Biểu diễn xác suất của đa thức narayna

Biểu diễn xác suất của đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn của đa thức Narayana... Mục đích của luận văn là để giới thiệu công thức biểu diễn và các tínhchất của đa thức Narayana

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN

BIỂU DIỄN XÁC SUẤT CỦA ĐA THỨC NARAYNA

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Nguyễn Tiến Dũng

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản 3

1.1.1 Một số khái niệm 3

1.1.2 Một số tính chất cơ bản 6

1.2 Các khái niệm xác suất cơ bản 7

1.3 Các ví dụ 15

Chương 2 Biểu diễn xác suất của đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn của đa thức Narayana 17

2.2 Tổng quát hóa của đa thức Narayana 19

2.3 Công thức biểu diễn xác suất của dãy an 24

Mở đầu

Đa thức Narayana được giới thiệu và nghiên cứu bởi MacMahon (1915) vànhà toán học Ấn độ Narayana (1955) Bởi vì tính ứng dụng được trong cáclĩnh vực khác nhau (đặc biệt là các bài toán đếm của lý thuyết tổ hợp), đa thứcNarayana vẫn là đối tượng được quan tâm nghiên cứu trong vòng 10 năm gầnđây

Mục đích của luận văn là để giới thiệu công thức biểu diễn và các tínhchất của đa thức Narayana thông qua các công cụ của lí thuyết xác suất Luậnvăn cũng trình bày các tính chất của các dãy số có liên quan mật thiết đến đathức Narayana Luận văn cung cấp một ví dụ minh họa thú vị cho sự tươngtác giữa các chuyên ngành toán khác nhau

Nội dung chính của luận văn được tổng hợp tử các kết quả trong [1] Ngoàiphần mở đầu và kết luận, bố cục của luận văn gồm 2 chương Cụ thể như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giới thiệu về đa thức Narayana

1.2 Các khái niệm xác suất cơ bản

Chương 2 Biểu diễn xác suất của đa thức Narayana

2.1 Công thức biểu diễn của đa thức Narayana

2.2 Tổng quát hóa của đa thức Narayana

2.3 Công thức biểu diễn xác suất của dãy an

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa TS Nguyễn Tiến Dũng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũngnhư giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốnbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Tôi xin cảm ơn Trường THPT Trần Nguyên Hãn - nơi tôi đang công tác,

đã giúp đỡ tạo điều kiện rất nhiều cho tôi hoàn thành khoá học này Tôi cũngxin cám ơn nhóm seminar của tổ Đại số - Khoa Toán trường Đại học KhoaHọc Thái Nguyên đã giúp tôi bổ sung, củng cố các kiến thức về Lý thuyết số

và Tổ hợp

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại họcKhoa học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa caohọc K9B2 2015-2017, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trongsuốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điềukiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Liên

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày định nghĩa và các ví dụ minh họa cho tính ứng dụngđược của các đa thức Narayana Nội dung chính của chương được tổng hợp từcác bài báo [1] và [3]

Số Catalan được định nghĩa như sau:

Cn = 1

n+ 1



2nn



 là tổ hợp chập n của 2n phần tử

Các giá trị của Cn với 0 ≤ n ≤ 14 được cho bởi

cho bởi công thức sau:

N(0, 0) = 1 và N(n, k) = 1

n



n



, với hai giá trị nguyên dương n, k.

(1.5)Các giá trị đầu tiên của các số Narayana có thể tính như sau:

hiệu là Nn(q) được xác định bởi

Với N(n, k) là số Narayana cho bởi (1.5)

Các giá trị đầu tiên của dãy đa thức Narayana là:

Bảng 1.2 :n



n



Cm

k− 1





1k

k− 1





1n

n!

k!(n − k)!

= 1n



n

Các tính chất 2 và 5 được chứng minh bởi Lasalle trong [3]

1.2 Các khái niệm xác suất cơ bản

với tham số µ ∈ (−1

2, ∞) nếu hàm mật độ của nó được cho bởi:

1 − x2 với |x| ≤1

và X được gọi là phân phối bán nguyệt

Các moment của phân phối beta đối xứng được tính bởi

trong đó Iµ(t) = e−πiµ/2Jµ(iz) và Jµ(z) được gọi là hàm Bessel.

Chú ý 1.1 Số Catalan Cn xuất hiện như các moment cấp chẵn của fµ khi

µ = 1 Chính xác hơn, nếu X được phân bố như f1 (viết như X ∼ f1), sau đó:

trong đó jµ ,k là nghiệm của hàm Bessel Jµ

được gọi là hàm sinh nửa bất biến Từ Chú ý 2 ta có

t

để thu được kết quả

nhiên chính quy nếu E|Z|n < ∞ cho mọi n ∈ N và

cho tất cả các đa thức h

biến ngẫu nhiên liên hợp nếu Z = X + iY là một biến ngẫu nhiên chính quy.Biến ngẫu nhiên X được gọi là tự liên hợp nếu Y có phân phối giống X

Các tính chất của biến ngẫu nhiên chính quy có thể được thể hiện trong hàm

Φ(α , β ) := E[exp(iα X + iβY )]

Định lí tiếp theo đưa ra một điều kiện cho Z = X + iY là một biến ngẫu nhiênchính quy Các biến ngẫu nhiên X và Y là không nhất thiết phải độc lập

Định lí 1.2 Để Z = X + iY là một biến phức ngẫu nhiên với E[Z] = 0 và

E[Zn] < ∞ Z là một biến ngẫu nhiên chính quy nếu và chỉ nếu Φ(α, iα) = 1với mọi α ∈ C

Định lí 1.3 Cho X ,Y là các biến thực ngẫu nhiên độc lập với các moment

hữu hạn Ta định nghĩa các hàm đặc trưng của X và Y bởi

n]

Khi đó Z = X + iY là một biến ngẫu nhiên chính quy với trung bình bằng 0khi và chỉ khi ΦX(α)ΦY(iα) = 1 với mọi α ∈ R

Ví dụ Cho X và Y là các biến Gaussian độc lập với trung bình bằng 0 và

cùng phương sai σ2 Sau đó X và Y là liên hợp bởi vì

Chú ý 1.3 Giả sử Z = X + iY là một biến ngẫu nhiên chính quy với E[Z] = 0

và z ∈ C Các điều kiện (1.10) trở thành

E[h(z + X + iY )] = h(z)

Với một chuỗi các đa thức {Qn(z)} mà deg(Qn) = n và với hệ số dẫn đầu 1,

một đối số cơ bản chỉ ra rằng có một chuỗi duy nhất của các hệ số αj,n như

Định lí 1.4 Cho X là một biến ngẫu nhiên với các nửa bất biến κ(m) Giả sử

các nửa bất biến bậc lẻ triệt tiêu và X có một biến ngẫu nhiên liên hợp Y Khi



E[X1(X1+ iY1)j(z + X2)n− j] − E[X1(z + X2)n]

Biểu thức cuối cùng trở thành

E[X1(X1+ z)n−r]E[(X2+ iY1)r] − E[X1(z + X2)n]

Tính chất triệt tiêu cho thấy rằng thuật ngữ duy nhất tồn tại trong sự tươngxứng về tổng để r = 0, do đó

E[X1((X1+ z + X2+ iY1)n− (z + X2)n)] = E[X1(X1+ z)n] − E[X1]E[(z + X2)n]

và E[X ] = 0 vì κ(1) = 0 Điều này suy ra hệ thức

Mặt khác

E[X1(X1+ z)n] = E[(X1+ z)n+1− z(X1+ z)n]

= Pn+1(z) − zPn(z)

Thay vào (1.13) cho ra kết quả

Nhắc lại rằng một biến ngẫu nhiên có phân bố Laplace nếu hàm mật độ xácsuất của nó là

fL(x) = 1

2e

−|x|

.Giả sử Xµ có một hàm mật độ xác suất fµ xác định và hàm phát sinh tại mộtthời điểm cho bởi (1.9) Bổ đề tiếp theo xây dựng một biến ngẫu nhiên Yµ liênhợp với Xµ

Bổ đề 1 Cho Yµ ,n là một biến ngẫu nhiên xác định bởi

Chứng minh.Các hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Laplace iLk

Do đó giới hạn Yµ tồn tại Tính liên tục của mật độ xác suất của Yµ bởi vì mỗi

Yµ ,n là biến ngẫu nhiên liên tục

Chú ý 1.4 Trong trường hợp Xµ ∼ fµ là độc lập với Yµ, tính chất liên hợpdần đến mối liên hệ sau:

2.1 Công thức biểu diễn của đa thức Narayana

Nn+1(z)(2√z n = ∑

m≥1



n2m − 1



κ (2m)22mzmNr+1−2m(z), (2.5)

bằng cách sử dụng r = n + 1 Phép truy hồi có dạng (1.7)

Định lí 2.2 Cho X ∼ f1 Sau đó các hệ số An được đưa ra bởi công thức

Các hệ số thu nhỏ an bây giờ được thể hiện bởi hàm zeta Bessel

Hệ quả 2 Các hệ số an được đưa ra bởi

đưa ra ở [4], cung cấp phép chứng minh mới của phép truy hồi

2.2 Tổng quát hóa của đa thức Narayana

Từ Định lí 2.1 ta thấy rằng đa thức Narayana được biểu diễn qua moment củabiến ngẫu nhiên bán nguyệt với mật độ f1 Do đó, một cách tự nhiên ta có thểthay f1 bởi fµ và nhận được định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1. Cho Xµ ∼ fµ là phân phối beta đối xứng Đa thức

Nrµ(z) = E[(1 + z + 2√zXµ)r−1],

được gọi là đa thức Narayana tổng quát hóa

Chú ý 2.2 Lập luận tương tự được đưa ra trong (2.5) cho phép truy hồi:



κ (2m)22mzmNr+1−2mµ (z),

(2.10)với κ(2n) là các nửa bất biến của X ∼ fµ Định lí 2.2 đưa ra một biểu thứctổng quát hóa các số Lassale

Một cách tổng quát, đa thức Gegenbauer có thể biểu diễn qua các hàm siêubội:



n(µ)nn! (x − 1)n 2F1

znn!

0

(cos θ + i sin θ ) cos θ dθ

xuất hiện tại Định lí 6.7.4 trong [3] Sự biến đổi của các biến z = cos θ và

X = cos Φ đưa ra

Cnµ(z) = Γ(n + 2µ )

22µn!Γ2(µ)

1 Z

Vì đây là một hệ đa thức theo z, nó có thể được mở rộng cho tất cả các

Cµ +

1 2

Hệ quả 3 Các đa thức Narayana được cho bởi







2n + 2 − k





2n + 1 − 2k

n− 2k



(1 − z)2k(1 + z)n−2k

(2.17)

2.3 Công thức biểu diễn xác suất của dãy an

Trong các mục trước chúng ta xét dãy

tiêu Số an được định nghĩa bởi

E[X∗2n] = (2n)!

n!

1(µ + 1)n

ak(µ)an−k(µ)

và do đó nhận được (2.24)

Định lí 2.4 Các hệ số an(µ) là dương và tăng khi n ≥



µ + 32



trong về phải của (2.24) đều dương, an(µ) sẽ lớn hơn số hạng ứng với k = 1.Như vậy ta có



µ + 32

, ta nhận được an(µ) − an−1(µ) ≥ 0 Tức là an(µ) là mộtdãy tăng

Tiếp theo chúng ta xét một vài trường hợp đặc biệt

Trường hợp µ = 0 Trong trường hợp này ta có

Như vậy các nửa bất biến thỏa mãn

hai nổi tiếng và hệ thức moment- nửa bất biến cung cấp cho các đồng nhấtthức nổi tiếng khác

Kết luận

Luận văn trình bày lại một phương pháp xác suất để nghiên cứu các đa thứcNarayana Nội dung chính của luận văn được tổng hợp và chọn lọc từ các kếtquả đã xuất bản trong tài liệu tham khảo [1] Cụ thể hơn, trong luận văn nàychúng tôi

(1) trình bày định nghĩa và tổng hợp các ví dụ minh họa cho tính ứng dụngcủa đa thức Narayana

(2) trình bày các công cụ xác suất cơ bản để nghiên cứu đa thức Narayana.(3) trình bày công thức biểu diễn của đa thức Narayana qua các phân phốibán nguyệt

Tài liệu tham khảo

[1] Amdeberhan T., Moll V.H and Vignat C (2013), “A probabilistic terpretationof a sequence related to Narayana polynomials”, Online J.Anal Comb 8, 25 pp

in-[2] Andrews G E., Askey R and Roy R (1999), Special Functions, volume

71 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications, CambridgeUniversity Press, New York

[3] Lasalle M (2012), “Two integer sequences related to Catalan numbers”,

J Comb Theory Ser A119, pp 923–935

[4] Elizalde E., Leseduarte S and Romeo A (1993), “Sum rules for ros of Bessel functions and an application to spherical Aharonov-Bohmquantum bags”, J Phys A: Math Gen., 26, pp 2409–2419