Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.. Gọi N, P lần lợt là điểm đối xứng của M qua các đờng thẳng AB, AC.. a Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.. c Tìm vị tr
Trang 1ĐỀ THI chọn Học Sinh giỏi vòng 3 huyện Thiệu hoá
MễN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phỳt
Câu 1: (3 điểm) Cho x = 3 2 1 3 1
2 1
− −
−
Tính giá trị của biểu thức P = x3 + 3x + 2008
Câu 2: ( 2,5 điểm) Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các cạnh x, y, z của nó luôn
thỏa mãn đẳng thức : 1 x yz 1 y zx 1 z xy =4xyz1
+
+ +
+
Câu3(2.5 điểm) Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA,
CA sao cho BM= CN Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố
định
Câu 4: ( 4 đ iểm)Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) và H là trực tâm của
∆ABC Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác B, C) Gọi N, P lần lợt là
điểm đối xứng của M qua các đờng thẳng AB, AC
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp
b) Chứng minh 3 điểm N, H, P thẳng hàng
c) Tìm vị trí của M để đoạn NP lớn nhất
Câu 5: (2,5 điểm) Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực: M = x + y, bieỏt:
(x+ x2 + 2008)( y+ y2 + 2008) = 2008
Câu 6:(3 điểm) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
x z
z
z y
y
y x
x
3 6 2 3
2 4 2 3
2 2 3
3
3
3
Câu 7: (2,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
9
12 27
2 +
−
x x
Đáp án
Trang 2N I
C B
A M
Câu
1
−
=
−
3 3
1 2
1
; 1
( )
=
−
=
2
1 1
.
x v u
v u
2006 2008
3
3 2 3 1 2
1 1 2
3
3
3 3 3 3
= +
+
⇒
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
⇒
x x
x x
v u uv v u v u x
Vậy giá trị cần tìm của P là 2006
1,5 1
0,25 0,25
Câu
2
Tacó: Ap dụng BĐT 1 1 4
A B+ ≥ A B
+ với mọi A, B > 0
Và c/m CĐT này
yz+ zx+ xy = xy yz zx yz + xy zx yz zx
z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.
1 0,5 0,5 0,25 0,25
Câu
3
Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I
Dễ thấy ∆ IMB = ∆INC (c-c-c) vậy ãMBI = ãNCI
Xét tứ giác ABCI có ãMBI = ãNCI
vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố
định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua
I cố định
0,5 1
1
Câu
4
a) Gọi giao điểm của CH với AB là I
AH với BC là K
⇒ IBK KHIã + ã = 180 0
mà ãKHI =ãAHC ⇒ ãIBK AHC+ã = 180 0 (1)
Trang 3N
I H
K
O B
A
C
M
lại có ãIBK= ãAMC (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
AMC= APC (t/c đối xứng) ⇒ IBKã =ãAPC(2)
từ (1), (2) ⇒ ãAPC AHC+ ã = 180 0 ⇒ tứ giác AHCP nội tiếp 0,5
b), Tứ giác AHCP nội tiếp ⇒ ãAHP ACP= ã = ãACM
lại có ãACM + ãABM = 180 0 ⇒ ãAHP ABM+ã = 180 0 mà ãABM =ãABN ⇒
ã ã 180 0
AHP ABN+ = (3)
1
Chứng minh tơng tự câu a) ta có tứ giác AHBN nội tiếp ⇒ ãABN = ãAHN (4)
từ (3), (4) ⇒ ãAHP AHN+ ã = 180 0 ⇒ N, H, P thẳng hàng
0,25 0,25 c) MANã = 2BAM MAPã ;ã = 2MACã
⇒ NAPã =2(BAM MACã + ã ) 2= BACã (<1800) không đổi 0,25
Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sinãBAC
⇒ NP lớn nhất ⇔ AP lớn nhất mà AP = AM
AM lớn nhất ⇔ AM là đờng kính của đờng tròn (O)
Vậy NP lớn nhất ⇔ AM là đờng kính của đờng tròn
0,25 0,25 0,25
Câu
5 a) Ta coự: (x+ x2 + 2008)( y+ y2 + 2008)= 2008
⇔ (x+ x2 + 2008)(y+ y2 + 2008)(x− x2 + 2008) = 2008(x− x2 + 2008) \
⇔ − 2008(y+ y2 + 2008) = 2008(x− x2 + 2008)
⇔ y = – x + x2 + 2008 − y2 + 2008
Tửụng tửù ta cuừng coự: x = – y + y2 + 2008 − x2 + 2008
Vaọy: x + y = – x + x2 + 2008 − y2 + 2008– y + y2 + 2008 − x2 + 2008
⇔x + y = – x – y
⇔x + y = – (x + y)
⇔x + y = 0
2008 2008 2008
x+ x + y+ y + = thỡ M = x + y = 0
0,5
0,25 0,25 0,5 0,5
0,5 Câu
6 Biến đổi tơng đơng hệ ta có
−
= +
−
−
= +
−
−
= +
−
) 2 ( 3 ) 1 )(
2
(
) 2 ( 2 ) 1 )(
2
(
2 ) 1 )(
2 (
2 2 2
x z
z
z y
y
y x
x
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
0,5
Trang 4(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2)[( x + 1 ) 2 ( y + 1 ) 2 ( z + 1 ) 2 + 6] = 0
⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
⇔ x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
0,5 0,5 1
Câu
7
27 12
1 1
x A
−
A đạt giá trị nhỏ nhất là -1 ( )2
6 0
x
⇔ − = hay x = 6
4 36 4 12 9 2 3
27 12
x
A đạt GTLN là 4 ( )2 3
2 3 0
2
x+ = ⇒ = −x
1,25
1,25