Tai lieu Hoc sinh yeu 11

Các dạng bài tập tính giới hạn của hàm số 3.1.Giới hạn hữu hạn của hàm số - Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn.. Lý thuyết: a Phương pháp x

Chủ đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

I Dành cho các đối tượng học sinh

1 Phương trình lượng giác cơ bản

a Phương trình sin x=a

+) a không là các giá trị đặc biệt

Nếu số thực  thoả mãn điều kiện

cosx = a � cosx =cos  �x   � k2 , k��

+) a không là các giá trị đặc biệt

tanx = a � tanx = tan  � x =  + k ( �k Z)

+) a không là các giá trị đặc biệt:

cotx = a � cotx = cot � x =  + k ( �k Z)

+) a không là các giá trị đặc biệt:

Cotx=a � xarccotak , k Z

Dạng 1 : Giải phương trình lượng giác cơ bản

Dạng 2 : Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Dạng tổng quát: at + b = 0, t là một trong số các HSLG (a �0)

- Cách giải: Biến đổi , đưa phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản

Dạng 3 : Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

- Dạng tổng quát: at2   , t là một trong số các HSLG (a �0)bt c 0

- Cách giải:

+ Đặt biểu thức LG làm ẩn phụ t và đk (nếu cần)

+ Giải pt bậc hai theo t và kiểm tra đk

+ Giải pt LG cơ bản theo t

Dạng 4 : Phương trình bậc nhất với sin, cos

asinx+bcosx=c

Đối với dạng này ta có nhiều cách giải khác nhau tùy theo yêu cầu của bài toán Cách giảithông thường

 Điều kiện có nghiệm: a2  � b2 c2

 Chia 2 vế cho a2  b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theosin hoặc cos

B BÀI TẬP

I Dành cho các đối tượng học sinh

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x-3cosx+1=0; b) sin2x + sinx+1=0; c) 3tan2x 1 3 tanx+1=0.

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a)3cosx + 4sinx= -5; b)2sin2x – 2cos2x = 2 ; c)5sin2x – 6cos2x = 13

A = n.(n-1)…(n-k+1)

Hoặc !

k n

n A

n C

k n k



 (1 k n� � )Chú ý: Chỉnh hợp thì quan tâm đến thứ tự sắp xếp , còn tổ hợp thì không quan tâm đến thứ tựsắp xếp các phần tử

4 Công thức nhị thức Niu – Tơn

Dạng 2: Khai triển nhị thức Niu-Tơn với một số mũ cụ thể; Tìm hệ số của x trong khai triển k

nhị thức Niu – Tơn thành đa thức

5 Xác suất của biến cố:

Nếu A là biến cố lien quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn các kết quả đồng khả năngxuất hiện thì tỉ số

Giải:

HS trao đổi và rút ra kết quả:

Ký hiệu A, B, C lần lượt là các tập hợp các cách đi từ M đến N qua I, E, H Theo quy tắc nhân

Kết quả: Vậy có C156 5005 cách chọn

Bài tập 4: Lớp 11B5 chọn ra được 10 bạn tham ra thi đấu câu lông trong đó có 6 nam và 4

nữ Hỏi có bao nhiêu cách thành lập

C  4 = 24 cách chon ra đôi Nam – Nữ

Bài tập 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người trong đó có An và Bình vào 10

ghế kê thành hàng ngang , sao cho :

a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau

b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạch nhau

+Vậy có 10! – 18.8! Cách sắp xếp để An và Binh không ngồi gần nhau

Bài tập 6 Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 5 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang.

Mỗi tín hiệu được xác định bởi số lá cờ và thứ tự sắp xếp Hỏi có có thể tạo bao nhiêu tín hiệunếu:

k

k k k



b) 13 13   13 2

13 0

2

x x

24 4 8 0

Bài tập 1: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 tới 20 Tìm xác

suất để thẻ được lấy ghi số:

II Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bàn đầu

theo những thứ tự khác nhau Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam

Ký hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam”

Để tính n(A) ta lí luậnnhư sau:

Bài tập 2: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thầy P và cô Q là vợ chồng.

Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để sao cho hộiđồng có 3 thầy, 3 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó

có thầy P nhưng không có cô Q

C là biến cố chọn được hội đông gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P.Như vậy: A=B C và ∪

a) Hai bạn H và K đúng liền nhau;

b) Hai bạn H và K không đúng liền nhau.

a) Có bao nhiêu khả năng lấy được 10 viên bi cùng màu?

b) Có bao nhiêu khả năng lấy được 10 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi màu xanh? c) Có bao nhiêu khả năng lấy được 10 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi màu xanh?

- -NỘI DUNG : GIỚI HẠN

+ limq n0 neáu q 1 lim q n  � với q >1

+ limc c (c là hằng số) + lim n k  � với k  Z +

c x

3 Các dạng bài tập tính giới hạn của hàm số

3.1.Giới hạn hữu hạn của hàm số

- Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn

- Nếu f(x) là các hàm đa thức, phân thức xác định tại x thì giới hạn của f(x) tại 0 x chính0

bằng f(x )0

3.2 Đối với giới hạn vô cực:

Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

- Chia cả tử và mẫu cho x có bậc cao nhất

- Nếu có thì khai căn trước Chú ý:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để giản ước

- Nhân tử hoặc mẫu hoặc cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

- Tách thành các dạng đơn giản hơn

2 2

1 / lim

1 lim

2

11

n b

4 3 lim

5/ - �

11



2/

1lim





NỘI DUNG : HÀM SỐ LIÊN TỤC

- Hàm đa thức liên tục trên R

- Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì c  (a; b): f(c) = 0

- Xét tính liên tục của 1 hàm số đơn giản; tại 1 điểm

- Cm 1 phương trình có nghiệm trong 1 khoảng cho trước

* Phương pháp chung:

- Sử dụng định nghĩa về hàm số f x   liên tục tại điểm x0:

+ Tìm TXĐ của f x   và xét x0có thuộc TXĐ không?

ne� u x x

ne� u x

b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2

Bài 5: Chứng minh phương trình:

2x3 – 6x + 1 = 0 có 2 nghiệm.

NỘI DUNG : ĐẠO HÀM - VI PHÂN

Trong đó dy hay df x     gọi là vi phân của hàm số f x  

2 Phương trình tiếp tuyến

a Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C :y f x( ) tại điểm M x y( ; )o olà: y y o  f'(x )(o x x o) Trong đó f'(x )o là hệ số góc của tiếp tuyến

b Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k Tìm tiếp điểm M x y bằng( ; )o ocách giải phương trình f'(x )o =k Sau đó áp dụng công thức để viết PTTT

II BÀI TẬP

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2 3

'

x y

a Tại điểm có hoành độ x= 2

b Song song với đường thẳng 4x-2y+5=0

c Song song với đường thẳng x+4y=0

Bài 7: Tính vi phân của các hàm số sau:

CHỦ ĐỀ : ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ SONG SONG

I Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

1 Lý thuyết:

a) Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

- Tìm hai điểm chung, đường thẳng đi qua 2 điểm chung là giao tuyến của hai mp

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD,đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện k song

song M thuộc miền trong của  SCD Tìm gtuyến của hai mp:

Bài 2: Cho hình thang ABCD và điểm S không thuộc mp của hình thang Tìm giaotuyến của hai mp

a/ (SAC) và (SBD) b/ (SAD) và (SBC) với AB>CD

b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặp phẳng

- PP tìm gđ của d và mp( ):

VD1: Cho tam giác BCD và A không thuộc mp(BCD) K là tđ của AD và G là trọng tâm của

tam giác ABC TT́m gđ của GK và mp(BCD)

J G

L

VD2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD>BC), AC cắt BD tại

O

a/ Tìm giao tuyến của hai mp(SAC) và (SBD)

b/ Tìm giao điểm của AB và (SCD)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình thành AC cắt BD tại O M

là trung điểm SC, N� SB sao cho BN=2NS

a/ Tìm giao tuyến của hai mp(SAC) và (SBD)

b/ Tìm giao điểm của MN và (ABCD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD Lấy M,N,P lần lượt thuộc SA, AB ,BC sao cho khôngtrùng với trung điểm Tìm giao điểm của mp(MNP) với cạnh SB, SC.

2 Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD Lấy M,N,P lần lượt thuộc SA,AB,BC sao cho khôngtrùng tđ Tìm gđ của mp(MNP) với cạnh SB

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác sao cho AD và BC cắt nhau tại

E, M làđiểm thuộc đoạn thẳng SC

a)Tìm giao điểm N của SD và (MAB);

b)Gọi I là giao điểm cảu AM và BN Khi M di động trên đoạn SC thì điểm I chạy trênđường nào?

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD và AB>CD)

Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

II Đường thẳng và mp song song, hai mặt phẳng song song

/ /( )( )

VD2: Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm

trong một mặt phẳng

a) Tìm gt của các mp: (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF)

b) Lấy M thuộc đoạn DF Tìm gđ của đt AM với (BCE)

a) Tìm gt của các mp: (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF)

b) Lấy M thuộc đoạn DF Tìm gđ của đt AM với (BCE)

Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng thuộc một mặt phẳng.Trên AC, BF lần lượt lấy các điểm M , N sao cho 1

3

AC  BF  Hai đường thẳng song songvới AB kẻ từ M và N cắt AD, AF lần lượt tại M’, N’ Chứng minh rằng:

Bài 3: Cho bốn điểm A,B,C và D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy P sao cho BP=2BD.

a) Tìm giao điểm của CD với ( MNP )

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ACD )

CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1 Lý thuyết

- Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

+ đlí 3 đường vuông góc

+ CM đt này vuông góc với mp chứa đt kia

- Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mp

- Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mp

+ Tìm hình chiếu d’ của d lên ( )

+ �( ,( )) ( , ')d  �d d

- Ví dụ:

VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SA = SB = SC = SD Gọi

O là giao điểm của AC và BD CMR: SO  (ABCD)

Hình chiếu của AC lên (SBC) là HC Vậy góc giữa AC và (SBC) là �ACH

sin

7

AH ACH

- Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

+ Chứng minh góc giữa hai mp bằng 900

+ Chỉ ra trong mp này chứa 1 đường thẳng và vuông góc với mp còn lại

- Phương pháp xác định góc giữa hai mp

Là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mp cùng vuông góc với giao tuyến

- Ví dụ:

VD1: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau CMR

các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau

 �((SBD),(ABD = �)) SOA tanSOA�  6

c) �DSA300

2 Bài tập

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) Hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD lần lượt là H, K

a) CM các mặt bên của hc S.ABCD là các  vuông

b) CM AH và AK cùng vuông góc với SC

c) (AHK) cắt đoạn thẳng SC tại I, CM:

Bài 2: Cho tư diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABCvuông tại B

a) Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB);

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng(SBC)

Bài 3: Trong mặt phẳng ( ) cho tam giác ABC vuông ở B Một đoạn thẳng AD vuônggóc với ( ) tại A

a.Chứng minh ABC là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b Chứng minh (ABD) vuông góc với (BCD)

Ta có : mp(ABCD) chứa điểm O và (ABCD)  (SAD)

Khi đó (ABCD) �(SAD)=AD

Gọi H là trung điểm của AD ta có OH AD OH (SAD)

2

a