trọng trên phần tử

4.5.7 Nội lực do chuyển vị nút của phần tử gây ra

Do nội lực của thanh chịu biến dạng dọc trục và khung phẳng xy đã được xét ở các

mục trước nên ở đây chỉ xét nội lực cho thanh chịu xoắn và khung phẳng xz

4.5.7.1 Thanh chịu xoắn (do chuyển vị)

q

q

q e

4.5.7.2 Nội lực của khung phẳng xz (do chuyển vị)

Momen của khung phẳng xz hoàn toàn dựa trên công thức của khung phẳng xy,

nhưng cần chú ý đến chiều của momen My

My - mômen nội lực theo y;

E - mođun đàn hồi của vật liệu;

Jy- mômen quán tính theo y

x l

l

x l l

x l

u u u u

Tập hợp các thành phần nội lực của 4 trạng thái làm việc ta có 6 thành phần nội lực

của khung không gian do chuyển vị: Mx, My, Mz, N, Qy, Qz

Nội lực do tải trọng trên phần tử gây ra cho mỗi trạng thái được xác định giống như

trong sức bền vật liệu

4.5.8 Xác định nội lực do lực trên phần tử gây ra:

Để xác định được nội lực do lực gây ra ta cần xác định theo từng loại lực:

4.5.8.1 Nội lực do lực phân bố dọc trục qx: