BÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊN

BÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊNBÀI ÔN TẬP HSG VÀ THI CHUYÊN

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho x 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 x 1 2017

x

Bài 2(2 điểm) Cho x là số thực âm thỏa mãn x2 + 12

x = 23, tính giá trị của biểu thức A = x3 + 13

x 2) Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: x4 – 2y4 – x2y2 + x2 + y2

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x, y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = (1 - 12

x )(1 - 12

y ) 2) Tìm nghiệm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: 2x2 – 2xy = 5x – y – 19

Bài 4 (1,0 điểm)Cho số nguyên dương n và các số A =

2

444 4

n

   (A gồm 2n chữ số 4); B = 888 8

n

   (B gồm n chữ số 8) Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương

Bài 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2017 Tìm GTLN của

a + 2017a + bc b + 2017b + ca c + 2017c + ab .

Câu 6(1 điểm)

Chứng minh trong các số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013

Câu 7(1,5 điểm): Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

y  z  z  x  x  y

Câu 8(1,0 điểm): Chứng minh N  20124n  20134n  20144n  20154n không phải là số chính phương với mọi n là số nguyên dương.

Câu 9 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 4b 9c

b c a c a b a b c

C©u 10 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hÖ sè cña x3 lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ biÕt f(5) f(3) 2010 Chøng minh r»ng: f(7) f(1)  lµ hîp sè

2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P x2 4x 5 x26x 13

3) Cho biểu thức x2  x 1  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q = 66 335 324 3 2017

3 3 2017







ax bx c x

f víi mäi x vµ a,b,c nguyªn d¬ng ( b kh¸c 1)

Chøng minh r»ng : 3350 1340 4 2 1 2014

b

b ac c a

Câu 12:1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

Chứng minh rằng

b a c b b c a c c a b abb c b c bcc a c a caa b





























3

2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho abc 10de chia hết cho 101?

Bài 13 Cho a + b = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2)

Bài 14: b) Tìm tất cả các số hữu tỷ x sao cho A = x2 + x+ 6 là một số chính phương.

a) Cho x > 1 và y > 1 Chứng minh rằng :

8 (x 1)(y 1)



Câu 15 (2 điểm)

a) Giải phương trình: x 2x 2 5 x 9

b) Cho ba số thực x, y, z đơi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 1 1 1 0

x yz  Tính giá trị biểu thức:

A

Câu 16.Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x + y = 1 Chứng minh rằng: 3(3x 2)2 8x 7

y

Câu 17 Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số M a2ab b 2(a, b ∈ N* )là 0

a) Chứng minh rằng M chia hết cho 20.

b) Tìm chữ số hàng chục của M

Câu 18 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2

1

a b c  Chứng minh:

2

ab ba ca

Câu 19 (2,0 điểm).

a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì 2 1 201322013 n 2013 chia hết cho n n   1

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, thỏa mãn điều kiện p2 2q2 1

Câu 20 (1,0 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh:

3

a b  b c  c a 

Câu 21: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x3y3 x y

a) Chứng minh rằng: y x 1 

b) Chứng minh rằng: x3y3 x2y2 1

Câu 22: Cho M a 3a 1 2  với a là số nguyên dương

a) Chứng minh rằng mọi ước của M đều là số lẻ

b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5 Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?

Câu 23: (2.0 điểm ) Giải phương trình:

2

        

Câu 24: (1 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z t/m: x + y + z = 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của BT:

S

Bài 25 : ( 1 điểm) Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện 2 xy xz 1

Chứng minh rằng : 3yz 4xz 5xy + + 4

Bài 26: (1,0 điểm) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac bd 1  Chứng minh rằng:

2 2 2 2

a b c d ad bc  3

Bài 27: (2,0 điểm)

a) Cho f x  là một đa thức với hệ số nguyên Biết f 1 f 2    2013, chứng minh phơng trình

 

f x 0 không có nghiệm nguyên

b) Cho p là một số nguyên tố Tìm p để tổng các ớc nguyên dơng của p4 là một số chính phơng

Bài 28: ( 0,5 điểm)

Cho 2 số thực a và b thỏa món a>b và ab= 4

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

a b

 

 Cõu 29 (1,5 điểm)

1 Cho x, y là cỏc số thực thỏa món 2 2 2 2 3  2 22 1









x

x Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức C = x2+y2

2 Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (a; b) sao cho

2

2

2





ab

a

là số nguyờn

Cõu 30 (1,5 điểm)

a) Tỡm tất cả cỏc bộ số nguyờn dương ( ; )x y thỏa món phương trỡnh:

b) Cho tứ giỏc lồi ABCD cú BAD và BCD là cỏc gúc tự Chứng minh rằng AC BD

Cõu 31 (1,5 điểm)

:

A

với x0, x1

b) Cho  3 1 10 6 3 3

21 4 5 3

, tớnh giỏ trị của biểu thức Px24x 22017

Cõu 32 (1,5 điểm)

a) Cho cỏc số dương x, y thỏa món x y x  3y3 Chứng minh rằng x2 y2 1

b) Giải hệ phương trỡnh:

2 2 2

y z







Cõu 33 (2,0 điểm)

a) Tỡm tất cả cỏc bộ số nguyờn dương x y z; ; thỏa món 2017

2017

x y

y z



 là số hữu tỷ, đồng thời

2 2 2

x y z là số nguyờn tố

b) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : 5x2 + y2 = 17 + 2xy

c) Tỡm tất cả cỏc bộ số tự nhiờnx y z; ; thỏa món: x3 + y3 = 2z3 và x + y + z là số nguyờn tố d) Tỡm tất cả cỏc bộ số tự nhiờnx y z; ; thỏa món: x3 + y3 = z3 và x + y + z là số nguyờn tố

Cõu 34: (1,0 điểm) Tỡm hai số nguyờn a và b để M = a4 + 4b4 là số nguyờn tố

Câu 35 (5,0 điểm)

a) Không sử dụng máy tính cầm tay, chứng minh rằng 35 2 7  35 2  7 2 2

b) Giải phương trình x 4 – x 3 – 14x 2 + x + 1 = 0.

x  x  y  y  = 2017 Tính P = x + y.

Bài 36 (1.0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu x y 1 thì 1 1

b) Cho 1a b c, , 2 Chứng minh rằng a b c 1 1 1 10

a b c

Bài 37 (2.0 điểm) Cho a b, là hai số nguyên dương thỏa mãn a 20 và b 13 cựng chia hết cho 21 Tỡm số dư của phép chia 4a 9b

A   a b cho 21

Bài 38 (1đ ): Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x y  1998

Bài 39 (1đ): Giải phương trình: x4 x22018 2018

Bài 40 (1đ ): Cho hai số dương x, y thay đổi sao cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

























 2 12

1

1 1

y x

Bài 41 (1đ ): Cho 0 < x < 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

) 1 (

1 4 2

2

x x

x





Bài 42 (1đ ): Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện ab0 Chứng minh rằng:

2

1 2 2

2























b a

ab b

a

Bài 43 (1đ ): Chứng minh rằng với a> 0, ta có:

2

11 2

) 1 ( 5 1

2

a a

a

Bài 44 (1đ ): Cho hai số tự nhiên a, b khác 0 và a  b= 2017 Tìm giá trị lớn nhất của tích ab

Bài 45 (1đ ): Tìm nghiệm dương của phương trình:

1 x x2120161 x x212016 22017

Bài 46 (1,0 điểm) : Cho các số thực x, y, z thoả mãn:

2

y + yz + z = 1 -

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z

Bài 47 (1.0 điểm): Cho a, b là c¸c số dương thảo m·n a + b = 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a2 + b2 +

ab 33

Bài 48 : Cho ba số dường a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : 2









c c

a

b c

b a

Bài 49 : (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả món điều kiện a + b  1 và a > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2

4

8

b a

b a





Câu 50: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Tìm GTLN của biểu thức

Câu 51 (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa món điều kiện:

5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z

Câu 52: Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa món x + y + z = 9 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S

Câu 53: Cho a,b,c là 3 số thực dương thừa món: a2 + 2b2  3c2 CMR:

c b a

3 2 1



 Cõu 54:Cho a b c , , là các số dương thay đổi thỏa món: 1 1 1

2017

a b b c c a       Tìm giá trị

.

P

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x y z 3   Tìm giá trị nhỏ nhất

Q

Câu 57: Cho 4 số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z x y  

A

xyzt

Câu 58 (1,0 điểm) Giải phương trình :  3 3  2 2 2

3

Câu 59: Tìm GTNN của biểu thức: Q 2002 2017 2996a 5501b

Với a; b dương thỏa mãn: 2a 3b 4 

Câu 60: Tìm min – max của biểu thức: Q = a2 + b2 + c2 biết a, b, c là các số lớn hơn hoặc bằng 1 và

ab + bc + ca = 9

Câu 6.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2

3

x  y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn 21 21 2

Tính giá trị biểu thức 21 21 2

P

Câu 1 (1.5 điểm )Cho các số dương a,b,c,d Chứng minh rằng trong 4 số

a2 1 1;b2 1 1;c2 1 1;d2 1 1

Câu 2 (1.5 điểm )Giải phương trình :

x22x24x12  x2x12x2x2 2017

Câu 3 (3.0 điểm )

1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4

2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số x 2;x2 2 2;x 1;x 1

số không phải là số nguyên

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2, b2 à a+b+2c=6v Chứng minh rằng:

2 2

4

( ) 6a 16

c



   

Câu 5 : ( 1 điểm ) Cho a; b ; c là độ dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng

ab

c b a

2

2 2

2  

+

bc

a c b

2

2 2

2  

+

ca

b a c

2

2 2

2  

> 1

b Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + 1 1 1

a b c  ≥ 6.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho các số tực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh:

N = 3 a2 3 b2 3 c2 6

Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa x  2y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2x y 2xy P

xy

 



của biểu thức

2

ab M

a b



 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F  xy  2 yz zx 

a  a  a   a  Chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó, luôn tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.

Câu 5 (1,0 điểm)

1) Giải phương trình 2  5  

3x  6x 6 3 2  x  7x 19 2 x

2) Xét các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T 4 a4 4 b4 4 c4

1 2 9

x y

2x y 2

Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn:

Tìm GTLN của biểu thức: 12 2 12 2 12 2 .

P

Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1

Chứng minh rằng:  

2

2 2

2 8

x y

x y







Bài 1 (3,0 điểm).Cho biểu thức:

x x x

x x x x

x x x

x P

















2

1 2

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi x3  2 2

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P

7

chỉ nhận một giá trị nguyên.

9 2

2 9

2





x

x x

Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh

1

1 1

1 1

1

2 2









a

Câu 5 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 3   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 3a bc  3b ca  3c ab

Bài 5: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a2  b2  c2  1

Chứng minh rằng :

b  c  c  a  a  b  2

Câu5(1,0điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn

x 1 y 2016x 2015





 Hãy tính giá trị của biểu thức: 5 2016 1 2015

P (x 1) (y 2) 2017.

Bài 5 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b c 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 3a22ab 3b 2  3b2 2bc 3c 2  3c22ca 3a 2

Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: 0     a b c 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q a b c  2    b c b2    c2 1  c 

Câu V (1,0 điểm): Cho hai số dương a b , thỏa mãn 1 1

2

a b   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q

Câu 5: (1.0 điểm) Cho x, y > 0, x+ y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 4 4

5 5 2 2

M = 8 x + y + + +

-x y x y xy

Bài 5(0,5 điểm ): Cho a,b là hai số dương và a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của S ab 1

ab

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a + b + c = 1009

Chứng minh rằng:

2018

Bài 5: (1 điểm) Cho ; ; 0

1

a b c

a b c







  



Tìm giá trị lớn nhất của: S a b  b c  c a

Chứng minh rằng

2

3 4

P

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q  2017a bc   2017b ca   2017c ab 

x  x 1 x 4x 1 6x

Câu 5 (1,0 điểm) Giải phương trình :  3 3  2 2 2

3

Bài 5: (1,0 điểm).

Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh rằng:

3 a 3 b 3 c

b c c a a b

Câu 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1 Chứng minh:

12

1 1 1

Câu 6 (0,5 điểm): Cho ba số dương a, b, c thay đổi thoả mãn: a2 + b2 + c2 = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

P 2(a b c)

Câu 4: (1.0điểm): Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x > y và xy = 1

2

2 2

2 8

x y

x y







Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy   5 x  2016

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c.Chứng minh:

a b2 b c2 c a2 9 2 a b c

Bài 2: Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy một điểm E sao cho E B.Tia AE cắt tia DC tại K Kẻ đường thẳng qua A và vuông góc với AE Đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại

I

1 1

AK

AE  không đổi khi E di chuyển trên BC

b) Tìm vị trí của E để độ dài IK ngắn nhất

c) Đương thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M.Chứng minh rằng

AM AK

AE

2 1

1





3 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

S

Câu 5: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.

Chứng minh rằng: 2x2xy2y2 + 2y2yz2z2 + 2z2 zx2x2  5

Câu 5 (1,5 điểm) Cho x y, là các số nguyên dương thỏa mãn x y 2017 Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x x ( 2y)y y( 2x)

Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương CMR:

5 5 5

3 3 3

bc ca ab     

2 Cho tam giác ABC vuông tại A Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM  BC, kẻ IN

 AC, IK  AB Tìm vị trí của I sao cho tổng IM + IN + IK nhỏ nhất.2 2 2

Bài 5 : (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1

Chứng minh rằng:  3  3  3

0

Câu 9: (1 điểm) Cho x , y là các số thực dương bé hơn 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =  

1

xy x y

 

Câu 8(0,5 Điểm): Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x3y3x2y2

Bài 4: (1,5đ)

4.1)Giải phương trình nghiệm nguyên : x2  2 y2 2 xy  4 x  8 y   7 0

4.2)Cho 3 số thực không âm a; b; c Ch/m rằng:

 2   2   2     2 2 2

ab b  bc ca bc c    ac ab ca a    ab bc   ab bc ca a    b  c

Câu 5 (1,5 điểm)

1) Cho a, b, c là ba số thực dương, chứng minh bất đẳng thức sau:

a a  b b b  c c c  a  abc

2) Cho 3 số thực x, y, z bất kì, thỏa mãn: x + y + z = 0 và xyz 0

Tính giá trị của biểu thức: P =

2

x

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình:

x3 – y3 = 6xy + 3

Câu 5: Cho các số dương x y, thỏa mãn 2 2 1

3

xy

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P

Câu 3 (2,0 điểm) a) Giải phương trình 3x2 4 3x x2 4

c) Giải hệ phương trình

2 2







Câu 5: Cho các số không âm x y z, , thỏa mãn x y z  1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

2

với mọi số tự nhiên n N*

2 3

2







Bài 1 Tìm x, y nguyên sao cho

2 2

1 4

x y



 là số chính Phương Đk: y0

Ta có

2

2

1 4

x

y



 = k2 ( k nguyên)  x2 1 4y2 k y2 2

Đặt x2 = 4m2, y2= m (m Nguyên ).

Ta có 4m2 + 1 + 4m = k2m

 4m2 +m( 4 – k2) +1 = 0

 = (4 – k2)2 –16 Phương trình có nghiệm nguyên khi là số chính phương

Suy ra :(4 – k2)2 –16 = n2 ( n nguyên )