HSG toán 9 tiền hải 2017 2018

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.. b Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE c Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ q

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018

MÔN: TOÁN 9

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A= 4+ 10+2 5 + 4- 10+2 5

b) (a bc b ca) ( ) (c ab b ca) ( ) (c ab a bc) ( )

B

(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)

Bài 2 (3,0 điểm)

a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức

x2 – 3x + 2

b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm m để phương trình: 2m 1 m 3

x 2− = −

− vô nghiệm.

b) Giải phương trình: 4 x 1 x+ = 2 −5x 14+

c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy yz zx 3

z + x + y =

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm Tính BC, AC

b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE

c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua

C vuông góc với BC cắt HE tại N Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng

d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2+ cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)

Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f (8)+ -f ( 4)

–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: .

Số báo danh: Phòng số:

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)

1

a

2.0

2

2

A 8 2 6 2 5

2

2

A 8 2 5 2

2

A 6 2 5

2

b

2.0

Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1 Ta có: 0.25 ( 1 b c bc 1 a c ca ) ( ) ( 1 a b ab 1 a c ca ) ( ) ( 1 a b ab 1 b c bc ) ( )

B

1 a b ab 1 b c bc 1 a c ca

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) () ( )) ( ) ( ) (( ) () ( )) ( )

B

B 1 c 1 a 1 b = − + − + − (vì 0 < a,b,c < 1) 0.25

2

a

2.0

Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Theo bài ra: f(x)M -(x 1 x)( - 2) 0.25 f(x) chia hết cho x – 1 Þ f(1) = 0 0.25

f(x) chia hết cho x – 2 Þ f(2) = 0 0.25

Từ (1) và (2) Þ 8a + 2(–a) = –15 Þ a = –5

2 Þ b = 5

Thử lại: (x4 – 5

2x

3 + 5

2x – 1):(x

2 – 3x + 2) = x2 +1

2 x –

1

Vậy a = –5

2, b =

5

1.0 B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25

Vì x, y, z là số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz là số nguyên

Þ B là số chính phương

3

a

1.5

( ) ( )

2m 1

x 2

+ Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = 5 (vô lí)

Þ m = 3 phương trình đã cho vô nghiệm 0.25 + Xét m 3 ≠ , phương trình (*) có nghiệm x 4m 7

m 3

−

=

−

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì 4m 7 2 m 1

-0.25 Vậy với m = 3, m = ½ thì phương trình đã cho vô nghiệm 0.25

B

1.5

4 x 1 + = x - 5x 14 + Û x - 5x 4 x 1 14 - + + = 0 0.25

2

x - 6x 9 x 1 4 x 1 4 + + + - + + = 0

( )2 ( )2

x 3 - + x 1 2 + - = 0

ì - = ïï

íï + - = ïî

( )

x 3

x 3 tm

x 3

ì =

íï = ïî

C

1.0

Áp dụng BĐT Cosi cho các số dương ta có:

3 3

Vì x, y, z là các số nguyên dương nên từ (1) Þ x = y = z = 1 0.25

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x;y;z) = (1;1;1) 0.25

4

I

N

M

C D

E

H B

A

a

2.5 Đặt BH = x (0 < x < 6) Þ BC = x + 6,4 0.25

AB2 = BH.BC Þ 62 = x(x + 6,4) 0.5

Þ x = 3,6 0.75

b

2.0

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật Þ DE = AH 0.5 Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA 0.5

AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA 0.5

Þ AH3 = BD.CE.BC

c

1.5

Chứng minh CNHÐ =ÐBHM, HD = AE 0.5 Gọi giao điểm của NA với HD là M’

Ta có:

cos BHM

M'H MH M'H MH

Þ M’ trùng M Þ M, A, N thẳng hàng 0.25

d

1.0

Có BM//CN, BD // NE, MD // CE

Þ D BDM ~ D NEC Þ BD/NE = DM/EC (1) 0.5 Gọi I là giao của MC với DE Þ DI/EI = DM/EC (2)

Gọi I’ là giao của BN với DE Þ DI’/EI’ = BD/NE (3) 0.25

Từ (1), (2), (3) Þ DI/EI = DI’/EI’ Þ I và I’ trùng nhau

5 2.0

Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x Þ bậc của đa thức g(x) bằng 4 0.25

Từ giả thiết Þ g(1) = g(2) = g(3) = 0. 0.25

Mà g(x) có bậc 4 nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a là số

Þ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x 0.25

ïï

Þ í

Þ f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + 4 + a) + 40 0.25

*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm

*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất

*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn