Tính tỉ số ME MA " T Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy có nhiều điều thú vị sau: Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải Sau đây xin trình bày các cách giải đó: Cách 1.. Hai
Trang 1suy nghĩ mới
từ một bài toán
quen thuộc
Phan duy nghĩa
Phó Hiệu trởngTrờng tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh RONG nhiều cuốn sách tham khảo
toán tiểu học có đề cập đến bài toán
sau: "Cho hình tam giác ABC.
Trên AB, BC lần lợt lấy các điểm D, E sao
cho AB = 3AD; BC = 4BE Nối A với E, C
với D AE cắt CD tại M Tính tỉ số
ME
MA
"
T
Nghiên cứu kĩ bài toán này các bạn sẽ thấy
có nhiều điều thú vị sau:
Thứ nhất, bài toán có nhiều cách giải
Sau đây xin trình bày các cách giải đó:
Cách 1
Nối B với M Vì AB = 3AD nên AD =
2 1
BD Hai tam giác ACD và DCB có đáy AD
và DB, chung chiều cao hạ từ C tới AB nên
SACD =
2
1
SDCB Mặt khác, hai tam giác này
có chung đáy CD nên từ tỉ số diện tích trên,
ta suy ra tỉ số các chiều cao tơng ứng AH =
2
1
BI (1) Vì BC = 4BE nên BC =
3
4
EC Hai tam giác BMC và EMC có đáy BC và EC,
chung chiều cao hạ từ M tới BC nên SBMC =
3
4
SEMC Mặt khác, hai tam giác này có
chung đáy MC nên từ tỉ số diện tích ở trên
suy ra tỉ số các chiều cao tơng ứng là: BI =
3
4
EK (2) Từ (1) và (2), ta có: AH =
2
1
BI =
2
1
x
3
4
EK =
3
2
EK Hai tam giác MAC và MEC có chung cạnh đáy MC, từ tỉ số các
chiều cao AH =
3
2
EK suy ra SMAC =
3 2
SMEC Hai tam giác này có chung chiều cao
hạ từ C tới AE nên đáy MA =
3
2
ME Vậy
ME
MA
=
3
2
Cách 2
Nối B với M ta có: Hai tam giác MBC và MEC có đáy BC =
3
4
EC và có chung chiều cao hạ từ M xuống BC, suy ra: SMBC
=
3
4
SMEC Hai tam giác ACD và CBD có
đáy AD =
2
1
BD và có chung chiều cao hạ
từ C xuống AB, suy ra: SACD =
2
1
SBCD Hai tam giác ACD và BCD có chung đáy
CD nên chiều cao hạ từ A xuống CD bằng
2
1
chiều cao hạ từ B xuống CD Hai tam giác BMC và AMC có chung cạnh MC và
có chiều cao gấp đôi nhau, suy ra: SAMC =
2
1
SBMC Mặt khác, hai tam giác ACM và MCE có chung chiều cao hạ từ C xuống
AE, suy ra:
MA SAMC SAMC x SBMC
ME SMEC SMEC x SBMC
ME
MA
=
2
1
x
3
4
=
3
2
Vậy:
ME
MA
=
3 2
Cách 3
Nối B với M (nh hình vẽ) Ta có: SACE =
SABE x 3 Vì đáy EC = 3BE Mà hai hình tam giác ACE và ABE chung đáy AE nên chiều cao hạ từ C xuống AE gấp 3 lần
Trang 2chiều cao hạ từ B xuống AE SABM = SADM x
3 (1) Vì chúng chung chiều cao hạ từ M
xuống AB và có AB = 3AD
SACM = SABM x 3 (2) Vì chung đáy AM và
có chiều cao gấp 3 lần nhau Từ (1) và (2), ta
có: SACM = SADM x 9 Coi SADM là 1 phần thì
SACD là 10 phần Hay: SACD = SADM x 10
Mà: SACD =
3
1
SABC Vì đáy AD =
3
1
AB và
có chung chiều cao hạ từ C tới AB Nên:
SABC = SADM x 10 x 3 = SADM x 30 Mặt
khác, ta có: SABM + SACM = SADM x 3 +
SADM x 9 = SADM x 12 Suy ra: SBCM = SADM
x (30 - 12 ) = SADM x 18 và SBME = SBCM : 4
= SADM x 18 : 4 = SADM x 4,5
SABM MA SADM x 3 2
SBME ME SADM x 4,5 3
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 4
Nối B với M Lập luận nh cách 3, ta có:
SABM = 3 (phần); SABC = 30 (phần) Suy ra:
SABE =
4
1
SABC =
2
15
(phần) Vậy: SBME =
2
15
- 3 =
2
9
(phần) Hai tam giác ABM và BME có chung chiều cao hạ từ B xuống AE,
nên suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:
ME
MA
= 3 :
2
9
=
3
2
Cách 5
Nối B với M Lập luận nh cách 3, ta có: SABC
= 30 (phần) SACM = 9 (phần)
SAEC =
4
3
SABC =
2
45
(phần)
Suy ra: SCME =
2
45
- 9 =
2
27
(phần)
Hai tam giác CMA và CME có chung chiều cao hạ từ C xuống AE, nên suy ra:
ME
MA
= 9 :
2
27
=
3
2
Cách 6.
Nối E với D Hai tam giác ACD và ABC có
AD =
3
1
AB và có chung chiều cao hạ từ C tới AB nên SACD =
3
1
SABC (1) Tơng tự với hai tam giác AED và AEB, ta có: SAED =
3
1
SAEB (2) Hai tam giác AEB và ABC có
BE =
4
1
BC và có chung chiều cao hạ từ A tới BC nên SABE =
4
1
SABC (3) Từ đây ta có: SABE =
3
1
SAEC(4) Từ (2) và (3), ta có:
SAED =
12
1
SABC (5) Từ (2) và (4), ta có:
SAED =
9
1
SAEC Hai tam giác AED và AEC có chung đáy AE suy ra tỉ số các chiều cao DP =
9
1
CQ Hai tam giác AMD
và ACM có chung cạnh đáy AM, từ tỉ số các chiều cao ở trên, suy ra: SAMD =
9 1
SACM Tổng diện tích hai tam giác này là diện tích tam giác ACD và bằng
3
1
SABC
theo (1) Nên SAMD =
30
1
SABC (6) Từ (5)
và (6), ta có: SAMD =
30
12
SAED =
5
2
SAED Hai tam giác này có chung chiều cao DP, suy ra tỉ số hai cạnh đáy là MA =
5
2
AE Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 7
Trang 3Nối E với D Hai tam giác CBD và CAB có
chung chiều cao hạ từ C xuống AB và có BD
=
3
2
AB, nên suy ra: SCBD =
3
2
SCAB (1) Hai tam giác DBC và DEC có chung chiều cao
hạ từ D xuống BC và có EC =
4
3
BC, nên suy ra: SDEC =
4
3
SDBC (2) Từ (1) và (2), ta có: SDEC =
4
3
SDBC =
4
3
x
3
2
SCAB =
2
1
SCAB
(3) Mặt khác, ta có: Hai tam giác CAD và
CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB
và có AD =
3
1
AB, nên suy ra: SCAD =
3 1
SCAB (4) Từ (3) và (4), ta có: SDEC =
2 3
SCAD Hai tam giác DEC và CAD có chung
cạnh CD nên từ tỉ số diện tích trên ta suy ra
tỉ số hai chiều cao là: EH =
2
3
AI Hai tam giác AMC và EMC có chung cạnh MC và có
tỉ số chiều cao EH =
2
3
AI , nên suy ra:
SEMC =
2
3
SAMC Hai tam giác này có chung
chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ tỉ số diện
tích trên ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:
MA ME
=
2
3
Hay:
ME
MA
=
3
2
Cách 8
Nối E với D Lập luận nh cách 6, ta có: SAEC
=
4
3
SABC (1) SACM =
30
9
SABC (2) Từ (1)
và (2), ta có: SAEC =
4
3
x
9
30
SACM =
2 5
SACM Hai tam giác CAE và CAM có chung chiều cao hạ từ C xuống AE nên từ
tỉ số diện tích ta suy ra tỉ số hai cạnh đáy là:
AM
AE
=
2
5
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 9
Nối E với D Lập luận nh cách 6, ta có:
SAEC =
4
3
SABC (1)
SDEC =
4
3
SBCD =
4
3
x
3
2
SCAB =
2
1
SCAB (2) Từ (1) và (2), ta có: SAEC =
2
3
SDEC Mặt khác, ta có: SEDM =
9
1
SEMC Suy ra:
SDEC =
9
10
SEMC Ta có:
AE SCAE SCAE x SEDC
ME SEMC SEMC x SEDC
=
2
3
x
9
10
=
3
5
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 10.
Nối E với D Lập luận nh cách 6, ta có:
SAEC =
4
3
SABC SACD =
3
1
SABC Suy ra:
SAEC =
4
9
SACD Mặt khác, ta có: SCAM = 9SDAM Suy ra: SACD =
9
10
SCAM Ta có:
AE SAEC SAEC x SACD
MA SCAM SCAM x SACD
Trang 4=
4
9
x
9
10
=
2
5
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 11.
Nối E với D Lập luận nh cách 6, ta có:
SAMD =
9
1
SACM Suy ra: SAMD =
10
1
SCAD
SCAD =
3
1
SABC ; SEAD =
12
1
SABC Suy ra:
SCAD = 4 SEAD Ta có:
MA SAMD SAMD x SCAD
AE SEAD SEAD x SCAD
=
10
1
x 4 =
5
2
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 12.
Nối E với D Lập luận nh cách 6, ta có: SEDM
=
9
1
SEMC Suy ra: SEDM =
10
1
SDEC
SDEC =
2
1
SCAB; SDAE =
12
1
SABC Suy ra:
SDEC = 6SDAE Ta có:
ME SEDM SEDM x SDEC
AE SDAE SDAE x SDEC
=
10
1
x 6 =
5
3
Vậy:
ME
MA
=
3
2
Cách 13
Kẻ ER song song với DC Nối R với C, nối
E với D Hai tam giác RCE và RDE có chung cạnh đáy RE, các chiều cao hạ từ D
và C bằng nhau (do RE song song với DC) nên SRCE = SRDE (1) Hai tam giác BRE và BRC có BE =
4
1
BC và có chung chiều cao hạ từ R tới BC nên SBRE =
4
1
SBRC Do (1)
nên SBRC = SBED do đó SBRE =
4
1
SBED Hai tam giác này có đáy cùng nằm trên cạnh
AB và chung chiều cao hạ từ E tới AB, suy
ra BR =
4
1
BD Mặt khác: AB = 3AD nên nếu chia AB ra 6 phần bằng nhau thì AD là
2 phần và BD là 4 phần Vậy BR là 1 phần
và RD là 3 phần, AR là 5 phần Hai tam giác MAD và MAR có chung chiều cao hạ
từ M tới AR và có AD =
5
2
AR nên SMDA
=
5
2
SMAR Nối R với M, do DM song song với RE nên SMDR = SDME Suy ra: SMAR =
SADE Vậy: SMDA =
5
2
SADE
Lập luận nh trên ta có:
ME
MA
=
3
2
Cách 14.
Nối B với M, D với E (nh hình vẽ) Lập
luận nh cách 3, ta có: SABC = 30 (phần)
SABE =
4
1
SABC =
2
15
(phần) Hai tam giác EAD và EAB có chung chiều cao hạ từ E xuống AB và có AD =
3
1
AB, nên suy ra:
SEAD =
3
1
SEAB =
2
5
(phần)
Vậy: SDME =
2
5
- 1 =
2
3
(phần) Hai tam giác DAM và DME có chung chiều cao hạ
từ D xuống AE nên ta suy ra tỉ số hai cạnh
đáy là:
ME
MA
= 1 :
2
3
=
3 2
Trang 5
Thứ hai, bài toán vừa giải ở trên là một
trờng hợp của bài toán tổng quát sau: "Trên
các cạnh AC và AB của hình tam giác
ABC lấy các điểm M và N Nối B với M, C
với N BM và CN cắt nhau tại O.
Hãy tính
OM
OB
nếu biết
AN
BN
= m và
AM
CM
= n ".
Giải:
Nối A với O ta có: Hai tam giác AOC và
MOC có chung chiều cao hạ từ C xuống AC
nên suy ra:
SAOC AC AM + MC
SMOC MC MC
= 1 +
MC
AM
= 1 +
n
1
Hai tam giác BNC và ANC có chung chiều
cao hạ từ C xuống AB và có
AN
BN
= m nên suy ra : SBNC = m x SANC Hai tam giác BNC
và ANC có chung đáy NC nên từ tỉ số diện
tích trên suy ra chiều cao hạ từ B tới NC
bằng m lần chiều cao hạ từ A tới NC Hai
tam giác BOC và AOC có chung cạnh OC và
có tỉ số chiều cao bằng m nên suy ra: SBOC =
m x SAOC Hai tam giác BOC và MOC có
chung chiều cao hạ từ C xuống BM nên suy
ra:
OB SBOC SBOC x SAOC
OM SMOC SMOC x SAOC
OB SBOC SAOC
OM SAOC SMOC
Vậy:
OM
OB
= m x (1 +
n
1
)
- Nh vậy bài toán đã giải ở trên là một
tr-ờng hợp của bài toán tổng quát khi m =
2 1
và n = 3
- Đặc biệt nếu m = n = 1 thì
OM
OB
= 2
Đây là một trong những tính chất của ba
đ-ờng trung tuyến trong tam giác
Thứ ba, qua bài toán tổng quát trên ta
thấy đợc mối quan hệ giữa các tỉ số
AN
BN
,
AM
CM
với tỉ số
OM
OB
Sâu sắc hơn nữa là nếu biết 2 trong 3 tỉ số này, ta sẽ tính đợc tỉ
số còn lại
Chẳng hạn xét bài toán sau: " Cho hình
tam giác ABC E là trung điểm của cạnh
BC Nối AE I là trung điểm của AE Kẻ
CI kéo dài cắt AB tại M, kẻ BI kéo dài cắt
AC tại N.
Tính các tỉ số:
MB
AM
;
IC
IM
;
NC
AN
;
IB
IN
".
Giải:
Hai tam giác ABE và AEC có chung chiều cao hạ từ A xuống BC và có BE = EC nên suy ra: SABE = SAEC =
2
1
SABC Hai tam giác CAI và CIE có chung chiều cao hạ từ
C xuống AE và có AI = IE nên suy ra: SCAI
= SCIE =
2
1
SAEC =
4
1
SABC Tơng tự, ta có:
SIBE = SIEC; SBAI = SBIE Coi SIBE = 1 (đvdt) thì SIBE = SIEC = SCAI = SBAI = 1 (đvdt) và
SBIC = 2 (đvdt) Vì SBIC = 2 (đvdt); SCAI = 1 (đvdt) nên suy ra: chiều cao hạ từ B xuống
CM gấp 2 lần chiều cao hạ từ A xuống CM hay SBIM = SIAM x 2
Suy ra: SIAM = 1 : (1 + 2) =
3
1
(đvdt); SBIM
=
3
2
(đvdt) Tơng tự ta tính đợc: SIAN =
3 1
(đvdt); SINC =
3
2
(đvdt) Vậy:
MB
AM
= SIAM : SBIM =
3
1
:
3
2
=
2
1
IC
IM
= SIAM : SCAI =
3
1
: 1 =
3
1
NC
AN
= SIAN : SINC =
3
1
:
3
2
=
2 1
Trang 6
IN
= SIAN : SBAI =
3
1
: 1 =
3
1
Thứ t, thay đổi cách phát biểu bài toán đã
cho ta có bài toán mới sau:
"Cho hình tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AB = 3AM và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA =
3
2
NC.
Đờng thẳng MN cắt cạnh BC kéo dài tại
điểm K Tính tỉ số:
CK
BC
".
Các bạn tự giải bài toán trên nhé
Chắc chắn còn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán đã nêu
Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ nhé
Phan duy nghĩa
PHTTrờng tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh