6 Đề thi HSG môn Toán lớp 9

Trên tia đối của tia CB lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn O F là tiếp điểm.. Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn O tại D tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x x2   9 6x

b) B = 12 2 35   12 2 35   28c) C = 3 20  14 2  3 20  14 2

Bài 2: (3,5 điểm) Cho hàm số: y  mx – 3x + m + 1 (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để hàm số trên đồng biến?

a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b) SAEF = SABC cos2BAC

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2  6  x

b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức n4 n2  1 là số nguyên tố

- HẾT -

m+1 m-3 B

m+1

O

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 9 Câ

4.0 b

3,5

b

y = (m – 3)x + (m + 1)

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số

Ta có; y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m





2 (m 1) 2m 3

S  

0.50,5

0,50,5 4,0

0,50.50.75

0,25

4

K G

Xét

 AEF và ABC có : BAC FAE   (góc chung)

AE AB

AF AC

Suy ra  AEF  ABC (c.g.c)

0,50,5

AEF ABC

0,50,5

0,25

3,0

Với n = 0 thì n4 n2  1 = 1(Không là số nguyên tố)Vậy với n = 1 thì n4 n2  1 là số nguyên tố

0,25

0,25

0,250,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I (4,0 điểm)

1 Cho a = 7 4 3  và b = 7 4 3 

Chứng minh rằng a + b và a.b là một số tự nhiên

2 Tính giá trị của biểu thức:

b) Chứng minh Q > - 3 với mọi x thuộc tập xác định

Câu III (4,0 điểm)

2 Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Trên tia đối của tia CB lấy điểm A, qua A

kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn (O) ( F là tiếp điểm) Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) Gọi H là giao điểm của BF với DO; K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O)

a) Chứng minh rằng AO.AB = AF.AD

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH

GIỎI Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang

I) HƯỚNG DẪN CHUNG.

- Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương

- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồngchấm Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm

- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

m Câu I

 phương trình có nghiệm (a; b) thì có nghiệm tổng quát dạng

2 2 (a  2 ; 2 )b ab

= AC2 AB2  2AC AB C osA Vậy a2 b2 c2  2 bc CosA 0,25

2

(4,5 điểm)

H

F M

A C

O

K

B

D x

a) Vì AF, BD là tiếp tuyến của (O) nên AF OF, DB AB  0, 5

 ODBF

0,25

BKC có BC là đường kính của (O) nên BK  KC 0,25

Áp dụng hệ thức lượng vào DBO, đường cao BH ta có: DB2 = DH.DO (1)

ADB có OM//DB nên theo định lý Ta-lét ta có AD BD

0,25

Áp dụng (1) ta có:

2 3

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang

Câu 1 (3 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: 1 1

3  7  3  7b) Cho biết a = 2  3 và b = 2  3 Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab

1 Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x

a Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên

b Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B Tínhdiện tích tam giác MAB

2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x2 + 5y2 = 345

Câu 4 (3,5 điểm) Cho biểu thức P = ( 1)( 3 3) 2( 13) 33

x x

x

x x

(với x0; x 9)a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của P tại x = 14 - 6 5

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 5 (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax

cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC vớinửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khácB)

a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: MA2 = MD.MB

c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB) Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm củaCH

Câu 6 (1,5 điểm) Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac  2.(b+d)

Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

a2 4b

 , c2 4d

 Hết

0 7 2 7

2 5 7 2 5

x x

x x

x x

0 44 27

7

x x

c (1.5 điểm)

Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2

 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2  (2n + 3)2- 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3– 2a)= 9

Nhận xột thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chỳng là những số nguyờn dương, nờn ta cú thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1

6 2

y x y

x y x

0.25

b Vẽ hai đờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3 trên cùng một hệ trục toạ độ

4 4

2 1

S MAB

(đơn vị dài)

6 3

1 2 3 4

O

 5y2 = 270

=>y = 54 không thỏa mãn

* Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 5y2 = 45 => y = 3 thỏa mãnVậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình

) 3 ( 2 ) 3 )(

1 (

x x

x

x x

=

) 1 )(

3 (

) 1 )(

3 ( ) 3 ( 2

x x

x x

x

=

) 1 )(

3 (

3 3

18 12

2 3

x x x x

x x

x

=

) 1 )(

3 (

24 8

x x x x

=

) 1 )(

3 (

) 8 ( 3 ) 8 (

x x

8 5 6 14

5 6 22



 =

11

5 2

9 1 1

9 1 1

x x

x x

IHE

DM

C

A

Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra OM là đường trung trực của AC  0

Xét ∆MAB vuông tại A có ADMB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng

trong tam giác vuông)

 (6) với I là giao điểm của CH và MB

Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH

) ( 4 2

3 Tổng điểm của bài thi không làm tròn.

-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN

HỌC SINH GIỎI LỚP 9

MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)

Cho biểu thức:

1 8 16

4 4 4

x x x

x A

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

c) Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên

Câu 3: ( 2 điểm) Cho a, b ,c là các số lớn hơn 1 Chứng minh :

12

1 1

1    

c c

b b

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x2 - 4xy + y2 - 6x + 8 = 0

b) Chứng minh rằng tồn tại số có dạng: 20112011 20110000…0000 chia hết cho 2012.

.Hết

TUYỂN HỌC SINH GIỎI THI TỈNH

7 2

0

x y



 x,y là nghiệm của phương trình:

2 3 5 0

X  X   ;   11  phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x y ,   0; 2 ; 2;0   

0,5 0,25

0,5

0,5

0,25 Câu 2 ( 4 điểm)

4 2

8 4

4 4 1

8 16

4 4 4

4

x x x

x khi x

x

x x

x x x

x A

x A

x A

A nguyên khi x - 4 = a2 (a thuộc N*)

12 4 3 1 1 1

3 1 1

c b

b a

a a

c c

2/ Vì B,C thuộc (O) nên OC = OB

Hay O nằm trên đường trung trực của BC (3)

Mà: ACB = DBC ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau của (O))

d

E

.

MBC cân tại M.

hay M nằm trên đường trung trực của BC (4)

Từ (3) và (4) ta có OM là đường trung trực của BC

Hay OM  BC

0.5

0,5

0,5

3/ Vì d//AD; AD//BC theo giả thiết => d  OM

Gọi E là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AOMB, suy ra góc OME bằng 90 0

Do đó OE là đường kính của đường tròn này

Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn

ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra E cố định

Vậy d luôn đi qua điểm E cố định

0.5

0,5

0,5

0,5 0,5 Câu 5 (3 điểm)

b) Xét 2012 số có dạng : 2011; 20112011; 201120112011; ;

Các số trên đều không chia hết cho 2012 (vì đều là số lẻ) nên khi chia từng

số cho 2012 sẽ chỉ có 2011 khả năng dư là: 1;2;3; ;2011

Vì có 2012 số dư mà chỉ có 2011 khả năng dư nên theo nguyên lí đi-ric-lê

tồn tại ít nhất 2 số của dãy trên khi chia cho 2012 có cùng số dư,

hiệu của 2 số đó có dạng 20112011 201100 0 chia hết cho 2012

0,5

0,5 0,5

Chú ý: - Nếu học sinh làm bài theo cách khác đúng thì cho điểm tương đương

- Đáp án nêu tóm tắt cách giải, HS phải lập luận chặt chẽ thì mới cho điểm tối đa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

HỌC SINH GIỎI Môn thi: TOÁN - Lớp 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 05 câu trong 02 trang).

b) Chứng minh rằng P 4.

c) Với những giá trị nào của a thì biểu thức Q 6

P

 nhận giá trị nguyên?

Câu 2 ( 5,0 điểm).

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d y1:  0,5x 3, d2: y   7 x,

d3 :y mx (m là tham số)

a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng 1 d bằng phép toán.2

b) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d cắt hai đường thẳng 3 d và1

2

d lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành

độ dương?

2 Giải phương trình sau: x 4  x  4 2( x2  16  x  6)

3 Cho biểu thức T  sin6x c os6x 3sin2x c os2x tan2x c os2x cotan2x.sin2x

(0 x 90o) Chứng minh rằng giá trị biểu thức T không phụ thuộc vào giá trị củabiếnx

a) Chứng minh các điểm A H O K, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh HK AO  2AK OH.

c) Xác định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giácAMN

Câu 5 (2,0 điểm)

Em hãy trình bày lời giải bài toán sau bằng hai phương pháp khác nhau:

Tìm các cặp số nguyên tố ( , )x y thỏa mãn phương trình: x2  2y2 1

……….Hết……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HDC ĐỀ THI

MÔN: TOÁN Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang

I) HƯỚNG DẪN CHUNG.

- Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương

- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồngchấm Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm

- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

m Câu 1

(4,5đ)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và 2 d là:3

7 x mx    (m 1)x 7   0,5

Điều kiện để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0    m   1Vậy điều kiện cần tìm là:   1 m 0,5  0,5

Đặt x 4 a, x 4 b (a > 0, b  0 )

x b

C B

A

0,25

Ta có AHO 90 0 ( Tính chất của tiếp tuyến với một đườn tròn)  H

thuộc đường tròn đường kính AO (1) 0,5

 90 0

AKO   Kthuộc đường tròn đường kính AO (2) 0,5

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A H O K, , , cùng thuộc một đường tròn đường kính OA