Đề thi HSG mẫu

Đề thi HSG mẫu tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế, kinh...

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

PHÚ YÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 1 trang)

Câu 1: ( 5,0 điểm)

a) Cho A= 2012 − 2011; B= 2013 − 2012 So sánh A và B?

b) Tính giá trị biểu thức: C = 3 15 3 26 + − 3 15 3 26 −

c) Cho 2x3 = 3y3 = 4z3 Chứng minh rằng: 3 2 2 2

1

2 3 4

=

x y z

Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : ( 2 ) (2 2 )2

4

Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :

2

2

x y

x y







Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C)

Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N

a) Chứng minh rằng : AM AN PQ 1

b) Xác định vị trí điểm Q để 1

27

AM AN PQ

AB AC AQ

× ×

Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán

kính OA Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn

tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E

là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE.

Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực

thỏa mãn điều kiện : x2013 + y2013 = 2x1006 1006y

Hết

-Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

Giám thị không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Câu 1: ( 5,0 điểm)

a) Cho A= 2012 − 2011; B= 2013 − 2012 So sánh A và B?

b) Tính giá trị biểu thức: C= 3 15 3 26 + − 3 15 3 26 −

c) Cho 2x3 = 3y3 = 4z3 Chứng minh rằng: 3 2 2 2

2 3 4

1

2 3 4

x y z

Giải: a) Ta có :

+

+

+ +

Mà 2012 + 2011 < 2013 + 2012

b) Tính giá trị biểu thức: C = 3 15 3 26 + − 3 15 3 26 −

c)Cho 2x3 = 3y3 = 4z3 Chứng minh rằng:

Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng Cho x= 3 12; y = 8; z = 6 3 3

Thì 2x3 = 3y3 = 4z3 ⇔ × = × = × = 2 12 3 8 4 6 24 ( Thỏa mãn đẳng thức)

Nhưng 3 2 2 2 3 3 2 3 2 3 2

2 3 4 2 12 3 8 4 6

1

x y z

Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình : ( 2 ) (2 2 )2

(*) 4

4

+ + + + ĐKXĐ : ∀ ∈x R

Đặt t =x2 + 2x+ 2 thì ( )2

2 2

4

+

Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :

( )

2

2

I

x y

x y







* Điều kiện xác định : ≠

2

y

 Nếu = −

2

y

x thì ( )

2 2

0

1 2

2 2

y

y I

y y

y

  −    −  



−

 



: PTVN

Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm

Nếu ≠ ±

2

y

x Chia 2 vế phương trình (1) cho (2x y+ ) (2x y− ) Ta có :



Đặt 2

2

x y

t

x y

+

=

− thì

( )* ⇔ − − = 8 10t 3 0

t

⇒ − ÷ + ÷= ⇔ =

+ Với = 3

2

x y

x y+ = ⇒ =

− Thay vào (**) Ta có :

I H

N M

A

Q P

× −

5

2

y

y y

• Với = ⇒ = × =1 5 1 5

• Với = − 1⇒ = × =5 1 − − 5

+ Với 1

4

t= −

+ = − ⇒ = −

−

x y

x y Thay vào (**) Ta có :

3

10

−

y y

y y ⇒ 8y2− 20y+ 25 0 = : Phương trình vô nghiệm Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm :  − − 

5 1;

4 2

Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C)

Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N

c) Chứng minh rằng : AM AN PQ 1

d) Xác định vị trí điểm Q để 1

27

AM AN PQ

AB AC AQ

× ×

GIẢI:

Ta có: AN NC 1

AC + AC = (1)

Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có:

+

Vì MI // AC nên CI AM ;

BC = AB (3)

Vì ∆ABC ∆PHI (g-g)

AB = AQ nên IH PQ

BC = AQ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) Suy ra : AN NC AN CI IH AN AM PQ 1

N M

P

Q

A

Hay AM AN PQ 1

27

3

27

BC

CI IH HB

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm

3

Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB

Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC

và 2 .

3

Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán

kính OA Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn

tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E

là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE.

Giải:

Cách vẽ: + Vẽ phân giác của ·ADB cắt AB tại E

Đường phân giác của·ACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I

Ta có : (I; IE) là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O)

Thật vậy : Hạ IF ⊥DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác)

Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông

Chứng minh:

+ Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng

Ta có : ∆IGF cân tại I nên IF· · »

2

sd PF

Xét ∆OBG AOG:· =2OBG· ( Tính chất góc ngoài)

= 1(· 0 0 · ) 1 · ·

Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ∆ADB ADB:· = 90 0

Nên BD2 =BC BA× (1)

+Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có :

BE2 =BF BG. (2)

Mặt khác : ∆AGB ∆FCB ( g-g)

BF = BC ⇒ × = × (3)

Từ (2) và (3) Suy ra : BE2 = AB BC. (4)

Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE

Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực

thỏa mãn điều kiện : x2013 + y2013 = 2x1006 1006y

Giải: Từ x2013+y2013 =2x1006y1006

* Nếu x = 0 ⇒ =y 0; Nếu y = 0 ⇒ =x 0

* Nếu x≠ 0; y 0 ≠

1006 1006

2013 2013

Đặt t= ≠x 0

y

Thì ( )* ⇔ + × =xt y 1 2

t ⇒xt2 − + = 2t y 0

Giải phương trình theo biến t Ta có :

( )

∆ = ' b' 2 −ac= − 12−xy= − 1 xy

Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra )

Thì ∆ = − ' 1 xy≥ ⇒ 0 xy 1 ≤

Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1

( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư