Cấu trúc dữ liệu di động chuong 4a

❖ĐỊNH NGHĨACây nhị phân tìm kiếm Binary Search Tree - BST: là cây nhị phân thỏa tính chất: tại mỗi nút k, khóa của k lớn hơn khóa của tất cả các nút nằm trên cây con bên trái nếu có của

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT

CHƯƠNG IV

CẤU TRÚC CÂY

Nguyễn Trọng Chỉnh

Trang 2

❖KHÁI NIỆM

❖CÂY NHỊ PHÂN

❖ CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

❖CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG

Trang 3

❖ĐỊNH NGHĨA

Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Search Tree - BST):

là cây nhị phân thỏa tính chất: tại mỗi nút k, khóa của k lớn hơn khóa của tất cả các nút nằm trên cây con bên trái (nếu có) của k và nhỏ hơn khóa của tất

cả các nút nằm trên cây con bên phải (nếu có) của k.

Mỗi nút trên cây nhị phân tìm kiếm đều là gốc của một cây nhị phân tìm kiếm.

CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

Trang 5

❖ỨNG DỤNG

Cây nhị phân tìm kiếm được sử dụng để tăng hiệu quả tìm kiếm trên cấu trúc liên kết động nhờ vào thứ

tự của các nút trên cây.

Chí phí tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm trong

trường hợp xấu nhất là h, với h là chiều cao của

cây.

Cho cây T có n phần tử, chiều cao của cây T là:

- Trong trường hợp tốt nhất h = log2(n)

- Trong trường hợp xấu nhất h = n

Trang 6

❖CÁC THAO TÁC

- Thêm một nút có khóa x

- Tìm nút có giá trị khóa là x

- Xóa nút có khóa x

- Hủy toàn bộ cây

Trang 7

❖CÁC THAO TÁC

- Thêm một nút

Thuật toán:

Đầu vào: cây với gốc root, giá trị khóa cần thêm x

Đầu ra: cây với gốc root đã được nút có khóa x

B1: Nếu root = NULL thì pCreateNode(x), rootp,qua B4B2: Nếu root->key = x thì qua B4

B3: Nếu root->key < x thì thực hiện thêm nút vào cây có gốc là root->pRight Ngược lại thực hiện thêm nút vào cây có gốc là root->pLeft

B4: Kết thúc

Trang 11

struct Node {

int key;

Node *pLeft, *pRight;

};

typedef Node *TREE;

void CreateTree(TREE &root) {

root = NULL;

}

Trang 13

int AddNode(TREE &root, int x) {

if (root->key > x) return AddNode(root->pLeft, x);

else return AddNode(root->pRight, x);

}

Trang 15

Trang 16

Trang 17

Trang 18

Trang 19

❖CÁC THAO TÁC

- Tìm nút có giá trị khóa là x

Thuật toán:

Đầu vào: cây với gốc root, giá trị khóa cần tìm x

Đầu ra: nút có khóa x

B1: Nếu root = NULL thì trả về NULL, qua B5

B2: Nếu root->key = x thì trả về root, qua B5

B3: Nếu root->key < x thì thực hiện tìm nút p có khóa x trên cây có gốc là root->pRight Ngược lại thực hiện tìm nút p

có khóa x trên cây có gốc là root->pLeft

B4: Trả về p

B5: Kết thúc

Trang 20

❖CÁC THAO TÁC

- Tìm nút có giá trị khóa là x

Node * Search(TREE root, TenDulieu x) {

Node *p;

if (root == NULL) return NULL;

if (Compare(root->key, x) == 0) return root;

Trang 21

❖CÁC THAO TÁC

- Xóa nút có khóa x

Có 3 trường hợp cần xử lý:

- TH1: Nút cần xóa không có cây con

- TH2: Nút cần xóa có 1 cây con

- TH3: Nút cần xóa có 2 cây con

Trang 23

❖CÁC THAO TÁC

- Xóa nút có khóa x: TH2

- Gán lại địa chỉ trỏ đến p của

nút cha là nút con duy nhất

Trang 24

❖CÁC THAO TÁC

- Xóa nút có khóa x: TH3

- Tìm phần tử thay thế q

(standby) cho p q là phần

tử trái nhất của cây con bên

phải hoặc là phần tử phải

nhất của cây con bên trái

Trang 25

❖CÁC THAO TÁC

Đầu vào: cây với nút gốc root, giá trị khóa x cần xóa

Đầu ra: cây với nút gốc root đã xóa phần tử có khóa x

B1: Nếu root = NULL thì qua B8

B2: Nếu root->key < x thì thực hiện xóa nút có khóa x cho cây root->pRight, qua B8

B3: Nếu root->key > x thì thực hiện xóa nút có khóa x cho cây root->pLeft, qua B8

B4: q = root

B5: Nếu root->pLeft = NULL thì root = root->pRight, qua B7

Trang 26

B6: Nếu root->pRight = NULL thì root = root->pLeft,

Ngược lại tìm phần tử thay thế q cho root trên cây con root->pRight

B7: Giải phóng q

B8: Kết thúc

Trang 27

❖CÁC THAO TÁC

void SearchStandFor(TREE &p, TREE &q);

void DeleteNode(TREE &root, TenDulieu x) {

Trang 28

q = root;

if (root->pLeft == NULL) root = root->pRight;

else

if (root->pRight == NULL) root = root->pLeft;

else SearchStandFor(q, root->pRight);

delete q;

}

Trang 29

void SearchStandFor(TREE &q, TREE &p) {

Trang 31

7 4

Trang 32

❖CÁC THAO TÁC

- Hủy toàn bộ cây

Đầu vào: cây có nút gốc root

Đầu ra: cây đã được hủy có nút gốc root

B1: nếu root == NULL, qua B5

B2: Hủy toàn bộ cây có gốc là root->pLeft

B3: Hủy toàn bộ cây có gốc là root->pRight

B4: Giải phóng vùng nhớ của root, root = NULL

B5: Kết thúc

Trang 33

❖CÁC THAO TÁC

- Hủy toàn bộ cây

void DeleteTree(TREE &root) {

if (root == NULL) return;

Trang 34

❖KHÁI NIỆM

❖CÂY NHỊ PHÂN

❖CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

Trang 35

❖ĐỊNH NGHĨA

Cây nhị phân cân bằng hoàn toàn là cây mà tại mỗi nút của nó số nút của cây con trái và số nút của cây con phải chênh lệch không quá 1.

Tính chất:

- Thời gian tìm kiếm xấu nhất:

O(logn)

- Khó duy trì tình trạng cân bằng hoàn toàn.

CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG

Trang 36

❖ĐỊNH NGHĨA

Cây nhị phân cân bằng (cây AVL) là cây mà mỗi nút của nó, độ cao của cây con trái và độ cao của cây con phải chênh lệch không quá 1.

Tính chất:

- Cao không quá 45% chiều cao cây cân bằng hoàn toàn

- Chi phí cân bằng cây nhỏ hơn

Trang 37

❖ĐỊNH NGHĨA

Chỉ số cân bằng (CSCB) tại một nút p là hiệu số

chiều cao cây con phải của p với chiều cao cây con trái của p Nếu:

Trang 38

❖ỨNG DỤNG CỦA CÂY CÂN BẰNG

Cây cân bằng nhằm đảm bảo độ cao của cây nhị

phân gần với giá trị log2(n) với n là số nút của cây

Vì vậy, các cây nhị phân tìm kiếm nếu là cây nhị

phân cân bằng thì chi phí cho việc tìm kiếm sẽ được giảm.

Trang 39

❖CÁC TRƯỜNG HỢP MẤT CÂN BẰNG

Các trường hợp mất cân bằng xảy ra trong cây AVL khi thêm nút hoặc xóa nút, không xét trường hợp mất cân bằng trong cây nhị phân tìm kiếm tổng quát

Có 4 trường hợp mất cân bằng:

Trang 40

- Trường hợp 1 (LL): cây tại p lệch trái, cây con trái

không lệch phải

Cần xoay phải tại nút mất cân bằng T:

- Chuyển nút con phải của T1 thành con trái của T

T

T1

Trang 41

- Trường hợp 2 RR: cây tại p lệch phải, cây con phải

không lệch trái

Cần xoay phải tại nút mất cân bằng T:

- Chuyển nút con trái của T1 thành con trái của T

- Chuyển T thành nút con trái của T1 và đặt T1 là gốc

T

T1

Trang 42

- Trường hợp 3 LR: cây tại p lệch trái, cây con trái

lệch phải

- Thực hiện phép xoay trái tại nút T1:

- Sau đó thực hiện phép xoay phải tại nút T

5

T2

T T1

T1

Trang 43

- Trường hợp 4 RL: cây tại p lệch phải, cây con trái

lệch trái

- Thực hiện phép xoay phải tại nút T1:

- Sau đó thực hiện phép xoay trái tại nút T

20

Trang 44

❖CÁC THAO TÁC TRÊN CÂY AVL

Trang 45

typedef AVLNode *AVLTREE;

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Trang 49

- Phép xoay trong các trường hợp

void LL(AVLTREE &T) {

Trang 50

void RR(AVLTREE &T) {

switch(T->pRight-> balFactor) {

case RH: T-> balFactor = EH;

T->pRight-> balFactor = EH; break;

case EH: T-> balFactor = RH;

T->pRight-> balFactor = LH; break;

Trang 51

void LR(AVLTREE &T) {

Trang 52

void RL(AVLTREE &T) {

switch(T->pRight->pLeft-> balFactor)

{ case RH: T-> balFactor = LH;

case EH: T-> balFactor = EH;

case LH: T-> balFactor = EH;

T->pRight-> balFactor = RH; break;

Trang 53

- Cân bằng cây - Cân bằng lệch trái: trả về 1 nếu chiều cao

cây không đổi, trả về 2 nếu chiều cao cây có thay đổi

int BalanceLeft(AVLTREE &T) {

Trang 54

- Cân bằng cây - Cân bằng lệch phải: trả về 1 nếu chiều

cao cây không đổi, trả về 2 nếu chiều cao cây có thay đổi

int BalanceRight(AVLTREE &T) {

Trang 55

- Thêm một nút có khóa x: Khi thêm một nút, cần đảm bảo

tính chất cân bằng của cây bằng cách:

B1) Thêm một nút có khóa x vào cây tương tự như cây nhị phân tìm kiếm

B2) Xét các nút từ vị trí nút cha của nút thêm vào về gốc để xác định nút p mất cân bằng

B3) Cân bằng tại nút p

Trang 56

- Thêm một nút có khóa x: trả về -1 nếu không đủ bộ nhớ, 0

nếu đã tồn tại nút x, 1 nếu thêm thành công và cây không thay đổi chiều cao, 2 nếu thêm thành công và cây thay đổi chiều cao

int Compare(TenDulieu x, TenDulieu x);

int AddAVLNode(AVLTREE &T, TenDulieu x) {

int ret;

if (T == NULL) {

T = CreateAVLNode(x);

if (T== NULL) return -1; else return 2;

Trang 57

case RH: T->balFactor = EH; return 1;

case EH: T->balFactor = LH; return 2;

case LH: BalanceLeft(T); return 1;

}

Trang 58

else {

ret = AddAVLNode(T->pRight, x);

if (ret < 2) return ret;

switch(T->balFactor) {

case LH: T->balFactor = EH; return 1;

case EH: T->balFactor = RH; return 2;

case RH: BalanceRight(T); return 1;

Trang 59

- Hủy một nút có khóa x: Khi hủy một nút, cần đảm bảo tính

chất cân bằng của cây bằng cách:

B1) Hủy nút có khóa x trên cây tương tự như cây nhị phân tìm kiếm

B2) Xét các nút từ vị trí nút cha của nút bị hủy về gốc để xác định nút p mất cân bằng

B3) Cân bằng tại nút p

B4) Tiếp tục tìm nút mất cân bằng từ nút p vế nút gốc và cân bằng các nút này

Trang 60

- Hủy một nút có khóa x: 0 nếu không tồn tại nút x, 1 nếu

hủy thành công và cây không thay đổi chiều cao, 2 nếu hủy thành công và cây thay đổi chiều cao

int AVLSearchStandFor(AVLTREE &p, AVLTREE &q);

int DeleteAVLNode(AVLTREE &T, TenDulieu x) {

Trang 61

switch (T->balFactor) {

case LH: T->balFactor = EH; return 2;

case EH: T->balFactor = RH; return 1;

case RH: return BalanceRight(T);

}

Trang 62

if (Compare(T->key, x) < 0) {

ret = DeleteAVLNode(T->pRight, x);

case LH: return BalanceLeft(T);

}

Trang 63

ret = AVLSearchStandFor(p, T->pRight);

case LH: return BalanceLeft(T);

}

Trang 65

int AVLSearchStandFor(AVLTREE &p, AVLTREE &q) {

int ret;

if (q->pLeft) {

ret = AVLSearchStandFor(p, q->pLeft);

switch (q->balFactor) {

case LH: q->balFactor = EH; return 2;

case EH: q->balFactor = RH; return 1;

case RH: return BalanceRight(q);

}

Trang 67

50

70 20

Trang 68

50

70 20

Trang 69

50

70 8

36

Xóa nút x=20

37 35

Trang 70

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	580,55 KB