DSpace at VNU: Adaptation of turbo coding and equalization in turbo equalization for time-varying and frequency-selective channels

DSpace at VNU: Adaptation of turbo coding and equalization in turbo equalization for time-varying and frequency-selectiv...

Adaptation du turbo codage et de l’ ´egalisation

en turbo ´egalisation pour les canaux variant

dans le temps et s ´electifs en fr ´equence

Adaptation of turbo coding and equalization in

turbo equalization for time-varying and

frequency-selective channels

Plusieurs auteurs ont cherch´e `a utiliser conjointement l’´egalisation et le d´ecodage dans un syst`eme it´eratif afin de r´eduire les effets dispersifs des canaux

variant dans le temps et s´electifs en fr´equence Dans la litt´erature r´ecente, on propose plusieurs architectures de syst`emes it´eratifs On peut citer les

architectures associant un ´egaliseur et un d´ecodeur a posteriori maximale (MAP), les architectures combinant un annuleur d’interf´erences et un d´ecodeur

MAP, les architectures mettant en oeuvre un ´egaliseur `a retour de d´ecision et un d´ecodeur MAP, etc La plupart de ces architectures n´ecessitent l’estimation

pr´ecise du canal pour adapter les filtres d’´egaliseurs ou r´ealiser les ´egaliseurs MAP Cet article pr´esente une nouvelle architecture du turbo ´egaliseur d´edi´ee

aux canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence et qui ne n´ecessite pas d’estimateur de canal Le turbo ´egaliseur propos´e consiste en un annuleur

d’interf´erences en mode d’adaptation direct et un turbo d´ecodeur Afin de r´eduire la corr´elation du bruit, on propose l’ajout d’un filtre transverse dans la

structure de l’annuleur d’interf´erences On red´efinit ´egalement le facteur de fiabilit´e pour les canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence, afin

d’am´eliorer les performances du turbo d´ecodeur L’architecture propos´ee permet de r´eduire consid´erablement les effets de s´electivit´e tant fr´equentielle que

temporelle pour des canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence selon la plage des fr´equences Doppler normalis´ees.

A number of authors have sought to combine equalization and decoding in an iterative system in order to reduce the effects of frequency and temporal

dispersiveness of time-varying frequency-selective channels In the recent literature, several architectures based on these iterative systems have been

proposed One can note architectures which combine a maximum a posteriori (MAP) equalizer and decoder, architectures formed by an interference

canceller and MAP decoder, architectures implementing a decision feedback equalizer and a MAP decoder, etc Most of these architectures require accurate

channel estimation to adapt the equalizer filters or to execute the MAP equalizers This article presents a turbo equalizer architecture for time-varying

frequency-selective channels without channel estimators The proposed turbo equalizer consists of an interference canceller in direct-adaptation mode and

a turbo decoder In order to reduce noise correlation, the addition of a transverse filter to the interference-canceller architecture is proposed The reliability

factor for variable time-varying frequency-selective channels is also redefined in order to improve the performance of the turbo decoder The architecture

of the proposed turbo equalizer reduces considerably the effects of frequency and temporal dispersiveness of time-varying frequency-selective channels

depending on the normalized Doppler frequency range.

Mots cl´es / Keywords: corr´elation du bruit; facteur de fiabilit´e; turbo codage; turbo ´egalisation / noise correlation; reliability factor; turbo coding; turbo

equalization

I Introduction

Dans le contexte des canaux variant dans le temps et s´electifs en

fr´equence, les d´elais de propagation ´etant importants, la vitesse de

transmission est affect´ee et r´eduite `a cause de l’effet produit par les

obstacles des milieux de propagation et du ph´enom`ene de trajets

mul-tiples Un autre facteur important pour ces canaux est la vitesse de

d´eplacement de l’´emetteur ou du r´ecepteur, qui cause les changements

rapides du canal de transmission

Plusieurs travaux ont ´et´e effectu´es sur l’´egalisation de ces canaux

La premi`ere architecture du turbo ´egaliseur pour les canaux de

Rayleigh s´electifs en fr´equence a ´et´e propos´ee dans [1], incluant

un annuleur d’interf´erences, permettant ainsi d’exploiter pleinement

des donn´ees souples issues du d´ecodeur de canal Le turbo ´egaliseur

propos´e dans [1] utilise une s´equence d’apprentissage p´eriodique

repr´esentant 20 % du flux de donn´ees De cette premi`ere approche

∗ Abdellah Berdai et Jean-Yves Chouinard sont au Laboratoire de

Radio-communication et de Traitement du Signal (LRTS), Universit´e Laval, Ste-Foy,

P.Q., Canada G1K 7P4 Courriel : {berdai.abdellah.1, chouinar}@ulaval.ca.

Huu Tue Huynh est au D´epartement de traitement d’information, Facult´e

d’´electronique et de t´el´ecommunications, Coll`ege de Technologie, Universit´e

Nationale du Vietnam, Hanoi, Vietnam Courriel : tuehh@coltech.vnu.vn.

d´ecoulent les articles [2] et [3] Le turbo ´egaliseur propos´e dans [3] utilise une nouvelle forme du facteur de fiabilit´e pour le d´ecodeur

a posteriorimaximale (MAP) et pour les canaux de Rayleigh, alors que le turbo ´egaliseur propos´e dans [2] utilise la mˆeme approche pro-pos´ee dans [1], mais cette fois pour des canaux HF avec une s´equence d’apprentissage repr´esentant 50 % du flux de donn´ees Plusieurs autres auteurs ont essay´e d’´egaliser les canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence en utilisant d’autres techniques [4]–[8] On trouve ´egalement plusieurs travaux r´ealis´es par X Wang et H.V Poor pour la turbo d´etection multi usagers [9]

Dans cet article, nous nous int´eressons plus particuli`erement aux canaux de Rayleigh corr´el´es et s´electifs en fr´equence et aux sym-boles turbo cod´es Nous cherchons `a proposer une architecture de turbo

´egaliseur qui tienne compte de la s´electivit´e temporelle et fr´equentielle

du canal de Rayleigh tout en permettant une r´eduction de la longueur

de la s´equence d’apprentissage Notre approche en turbo ´egalisation diff`ere des approches propos´ees pr´ec´edemment dans ce qui suit :

• La diff´erence de point de vue structure r´eside dans les architec-tures de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration et de l’annuleur d’in-terf´erences que nous proposons

• La diff´erence de point de vue algorithmique r´eside dans le choix

de type d’algorithme en ´egalisation et en codage

Can J Elect Comput Eng., Vol 33, No 2, Spring 2008

Figure 1 : (a) Chaˆıne de transmission en pr´esence du turbo ´egaliseur pour les canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence (b) Structure du turbo ´egaliseur propos´e pour les canaux variant dans le temps et s´electifs en fr´equence.

Tableau 1

Nomenclature des acronymes

DFE Egaliseur `a retour de d´ecision´

DFE.LMS DFE adapt´e par algorithme LMS

DFE.RLS DFE adapt´e par algorithme RLS

• Nous proposons ´egalement une nouvelle forme du facteur de

fia-bilit´e pour le turbo d´ecodeur adapt´e aux canaux variant dans le

temps et s´electifs en fr´equence

II Architecture du turbo ´egaliseur pour les canaux variant dans

le temps et s´electifs en fr´equence

II.A Chaˆıne de transmission du turbo ´egaliseur pour un canal

variant dans le temps et s´electif en fr´equence

Afin d’´evaluer les performances du turbo ´egaliseur propos´e, nous

consid´erons une transmission o`u les donn´ees sont turbo cod´ees,

en-suite modul´ees en BPSK, puis transmises dans un milieu s´electif en

fr´equence La chaˆıne de transmission est donn´ee `a la figure 1(a) Le

codeur de canal est aliment´e par des donn´ees binaires {I }

´equi-probables Elles sont ´emises par la source d’information `a raison d’un bit `a tous les Ts (Ts: dur´ee de symbole) secondes et cod´ees par un codeur turbo Le signal `a la sortie du canal discret ´equivalent est cor-rompu par un bruit blanc additif gaussien (AWGN) {nk} de variance

σ2n Le signal observ´e `a la sortie du canal s’exprime par

vk=

L−1

X

n=0

o`u L est le nombre de trajets significatifs affectant le signal `a travers

le canal de transmission

II.B Principe de fonctionnement du turbo ´egaliseur propos´e L’architecture du turbo ´egaliseur propos´e est donn´ee `a la figure 1(b)

Le principe consiste en un traitement it´eratif `A chaque it´eration i le turbo ´egaliseur utilise les donn´ees issues du canal et l’information qu’il a produit pour proc´eder `a l’it´eration i + 1 Le turbo ´egaliseur commence par ´egaliser la s´equence rec¸ue {vk} `a l’aide de l’annuleur d’interf´erences (AI)1 Ce dernier est aliment´e par la s´equence {vk} et

la s´equence {¯xk} calcul´ee `a l’it´eration i − 1, donn´ee par

¯

xk= tanh„ Π (Λ(ck))

2

«

(2)

o`u Λ (ck) = ln» P (ck= +1 | ˆck)

P (ck= −1 | ˆck)

– est la mesure de vraisemblance logarithmique des symboles de la s´equence cod´ee Une fois que la s´equence rec¸ue {vk} aura ´et´e filtr´ee par l’annuleur d’interf´erences, il deviendrait possible de d´ecoder les donn´ees Ce traitement it´eratif se poursuit de la mˆeme mani`ere et, apr`es un certain nombre d’it´erations,

le d´ecodeur prend une d´ecision sur les symboles ´emis

1 La nomenclature des acronymes est donn´ee au tableau 1.

BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’ ´EGALISATION 101

Figure 2 : Sch´ema fonctionnel de l’´egaliseur propos´e lors de la premi`ere it´eration.

II.B.1 Egaliseur `a la premi`ere it´eration (figure 2)´

Le turbo ´egaliseur ne peut ˆetre utilis´e lors de la premi`ere it´eration

car nous ne disposons pas des donn´ees estim´ees {¯xk} Pour cette

rai-son, nous utilisons un ´egaliseur adaptatif au lieu de l’AI lors de la

premi`ere it´eration Un choix r´efl´echi de cet ´egaliseur adaptatif du point

de vue structure et algorithmique est n´ecessaire afin d’obtenir des

per-formances suffisamment bonnes pour que le processus it´eratif puisse

d´emarrer aussi tˆot

Quant au choix de l’algorithme, il existe deux grandes

familles d’algorithmes d’adaptation, l’algorithme de moindre carr´e

moyen (LMS) et l’algorithme de moindre carr´e r´ecursif (RLS) Le

pre-mier est largement utilis´e pour sa simplicit´e de mise en oeuvre et sa

stabilit´e num´erique, alors que le deuxi`eme est connu par sa rapidit´e de

convergence et sa poursuite de non stationnarit´e Plusieurs auteurs ont

compar´es ces deux algorithmes [2], [10]–[11] Dans la plupart des cas,

l’algorithme RLS conduit `a des performances sup´erieures `a celles de

l’algorithme LMS dans le contexte non stationnaire Plusieurs autres

travaux de recherche ont ´et´e men´es afin d’augmenter la stabilit´e et de

diminuer la complexit´e de l’algorithme RLS pour les canaux variant

dans le temps [12]–[15]

En nous appuyant sur ces travaux, nous avons choisis l’algorithme

RLS et la structure `a retour de d´ecision pour former l’´egaliseur `a

la premi`ere it´eration Nous proposons ´egalement l’ajout d’un filtre

d’erreur M (z), dont les coefficients sont adapt´es par l’algorithme

LMS dans la structure de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration afin de

r´eduire la corr´elation du bruit Ce principe est inspir´e de la

struc-ture propos´ee dans [16] En effet, dans [16], les auteurs proposent ce

principe pour l’´egaliseur `a retour de d´ecision adapt´e par l’algorithme

LMS (DFE.LMS) et pour un canal stationnaire Dans cet article, nous

utilisons le mˆeme principe, mais pour un ´egaliseur DFE.RLS et pour

un canal non stationnaire Le sch´ema de l’´egaliseur propos´e est donn´e

`a la figure 2 Il consiste en un circuit de commande automatique du

gain [17], un ´egaliseur DFE.RLS et un ´egaliseur de phase [15] :

• Commande automatique de gain (CAG) est un filtre ayant un

seul coefficient not´e gk Son rˆole est de commander la puissance

du signal rec¸u vkpour l’´egaliser `a celle du signal ´emis Le signal

`a la sortie du bloc CAG est donn´e par

La mise `a jour du coefficient gkest donn´ee par [17] :

Gk= Gk−1+ ∆G`σ2

x− |˘xk|2´ , avec G0= 1,

∆Get σx2sont respectivement le pas d’adaptation et la variance

du signal transmis

• ´Egaliseur DFE.RLS consiste en un filtre avant A(z), un fil-tre arri`ere B(z) et un filfil-tre d’erreur Q(z) La mise `a jour des vecteurs ak, bket qkcontenant les coefficients des filtres A(z), B(z) et Q(z) est donn´ee par

ak+1= ak+ γkA˘ek,

bk+1= bk+ γkBe˘k,

qk+1= qk+ ∆˘ek˘∗

(5)

o`u (·)∗d´esigne la conjugaison de (·), γkA et γkB sont appel´es vecteurs du gain de Kalman de l’algorithme RLS, ∆ est le pas d’adaptation de l’algorithme LMS et ˘ekest un vecteur qui con-tient les ´echantillons du signal d’erreur ˘ek Cette erreur ˘ekest donn´ee par

˘

o`u ˆxk est le signal ´egalis´e en amplitude et en phase et ˜xk est

le signal d´ecid´e La mise `a jour des vecteurs γkA et γkB et les matrices PAk et PBk est donn´ee par

γkA= P

A k−1v˘Hk

λ + ˘vkPA

k−1v˘H k

,

γkB= P

B k−1x˜Hk

λ + ˜xkPB

k−1x˜H k

,

PAk = λ−1“PAk−1− γkAv˘kPAk−1”,

PBk = λ−1“PBk−1− γkBx˜kPBk−1”

(7)

o`u [·]H d´esigne la transposition et conjugaison de [·], λ est le facteur d’oubli de l’algorithme RLS, ˘vkest un vecteur contenant les ´echantillons du signal produit par le circuit CAG (i.e ˘vk) et

˜

xkest un vecteur qui contient les ´echantillons du signal d´ecid´e (i.e ˜xk), avec ˜xk= xkpendant la p´eriode d’apprentissage et aux donn´ees d´ecid´ees (i.e ˜xk= sign(< [ˆxk])) pour le reste

• ´Egaliseur de phase a pour fonction de corriger la phase du signal

´egalis´e en amplitude L’´egaliseur de phase que nous employons utilise l’algorithme de gradient stochastique [15] La mise `a jour

de la phase ˆθkdu signal ´egalis´e et de l’erreur eθkest donn´ee par

ˆ

θk=ˆθk−1+ ∆θ eθk+ βθ

k

X

i=1

eθi

! ,

eθ == [ˆx (˜x − ˆx )∗]

(8)

Figure 3 : (a) Annuleur d’interf´erences conventionnel (b) Annuleur d’interf´erences propos´e.

o`u = [·] d´esigne la partie imaginaire de [·], ∆θle pas d’adaptation

et βθune constante positive Le signal ´egalis´e en amplitude et en

phase est donn´e par

ˆ

xk= ˘xkexph−j ˆθk−1

i

II.B.2 Annuleur d’interf´erences (figure 3)

L’annuleur d’interf´erences permet de s’affranchir totalement de

l’interf´erence entre symboles (IES) Sa structure est tr`es proche de

celle de l’´egaliseur `a retour de d´ecision (DFE) Toutefois, le DFE

r´ealise un compromis entre la minimisation du bruit et l’annulation

des IES alors que l’AI supprime totalement les IES si les donn´ees de

r´ef´erences sont parfaitement estim´ees (¯xk = xk) Comme, en turbo

´egalisation, nous ne connaissons pas les donn´ees transmises, elles sont

remplac´ees par les donn´ees estim´ees par le d´ecodeur de canal Et

tant que ces donn´ees ({¯xk}) ne sont pas parfaitement estim´ees, l’AI

ne supprime pas totalement les IES `a cause de la corr´elation bruit

Pour r´eduire la corr´elation du bruit, nous proposons l’ajout d’un

fil-tre transverse M (z) dans la structure de l’AI (voir figure 3(b)) En

effet, dans [16] les auteurs d´emontrent analytiquement que le filtrage

d’erreur am´eliore l’erreur quadratique moyenne minimale (EQMM)

de l’´egaliseur DFE Dans cet article, nous d´emontrons analytiquement

que le filtrage d’erreur am´eliore ´egalement les performances de l’AI

de point de vue EQMM L’EQMM de l’annuleur d’interf´erences

con-ventionnel (figure 3(a)) est donn´ee par (voir Annexe A)

JminAIconventionnel= Eˆ|xk|2˜ − ξT

L’EQMM de l’AI propos´e (figure 3(b)) est donn´ee par (voir Annexe B)

JminAIpropos´e= JminAIconventionnel− σ−2e (E [|xkek−1|])2

(11) puisque

σe−2(E [|xkek−1|])2≥ 0 (12)

On peut conclure que

JminAIpropos´e≤ JminAIconventionnel (13)

Dans le cas d’une estimation parfaite des donn´ees transmises (i.e

¯

xk = xk), la relation (12) est nulle et les deux structures deviennent

´equivalentes Malheureusement, en turbo ´egalisation, nous ne

connais-sons pas les donn´ees transmises (c’est ce que nous cherchons `a obtenir)

et le d´ecodeur de canal ne peut pas fournir des donn´ees parfaitement

estim´ees tant que les interf´erences entre symboles ne sont pas

totale-ment supprim´ees par l’AI et tant que le rapport signal `a bruit n’est

pas suffisant pour d´eclencher le processus it´eratif (turbo) D’o`u la

re-lation (12) peut ne pas ˆetre nulle et l’annuleur propos´e pourrait

ap-porter des am´eliorations par rapport `a l’AI conventionnel en termes

Tableau 2

Complexit´e calculatoire de l’AI propos´e

Nombre d’op´erations

AI conventionnel N (12.5K2+ 3.5K − 2)

d’erreur quadratique moyenne (EQM) `A la section III, nous affirmons par simulation que l’EQM de l’AI propos´e est inf´erieure `a celle de l’AI conventionnel

Pour adapter les filtres de l’AI, deux m´ethodes sont possibles La premi`ere m´ethode consiste `a adapter directement les filtres de l’AI

La seconde m´ethode n´ecessite l’estimation de canal Dans cet article, nous choisissons le mod`ele d’adaptation directe Ce choix est li´e `a la structure de l’annuleur d’interf´erences que nous proposons Ce dernier n´ecessite le calcul de l’erreur entre le signal estim´e par le d´ecodeur de canal (i.e ¯xk) et le signal en sortie de l’AI (i.e ˆxk)

Quant au choix de l’algorithme d’adaptation des filtres de l’AI, nous adoptons l’algorithme RLS ; ce dernier s’adapte bien aux variations temporelles de canal

La mise `a jour des vecteurs ck, wket mkcontenant les coefficients des filtres C(z), W (z) et M (z) est donn´ee par

ck+1= ck+ γkCek,

wk+1= wk− γW

k ek,

mk+1= mk+ ∆eke∗

(14)

o`u ekest un vecteur qui contient les ´echantillons du signal d’erreur ek Cette erreur ekest donn´ee par

La mise `a jour des vecteurs du gain de Kalman γCet γW et des

ma-BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’ ´EGALISATION 103 trices d’adaptation PCk et PWk est donn´ee par

γkC= P

C k−1vkH

λ + vkPC

k−1vH k

,

W k−1x¯H k

λ + ¯xkPWk−1x¯H

k

,

PCk = λ−1“PCk−1− γkCvkPCk−1”,

PWk = λ−1“PWk−1− γW

k x¯kPWk−1”

(16)

o`u vkest un vecteur contenant les ´echantillons du signal rec¸u et ¯x est

un vecteur contenant les ´echantillons du signal estim´e par le d´ecodeur

de canal (i.e ¯xk)

Afin de situer la complexit´e calculatoire de l’annuleur

d’interf´e-rences propos´e par rapport `a l’annuleur d’interf´ed’interf´e-rences

convention-nel, nous comparons le nombre d’op´erations de calcul n´ecessaire pour

´egaliser une s´equence de donn´ees de longueur N dans les deux cas

Pour effectuer cette comparaison, nous consid´erons que le filtre

avant C(z) (K coefficients) et le filtre arri`ere W (z) (2K − 1

coef-ficients) sont adapt´es par l’algorithme RLS et le filtre d’erreur (1

co-efficient) M (z) est adapt´e par l’algorithme LMS Le tableau 2 r´esume

le nombre d’op´erations de calcul n´ecessaires dans les deux cas

Nous constatons que l’AI propos´e n´ecessite 3N op´erations en plus

Toutefois, il donne des performances meilleures du point de vue erreur

quadratique moyenne

II.B.3 D´ecodage des donn´ees

Le d´ecodeur retenu est bas´e sur celui propos´e par [18] La diff´erence

r´eside dans le choix de l’algorithme LOG-MAP, le calcul des valeurs

de vraisemblance logarithmique des bits de parit´e et l’expression du

facteur de fiabilit´e

Sous l’hypoth`ese d’avoir ¯xk= xk(i.e les symboles sont

parfaite-ment estim´es par le d´ecodeur de canal), la sortie de l’AI est donn´ee

par [1]

ˆ

xk= βk

"

xk+ 1

αk

L−1

X

n=0

h∗k,nnk+n

#

= βkxk+ βk

αk

L−1

X

n=0

h∗k,nnk+n= βkxk+ ηk (17) avec

αk=

L−1

X

n=0

et

βk= αkσ

2 x

αkσ2

x+ σ2 n

(19) o`u αket βksont variables puisque le canal est variant dans le temps

`

A partir de (17), nous remarquons que le signal ´egalis´e ˆxkn’est pas

affect´e par les interf´erences entre symboles

L’entr´ee du d´ecodeur LOG-MAP est la s´equence ´egalis´ee {ˆck} Le

rapport de vraisemblance logarithmique s’exprime

Λ (ck) = ln» P (ck= +1 | ˆck)

P (ck= −1 | ˆck)

–

Nous rappelons que la s´equence {xk} (sans les symboles

d’apprentissage) est une version entrelac´ee de la s´equence {ck} Donc

la probabilit´e conditionnelle P (ˆck| xk) est donn´ee par [3]

P (ˆck| xk) = 1

2πσ2exp

»

−|ˆck− βkxk|

2

2σ2

–

`

A partir des relations (20) et (21), on peut conclure que

Λ (ck) = 2βk

σ2 η

o`u < [·] indique la partie r´eelle de [·] `A partir de (22), on peut conclure que

Lkc= 2βk

σ2 η

Le turbo d´ecodeur ´etant tr`es sensible aux valeurs du facteur de fiabilit´e

de canal Lkc[19], nous l’approximons par

Lkc ≈ 2

„ 1

σ2 n

σ2 x

«

Cette expression finale du facteur de fiabilit´e du canal variant dans le temps et s´electif en fr´equence ne n´ecessite que la connaissance a pri-oridu rapport signal `a bruit, alors que l’expression propos´ee dans [3] n´ecessite l’estimation du canal et la connaissance a priori du rapport signal `a bruit

III R´esultats de simulation

Dans cette section, nous ´evaluons les performances du turbo ´egaliseur propos´e pour les vitesses de mobile v (km/h) ∈ {20, 80, 120, 160,

200, 240} La vitesse de transmission est fix´ee `a Rs = 148 kbits/s

et la fr´equence porteuse fc est de 2 GHz Le canal utilis´e est un canal de Rayleigh `a trois trajets de mˆeme puissance Chaque tra-jet est g´en´er´e selon le mod`ele propos´e dans [20] Le codeur turbo simul´e est constitu´e de deux codeurs convolutifs syst´ematiques et r´ecursifs de longueur de contrainte ´egale `a 5 et de polynˆome g´en´erateur (1, 23/35)o (i.e en octal) Afin de r´eduire la quantit´e des donn´ees transmises, nous utilisons la technique de poinc¸onnage, ´eliminant ainsi

la moiti´e des bits de redondance Le taux de codage est ´egale a

R = 1/2 Les entrelaceurs que nous utilisons sont de types semi-al´eatoires [21] (S-random interleavers) Ces derniers garantissent une distance minimale S avec S ≤pI/2 o`u I est la longueur du bloc de donn´ees Dans cet article, nous choisissons S = 22 pour l’entrelaceur

du codeur turbo (I = 5000) et S = 37 pour l’entrelaceur de canal (I = 10 000)

Pour favoriser la convergence de l’´egaliseur lors de la premi`ere it´eration et de l’AI, nous utilisons une s´equence d’apprentissage p´eriodique qui repr´esente 1/5 = 20 % du flux de donn´ees, soit

20 symboles d’apprentissage pour 100 symboles ´emis La perte de 0.97 dB2

dans le rapport Eb/N0due `a cette s´equence d’apprentissage p´eriodique n’a pas ´et´e prise en compte

La variance du bruit σn2 pour le canal de Rayleigh s´electif en fr´equence est calcul´ee `a partir de l’expression suivante [1], [22] :

Eb

N0

= E 2

4

˛

˛

˛

L−1

X

n=0

hk,nxk−n

˛

˛

˛

23 5

R log2(2)N0

2Rσ2 n

2Rσ2 n

(25)

o`u N0 et σn2 sont respectivement la densit´e spectrale de puissance mono-lat´erale et la variance du bruit `a l’entr´ee du d´emodulateur Les performances en termes de taux d’erreur binaire (TEB) sont

´evalu´ees par une m´ethode de type Monte-Carlo et chaque valeur du TEB a ´et´e obtenue par la transmission de 106bits d’information Nous rappelons ici que, pour toutes les simulations, le codeur turbo ex´ecute une seule it´eration `a chaque it´eration du turbo ´egaliseur Ceci est pour r´eduire la complexit´e calculatoire par it´eration

2 10 log10(4/5) = −0.97

Tableau 3

Les valeurs optimales des param`etres de l’AI et de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration

Sc´enario 1 Sc´enario 2 Sc´enario 3 Sc´enario 4 Sc´enario 5 Sc´enario 6

fD(Hz) = (v (m/s) · fc)/3.108(fr´equence Doppler) 37.03 148.14 222.22 296.29 370.37 444.44

´

Egaliseur `a la premi`ere it´eration

Annuleur d’interf´erences

Figure 4 : ´ Evolution de l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’AI, canal s´electif `a

trois trajets, fm= 0.001.

III.A Param`etres d’´egaliseurs

III.A.1 Egaliseur de la premi`ere it´eration´

Les performances du turbo ´egaliseur sont bas´ees sur l’´egaliseur `a la

premi`ere it´eration Ce dernier doit fournir un taux d’erreur binaire

suf-fisamment faible pour d´eclencher le processus it´eratif `a un rapport

sig-nal `a bruit donn´e Le sch´ema de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration

pro-pos´e est donn´e `a la figure 2 Dans ce dernier, l’´egalisation d’amplitude

est assur´ee par un ´egaliseur `a retour de d´ecision (DFE) Les

perfor-mances du DFE sont largement sup´erieures `a celles de l’´egaliseur

lin´eaire Toutefois, la structure du DFE peut ˆetre instable et peut

con-duire `a une d´egradation des performances `a cause du ph´enom`ene de

propagation d’erreur pour le contexte non stationnaire

Afin de r´eduire la production de ce ph´enom`ene (i.e propagation

d’erreur), nous avons minimis´e le nombre de coefficients des filtres

Nous avons fix´e cinq coefficients `a l’avant (filtre A(z)), un coefficient

`a l’arri`ere (filtre B(z)) et un seul coefficient pour le filtre d’erreur

(fil-tre Q(z)) Les valeurs de ∆G, λ, ∆, ∆θ et βθsont optimis´es `a l’aide

des simulations et sont donn´ees au tableau 3

III.A.2 Annuleur d’interf´erences

L’un des ´el´ements les plus importants du turbo ´egaliseur est l’annuleur

d’interf´erences En effet, c’est grˆace `a l’AI que le d´ecodeur de canal

traite des s´equences sans l’interf´erence entre symboles

Nous avons mentionn´e pr´ec´edemment dans la section II.B.1 qu’il

existe deux m´ethodes pour adapter les coefficients des filtres de l’AI

Figure 5 : ´ Evolution de l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’AI, canal s´electif `a trois trajets, fm= 0.0015.

Dans la premi`ere m´ethode, les coefficients des filtres C(z) et W (z) sont calcul´es directement `a partir de l’estimation du canal Le nombre

de coefficients `a adapter dans cette solution ´egale L (L est le nombre

de trajets du canal)

La deuxi`eme m´ethode n´ecessite l’adaptation d’au moins 3L − 1 co-efficients dans le cas id´eal Le nombre de coco-efficients est tr`es ´elev´e dans le cas des canaux non stationnaires

Dans cet article, nous avons adopt´e le mode d’adaptation direct Le nombre de coefficients est fix´e `a 25 coefficients pour le filtre avant C(z), 28 coefficients pour le filtre arri`ere W (z) et un seul coefficient pour le filtre d’erreur M (z)

Nous rappelons ici que, dans un souci de r´eduire la complexit´e cal-culatoire, nous avons favoris´e le cas qui utilise moins de coefficients dans les filtres de l’AI Les valeurs de λ et ∆ de l’AI sont donn´ees au tableau 3

III.B Performances de l’annuleur d’interf´erences propos´e Dans un but de situer les performances de l’annuleur d’interf´erences propos´e par rapport `a l’AI conventionnel, nous avons trac´e aux figures 4 et 5 l’erreur quadratique moyenne en sortie de l’annuleur d’interf´erences `a la quatri`eme it´eration, avec et sans filtre d’erreur (M (z)) pour les fr´equences Doppler normalis´ees fm = 0.001 et

f = 0.0015

BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’ ´EGALISATION 105

Figure 6 : ´ Evolution de TEB en sortie du d´ecodeur de canal, canal s´electif `a trois trajets,

fm= 0.001.

Figure 7 : ´ Evolution de TEB en sortie de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration, canal s´electif

`a trois trajets, f m = 0.001.

Ces courbes sont obtenues `a partir de la moyenne de 100 tirages

al´eatoires de la s´equence d’information et pour un rapport signal `a bruit

Eb/N0= 5 dB

Nous remarquons (figures 4 et 5) que l’EQM obtenue avec

adapta-tion d’erreur est inf´erieure `a l’EQM obtenue sans adaptaadapta-tion d’erreur

sur presque toute la p´eriode d’adaptation et pour les deux fr´equences

Doppler normalis´ees test´ees Ceci affirme que le filtrage d’erreur

am´eliore les performances de l’annuleur d’interf´erences du point de

vue erreur quadratique moyenne

Nous signalons ici qu’il est possible d’am´eliorer davantage les

per-formances de l’AI propos´e en ajoutant plus de coefficients dans le filtre

M (z) [16], mais ceci augmente la complexit´e calculatoire

III.C Performances de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration

`

A la figure 6, nous comparons les performances en termes de taux

d’erreur binaire pour les trois premi`eres it´erations d’un turbo ´egaliseur

utilisant l’´egaliseur propos´e (figure 2), et un turbo ´egaliseur utilisant

un ´egaliseur lin´eaire classique [1] lors de la premi`ere it´eration

Le nombre de coefficients de l’´egaliseur lin´eaire est fix´e `a sept

co-efficients et le facteur d’oubli est ´egal `a λ = 1 Nous signalons ici

que, dans un souci d’am´eliorer le TEB `a la premi`ere it´eration, nous

Figure 8 : TEB en sortie du d´ecodeur de canal, canal s´electif `a trois trajets, fm= 0.001,

v = 80 km/h.

Figure 9 : TEB en sortie du d´ecodeur de canal, canal s´electif `a trois trajets, fm= 0.002,

v = 160 km/h.

utilisons un circuit CAG et un ´egaliseur de phase pour l’´egaliseur lin´eaire Nous remarquons (figure 6) que les performances obtenues par l’utilisation de l’´egaliseur propos´e lors de la premi`ere it´eration sont largement sup´erieures `a celles obtenues avec un ´egaliseur lin´eaire Ce r´esultat est attendu puisque les performances de l’´egaliseur `a retour

de d´ecision sont nettement sup´erieures `a celles de l’´egaliseur lin´eaire (voir figure 7)

III.D Influence de la fr´equence Doppler normalis´ee Pour illustrer l’effet de la vitesse du mobile sur le turbo ´egaliseur au fil des it´erations, nous avons trac´e aux figures 8 et 9 les taux d’erreur binaire en fonction du rapport Eb/N0en sortie du d´ecodeur de canal pour les fr´equences Doppler normalis´ees fm= 0.001 et fm= 0.002 pour les it´erations 1, 2, 3 et 4

Nous remarquons (figures 8 et 9) que, pour les deux fr´equences Doppler normalis´ees, le taux d’erreur binaire s’am´eliore `a partir de

la deuxi`eme it´eration Les it´erations 3 et 4 sont presque confon-dues Cette convergence rapide est r´ealis´ee grˆace aux performances du codeur turbo, qui fonctionne bien avec le facteur de fiabilit´e que nous avons d´efinis (voir relation (24)) Nous apercevons ´egalement que le processus it´eratif (turbo) pour le turbo ´egaliseur d´eclenche `a un rap-port Eb/N0 = 3 dB pour fm = 0.001 et `a Eb/N0 = 5 dB pour

f = 0.002

Figure 10 : ´ Evolution du TEB en sortie du d´ecodeur de canal (troisi`eme it´eration) pour

les diff´erentes valeurs de fm, canal s´electif `a trois trajets.

Le premier responsable de ce d´eclanchement est l’´egaliseur de la

premi`ere it´eration Ce dernier doit fournir un TEB suffisamment faible

pour d´eclencher le processus it´eratif Il y a aussi l’annuleur

d’inter-f´erences, qui doit ˆetre capable de supprimer l’interf´erence entre

sym-boles pour permettre au d´ecodeur de fournir une meilleure estimation

des donn´ees au fil d’it´erations

`

A la figure 10, nous avons trac´e les taux d’erreur binaire en

fonction du rapport Eb/N0 en sortie du d´ecodeur de canal `a la

troisi`eme it´eration pour les fr´equences Doppler normalis´ees fm ∈

{0.00025, 0.001, 0.0015, 0.002, 0.0025, 0.003} Nous avons trac´e

´egalement le TEB du codeur turbo `a l’it´eration 15 pour un canal `a

bruit blanc additif gaussien (AWGN sans IES)

Nous constatons que plus le canal s´electif en fr´equence est variant

dans le temps, plus les performances du turbo ´egaliseur s’´eloignent

des performances d’un canal AWGN Pour un TEB ´egal `a 2.10−4et

fm = 0.00025, la perte dans le rapport Eb/N0 est de 3 dB, alors

que cette perte est environ 7 dB pour fm = 0.002 et de 13 dB pour

fm= 0.003

En effet, pour les fr´equences Doppler ´elev´ees, on assiste `a des

changements rapides du canal, qui sont `a l’origine caus´es par la

vitesse du d´eplacement de mobile Ces changements d´egradent les

sig-naux ´emis (sigsig-naux fortement affect´es par l’IES) et influencent les

performances de l’´egaliseur `a la premi`ere it´eration, qui ne domine

pas la poursuite de ces variations Et puisque notre syst`eme est

it´eratif, toutes les performances en sont affect´ees Ce probl`eme peut

ˆetre r´esolu par l’augmentation de la quantit´e des symboles de la

s´equence d’apprentissage p´eriodique Ceci, malheureusement, affecte

l’efficacit´e spectrale du syst`eme

IV Conclusion

L’objectif de cet article a ´et´e d’adapter le turbo codage et l’´egalisation

`a la turbo ´egalisation dans les canaux variant dans le temps et s´electifs

en fr´equence, et d’apporter des am´eliorations aux techniques utilis´ees

Nous avons d´emontr´e par simulation que le turbo ´egaliseur

pro-pos´e pr´esente un tr`es bon comportement pour des canaux de Rayleigh

corr´el´es, variant dans le temps et s´electifs en fr´equence Les

per-formances obtenues avec ce turbo ´egaliseur propos´e permettent

d’envisager des transmissions avec des taux d’erreurs relativement

faibles et cela, sans changer plusieurs param`etres

Il y a trois points `a souligner pour la turbo ´egalisation des canaux

de Rayleigh corr´el´es et s´electifs en fr´equences :

• Pour que le turbo ´egaliseur converge au fil des it´erations, il est n´ecessaire d’utiliser p´eriodiquement une s´equence d’appren-tissage, ce qui repr´esente au moins 20 % du flux de donn´ees Malgr´e cela, on observe des taux d’erreur relativement ´elev´es sur ces canaux pour les fr´equences Doppler normalis´ees ´elev´ees En effet, au del`a d’une certaine fr´equence Doppler normalis´ee, il de-vient difficile pour le turbo ´egaliseur de contrer les s´electivit´es temporelle et fr´equentielle du canal de Rayleigh s´electif en fr´equence en raison des variations rapides du canal

• L’ajout du filtre de r´eduction de la corr´elation du bruit dans les structures de l’annuleur d’interf´erences et de l’´egaliseur de la premi`ere it´eration permet d’am´eliorer les performances globales

du turbo ´egaliseur

• Le facteur de fiabilit´e que nous avons d´efini s’adapte bien `a l’algorithme de d´ecodage des codes turbo ; de plus il ne n´ecessite pas l’estimation de canal

Annexe

Dans cette annexe, nous d´eterminons analytiquement les erreurs quadratiques moyennes minimales de l’AI conventionnel (figure 3(a))

et l’EQMM de l’AI propos´e (figure 3(b)) Pour ce faire, nous con-sid´erons un AI constitu´e d’un filtre C(z) ayant K coefficients et d’un filtre W (z) ayant 2K − 1 coefficients

A D´etermination de l’EQMM de l’AI conventionnel

La sortie de l’AI est donn´ee par (voir figure 3(a))

ˆ

xk=

K−1

X

n=0

ck,nvk+n−

K−1

X

(n=−(K−1); n6=0)

wk,nx¯k+n

avec

zk= [vk · · · vk+K−1x¯k−K+1 · · · ¯xk−10 ¯xk+1 · · · ¯xk+K−1]T

¯k= [ck,0 · · · ck,K−1 − wk,−K+1 · · · − wk,−1 − wk,0 − wk,1

o`u [·]T d´esigne la transpos´ee de [·] L’erreur quadratique moyenne est donn´ee par

JAIconventionnel= Eˆ˛

˛e2k˛

˜ = E ˆ|xk− ˆxk|2˜ (A-3) Cette erreur quadratique moyenne s’exprime par [16]

JAIconventionnel= Eˆ|xk|2˜ − 2ξT

¯k+ ¯cTkΓ¯ck (A-4) o`u ξ = E [|xkzk|] est un vecteur de dimension (3K − 1) × 1 com-prenant les ´echantillons de corr´elation crois´ee entre le signal d´esir´e,

xk, et le signal d’entr´ee, zk Γ = Eˆ|zk|2˜ est une matrice de di-mension (3K − 1) × (3K − 1) comprenant les ´echantillons d’auto corr´elation du signal d’entr´ee Les coefficients optimaux de l’´egaliseur peuvent ˆetre d´etermin´es par le forc¸age du gradient ∇k`a z´ero Le gra-dient ∇kde l’EQM peut ˆetre obtenu par

∇k= 1

2·∂`E ˆ|xk|2˜ − 2ξT¯k+ ¯cTkΓ¯ck

´

∂ (¯ck) = Γ¯ck− ξ, (A-5) d’o`u

En substituant (A-6) dans (A-4), on obtient l’EQMM

JAI conventionnel= Eˆ|x |2˜ − ξT

BERDAI / CHOUINARD / HUYNH: ADAPTATION DU TURBO CODAGE ET DE L’ ´EGALISATION 107

B D´etermination de l’EQMM de l’AI utilisant le retour d’erreur

(annuleur d’interf´erences propos´e)

Afin d’examiner l’EQM de l’AI propos´e, nous ´etudions le cas d’un AI

avec un filtre M (z) ayant un seul coefficient Dans ce cas, la sortie de

l’AI est donn´ee par (voir figure 3(b))

ˆ

xk=

K−1

X

n=0

ck,nvk+n−

K−1

X

(n=−(K−1); n6=0)

wk,nx¯k+n

+ mk,1ek−1

avec

˘k=ˆzT

k ek−1

˜T

,

˘k=ˆ¯cT

k mk,1

˜T

(A-9)

`

A partir de (A-4), on peut exprimer l’erreur quadratique moyenne

de l’AI propos´e par

JAIpropos´e= Eˆ|xk|2˜ − 2 ˘ξT˘k+ ˘cTkΓ˘˘ck (A-10)

avec

˘

ξ = E [|xk˘k|] = E

»

|xkzk|

|xkek−1|

–

=

» ξ

E [|xkek−1|]

– (A-11) et

˘

Γ = Eˆ|˘zk|2˜ =

»

Γ E [|ek−1zk|]

E [|ek−1zk|] Eˆ|ek−1|2˜

–

L’objectif d’´egalisation ´etant toujours la minimisation de l’EQM pour

rendre ek⊥zk−l(i.e ekorthogonal `a zk−l), donc [23]

E [ekzk−l] = 0 pour − ∞ < l < ∞, (A-13)

d’o`u

˘

0 Eˆ|ek−1|2˜

–

Les coefficients optimaux ˘coptk peuvent ˆetre d´etermin´es par le forc¸age

`a z´ero du gradient ∇kde l’EQM

Nous remplac¸ons (A-15) dans (A-10), alors l’EQMM s’exprime par

JminAIpropos´e= Eˆ|xk|2˜ − ˘ξTΓ˘−1ξ.˘ (A-16)

Pour comparer JminAIpropos´e avec JAIconventionnel

d´eterminer ˘Γ−1 Posons

Eˆ|ek−1|2˜ ≈ E ˆ|ek|2˜ = σ2

d’o`u

˘

0 σ2

–

En utilisant les formules d’inversion de matrice, nous pouvons

d´emontrer que ˘Γ−1est donn´ee par

˘

Γ−1=»Γ−1

0

0 σ−2e

–

En substituant (A-19) et (A-11) dans (A-16), on obtient

JminAIpropos´e= Eˆ|xk|2˜ − ξT

Γ−1ξ − σe−2(E [|xkek−1|])2

= JminAIconventionnel− σ−2e (E [|xkek−1|])2 (A-20)

R´ef´erences

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pp 673–683.

[23] J.G Proakis, Digital Communications, 4eed., New York: McGraw-Hill, 2001.

Berdai Abdellah a obtenu le diplˆome d’ing´enieur en

´electronique en 1998 de l’ ´ Ecole Militaire Polytech-nique (EMP) d’Alger, Alg´erie De 1998 `a 2004, il a travaill´e

en tant qu’ing´enieur pour un organisme de s´ecurit´e publique.

En 2006, il a obtenu le diplˆome de maˆıtrise en g´enie ´electrique

`a l’Universit´e Laval, Qu´ebec, Qu´ebec, Canada Actuellement,

il poursuit ses ´etudes de doctorat en g´enie ´electrique au Laboratoire de Radiocommunication et de Traitement du Signal (LRTS) de l’Universit´e Laval Ses int´erˆets en recherche portent sur le codage, l’estimation et l’´egalisation de canal, la

Jean-Yves Chouinard a rec¸u les diplˆomes de baccalaur´eat,

de maˆıtrise et de doctorat en g´enie ´electrique `a l’Universit´e Laval, Qu´ebec, Qu´ebec, Canada, en 1979, 1984 et en 1987 re-spectivement De 1979 `a 1981, il a travaill´e comme ing´enieur

en t´el´ecommunications chez Northern Telecom, Montr´eal,

`a la mise en op´eration du premier syst`eme pan-canadien de t´el´ephonie num´erique DRS-8 En 1987, il a effectu´e un stage comme chercheur post-doctoral au Centre National d’ ´ Etudes des T´el´ecommunications (CNET) `a Issy-les-Moulineaux, France, sur les m´ethodes de transmission num´eriques pour

le syst`eme radiomobile GSM De 1988 `a 2002, il ´etait professeur `a l’ ´ Ecole d’Ing´enierie et de Technologie de l’Information ( ´ EITI) de l’Universit´e d’Ottawa, Ottawa, Ontario, Canada De 1996 `a 1997,

il ´etait professeur invit´e `a l’ ´ Ecole Nationale Sup´erieure des T´el´ecommunications (ENST)

`a Paris Depuis 2003, il est professeur au D´epartement de g´enie ´electrique et de g´enie

informatique `a l’Universit´e Laval et occupe le poste de vice-doyen aux ´etudes `a la

Facult´e des sciences et de g´enie depuis 2007 Il est membre de l’Ordre des Ing´enieurs

du Qu´ebec (OIQ) depuis 1979 Il est ´egalement tr´esorier de la Soci´et´e canadienne de

th´eorie de l’information (Canadian Society of Information Theory, CSIT/SCTI) Il est

´editeur associ´e pour les IEEE Transactions on Broadcasting Il est auteur ou co-auteur

de plus de 120 articles publi´es dans des revues scientifiques et dans des compte-rendus

de conf´erences Il est aussi co-´editeur d’un livre sur la th´eorie de l’information et de ses

applications ainsi que co-auteur de chapitres de livres sur la radio logicielle et sur les

m´ethodes de modulation par porteuses multiples appliqu´ees `a la t´el´ediffusion num´erique.

Ses int´erˆets en recherche portent sur la mod´elisation des canaux de propagation sans

fil `a large bande, la th´eorie de l’information, les m´ethodes de modulation num´eriques,

la th´eorie des codes correcteurs et du codage de source, et leurs applications pour les

syst`emes de t´el´ediffusion avanc´es.

Docteur des sciences en g´enie ´electrique de l’Universit´e Laval, Qu´ebec, Qu´ebec, Canada (1972), Huu Tue Huynh a com-menc´e sa carri`ere d’enseignant au sein du D´epartement de g´enie ´electrique et de g´enie informatique de la mˆeme universit´e

en 1969 Il a travaill´e toute sa carri`ere durant au Laboratoire

de Radiocommunication et de Traitement du Signal (LRTS), o`u il a ´et´e responsable des recherches des algorithmes et ar-chitectures rapides avec applications aux syst`emes et r´eseaux

de transmission Il a quitt´e l’Universit´e Laval en 2004 pour de-venir directeur du D´epartement de traitement de l’information

du Coll`ege de Technologie de l’Universit´e Nationale du Viet-nam `a Hanoi, VietViet-nam Il a ´et´e professeur invit´e `a l’INSA de Lyon, France (1972), `a l’ENST de Paris (1980), `a l’Universit´e de Rennes, France (1982),

`a Concordia University de Montr´eal (1985), `a l’ ´ Ecole Polytechnique de Montr´eal (1986),

et au CEPHAG de Grenoble, France (1995) Pendant l’ann´ee 1984, il a ´et´e chercheur in-vit´e du Bell Labs `a Neptune, New Jersey, ´ E.-U Il est auteur ou co-auteur d’une centaine

de travaux publi´es dans des revues et des conf´erences internationales, et de deux livres, Syst`emes non-lin´eaires (Gordon & Breach, 1972) et Simulations stochastiques et applica-tions en finances avec des programmes MATLAB (Economica, 2006).