Hệ phương trỡnh gồm một phương trỡnh bậc nhất và một phương trỡnh bậc hai Bài 1.. Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 1... 2 Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.. Giải cỏc h
Trang 1Vũ Văn Ninh – THPT Lý Thờng Kiệt – Thủy Nguyên - HảI Phòng
HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI
I Hệ phương trỡnh gồm một phương trỡnh bậc nhất và một phương trỡnh bậc hai Bài 1 Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1 22 1 2
19
x y
x xy y
2 23 6 2
x y
x xy y
x y
5 4 2 9 6
x y
x xy x y
2
2
x x y
2
xy y y
164 y
x
2 y x
2 2
9
1 y 2x
7 y 5xy
10
Bài 2 Cho hệ PT :
x 2y m
a) Giải HPT với m = 4
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
Bài 3 Giải HPT :
2x y 5
Bài 4 Tìm m để HPT :
x y 4
có 2 cặp nghiệm phân biệt (x1; y1) và ( x2; y2) thoả mãn (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 4
Bài 5 Tìm m để HPT sau có nghiệm duy nhất :
9x 16y 144
x y m
Bài 6 Cho HPT :
x y m
xác định các giá trị của a để HPT có nghiệm duy nhất
Bài 7 Cho HPT :
x ay a 0
a) Giải hệ khi a = 1
b) Tìm a để hệ PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt
c) Gọi (x1; y1) , (x2 ; y2) là các nghiệm của hệ đã cho CMR (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 ≤ 1
Bài 8 Cho HPT :
2x y m
a) Giải HPT với m = 0
Trang 2Vũ Văn Ninh – THPT Lý Thờng Kiệt – Thủy Nguyên - HảI Phòng b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
Bài 9 Cho HPT :
3x 5y 13
a) Giải HPT với m = 13
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
Bài 10 Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ :
x y 2a 1
Tìm a để P = xy đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 11 Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ :
x y a 1
Tìm a để P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 12 Gọi ( x; y) là nghiệm của hệ :
x y 2a 1
Tìm a để P = xy đạt giá trị nhỏ nhất và GTLN
Bài 13.Tìm k để hệ phơng trình:
k y x y
có nghiệm duy nhất
Bài 14 Cho hệ phơng trình:
2
1 2
y m xy y x m y x
1) Giải hệ khi m = 4
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm
Bài 15 Cho hệ phơng trình:
0 0
2 2
a ay x
x y x
1) Giải hệ phơng trình khi a = 1
2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng:
x2 x12 y2 y121
II Hệ đối xứng loại 1
Bài 1 Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1 2 5 2
7
x y
x xy y
42
xy
x y x y
5
x y xy
x y
5
x y
xy x y
35
x y y x
x x y y
7
7 2 5 2
x y xy
xy x y
8
x + xy + y = 7
x + xy + y = 5
9 3 32
26
x y
x y
10
4 2
x xy y
x xy y
11 3 32
26
x y
x y
12
4 2
x xy y
x xy y
Trang 3Vò V¨n Ninh – THPT Lý Thêng KiÖt – Thñy Nguyªn - H¶I Phßng
13 x + y = 1 - 2xy 2 2
x + y = 1
14 xy + x + y = 11 2 2
x y + xy = 30
15 x + y = 4 2 2 3 3
(x + y )(x + y ) = 280
16 x + y + xy = 11 2 2
x + y + 3(x + y) = 28
x y + xy = 30
x + y = 35
x + y = 1
x + y = 1
19
x + y = 13
3(x + y) + 2xy + 9 = 0
x + y = 8
x + y + 2xy = 2
x + y = 208
xy = 96
22
x + y + x + y = 8
xy + x + y = 5
2
2(x + y) - xy = 1
x y + xy = 0
x + y + xy = 7
x + y - xy = 3
25 3(x + y) = xy 2 2
x + y = 160
x + y - x - y = 102
xy + x + y = 69
x + y + xy = 7
x + y + x y = 21
28
x + y = 5
x - x y + y = 13
29 x + y = 1 3 3 2 2
x + y = x + y
x + y = 1
x + y = x + y
31
x + y = 1
x + y = 1
x y 13 + =
x + y = 5
33
+ + xy =
2(x + y) = 3xy
34 x - y - xy = 1 2 2
x y - xy = 6
x + xy + y = 1
x - y - xy = 3
x + x - y + y = 4 x(x - y + 1) + y(y - 1) = 2
37
x + y - x + y = 2
xy + x - y = -1
38
x + y + x + y = 8 xy(x + 1)(y + 1) = 12
39
4
1 1
x + y + + = 4
x y
x + y + +
40 x(x + 2)(2x + y) = 9 2
x + 4x + y = 6
49
2 2
1 (x + y)(1 + ) = 5
xy 1 (x + y )(1 + )
x y
42 2 2
4 28
xy y x
43 2 2
2 4
x y xy
xy y
x
3
6
xy x y
x y xy y
x
2 164
x y y x
46 3 3
1
61
x y
y
x
2 2
xy x y y x
6
2( 2)
x y
xy y
x
49 2 2
65
(x )(y )
y
x
0
1 2
2 2
2
xy y x
xy y
(
51
160
3
2
2 y x
xy y
(
15 3
2 2 2 2
y x y
x
y x y
x
53
9
3 4 1 1
xy
y
49 1
1
5 1 1
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
55
13 5
4 2
2
4
2
2
y y
x
x
y
x
Trang 4Vò V¨n Ninh – THPT Lý Thêng KiÖt – Thñy Nguyªn - H¶I Phßng
Bài 2 Cho hệ phương trình: x xy y m2 2 1
x y xy m
1 Giải hệ với m = 2.
2 Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm x y thỏa mãn ; x 0và y 0
Bài 3 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2
6
x y m
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: F xy2x y
Bài 4 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x y xy m
xy x y m
Bài 5 Tìm m để hệ 2 2
x xy y m
x y xy m
Bài 6 Gọi x y là nghiệm của hệ phương trình:;
x y a
Xác định a để xy nhỏ nhất.
Bài 7 Cho hệ phương trình
2
4
x y
1 Giải hệ phương trình với a = 2.
2 Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 8 Cho HPT:
x + y = m
x + y = 6
a) Giải HPT với m = 26 b) m = ? | Hệ vô nghiệm
c) m = ? | Hệ có nghiệm d) m = ? | Hệ có 1 nghiệm duy nhất
e) m = ? | Hệ có 2 nghiệm phân biệt
Bài 9 Cho HPT: 2 2
x + y + xy = m +1
x y + xy = 3m - 5
a) Giải HPT với m = 26 b) m = ? | Hệ vô nghiệm
c) m = ? | Hệ có nghiệm d) m = ? | Hệ có 1 nghiệm duy nhất
e) m = ? | Hệ có 2 nghiệm phân biệt
Bài 10 Tìm m để các HPT sau có nghiệm:
a) x + y = 4 2 2 2
x + y = m
b) 5(x + y) - 4xy = 4
x + y - xy = 1 - m
Trang 5Vò V¨n Ninh – THPT Lý Thêng KiÖt – Thñy Nguyªn - H¶I Phßng
Bài 11 Cho HPT:
x + y + x + y = 8 xy(x + 1)(y + 1) = m
1 Giải HPT với m = 12
2 m = ? | Hệ có nghiệm
Bài 12 Giải biện luận các HPT sau:
1.
x y
+ = a
y x
x + y = 8
2.
x - 4 + y - 1 = 4
x + y = 3a
m x
y
m y
x
1 2
1 2
III Hệ đối xứng loại 2
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
1
2
2
y x x
2
2
13 4
13 4
2
2
2 2
x y
y x
4
3
3
5 5
x x y
y y x
20 20
x y
x y
2 2
2x +xy= 3x 2y + xy= 3y
7
2
2
x -2x=y
y -2y=x
8
x -2y = 2x + y
y -2x =2y + x
9
2 2
x = 3x+2y
y =3y+2y
10
x y y
y x x
2
2
1 3
1 3
x y
x
y x
y
12
13
2 2 2 2
2 3
2 3
y x x
x y y
14
x 2x 2x 1 2y
y 2y 2y 1 2x
x
y
16
2 2
3
2 2
3
x y log
y x log
y x
17
4 3 2
4 3 2
2 2 2 2
y x
y
x y
x
18
2 2
2 2
3 3
y x y
x y x
3 14
11
3 14
11
x y
log
y x
log
y x
20
y x x
y
x y y
x
4 3
4 3
21
Trang 6Vũ Văn Ninh – THPT Lý Thờng Kiệt – Thủy Nguyên - HảI Phòng
Bài 2 Tỡm m để hệ
2
2
Bài 3 Tỡm cỏc giỏ trị của m để mỗi hệ phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:
1
4 4
2
1
x y xy
2 2
xy x m y 1
xy y m x 1
Bài 4 Cho hệ phơng trình:
2 2
2 2
4 3 4
3
4 3 4
3
m m
x y
m m
y x
1) Giải hệ phơng trình với m = 1
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
3) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
IV Hệ đẳng cấp:
Bài 1 Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1
3x xy 3y 13
x xy y
2
x xy y
x x y y
4
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
7
x xy y
x xy y
2
x xy
x xy y
10 5
x xy
y x y
10
3
7
2 2
2 2
xy y x
xy y x
11
x xy y
x xy y
49 5
56 2
6
2 2
2 2
y xy x
y xy x
13
x x y
y xy
0 15 13
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
15
7 2
3 4
3 2
2 2
2 2
y x
xy y
x
16
2 2
2
9 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
17 18
Trang 7Vũ Văn Ninh – THPT Lý Thờng Kiệt – Thủy Nguyên - HảI Phòng
Bài 2 Giải và biện luận HPT :
a)
b)
2
x xy 2
Bài 3 Chứng tỏ rằng hệ dới đây có nghiệm với mọi m :
2
y 3xy 4
Bài 4 Tìm m để hệ sau có 4 nghiệm phân biệt :
Bài 5 Cho HPT :
2
y 3xy 4
a) Giải hệ với k = 1
b) CMR hệ có nghiệm với mọi giá trị của k
Bài 6 Chứng tỏ rằng với mọi m , phương trỡnh sau luụng cú nghiệm:
2
3
x xy y m
xy y
V Hệ phương trỡnh khỏc:
Bài 1 Giải cỏc hệ phương trỡnh sau:
1 2x y 4
x 2y 3
x 2 2y 3 0
3
x 2xy 3y 0
x x y y 2
4
6 3
2
2 y x y xy
x
y x xy
5
36 ) 1 ( ) 1 (
12
2 2
y y x x
y x y x
6
5 6
x y x y
x x y xy y
7
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y
x y 4x 2y 20 0
) ( 3
2 2
2 2
y x y
x
y y x x
10
2 7 7
2 2
3 3
y x y x
y y
x x
11
1 2
1 1
3
x y
y y x x
12
2
3
y x
y
x
y x y
x
13
y y y
x x x
2 2 2 4
4 5
2
1 2 3
14
0 1 2
3 y x y x
y x y
x
15
17
18
4
1
y
19
0 log log
0 3 4
2
y x
20
3 2
x
y xy log y log
2 7
2 2 3 3
y x y x
y x y
x
Trang 8Vũ Văn Ninh – THPT Lý Thờng Kiệt – Thủy Nguyên - HảI Phòng
22
5 1152 2
3
2
2 x y log log
y x
23
2 2 2 1 1 y y
x y x
24
0 1 sin 3 2 cos
sin sin
y x
y x
y x
3 2
1 2
0 2
6 4
5
y x y x
y x y
x y
x
26
1 1
3
2 3 2
2
2
3 2
1 3
x xy x
. y x
y x
1 1 1
2 3 9
2 2
3
2 2
y x
xy log
xy log
29
5
x y x y xy xy
4 5
x y xy 1 2x
4
30
2
x 2x y x y 2x 9
x 2xy 6x 6
31
x 2y y x 1 2x 2y
y x y
x
y y x x
3
2 2
2 2
33
36 97
1 6
13 6
13 1
2
2 y
x
y y y
x x
y
0 9 5
18 3
2
2 2
y x x
y x x x
Bài 2: Tìm m để hệ phơng trình sau:
m y
y x x y x
3 1 1
có nghiệm
Bài 3: Chứng minh rằng: với mọi a > 0, hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
y x a
Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực:
5
Bài 5: Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:
1 2
2 2
2
y x
a x y x
x
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
1 1
2 2
2
y x tg
x sin y a
ax
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 6:
Bài 7: